第二章第二节行列式性质

第二章第二节行列式性质第一页，共二十一页，2022年，8月28日.例如

证明思想：仍然是从定义出发证，祥略。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.为什么？？.例如性质2将行列式的两行(列)对调,行列式变号推论第二页，共二十一页，2022年，8月28日性质3(展开法则)行列式等于它的任意一行(列)中所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即第三页，共二十一页，2022年，8月28日推论行列式中任一行(列)中元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证:由性质3按第j行展开得到rirj第四页，共二十一页，2022年，8月28日推论行列式中任一行(列)中元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证:由性质3按第j行展开得到rirj第五页，共二十一页，2022年，8月28日性质4行列式的某一行(列)元素的公因子可提到行列式外面,即例如:第六页，共二十一页，2022年，8月28日证:推论行列式的某一行(列)元素的全为零,则此行列式为零.行列式的某两行(列)对应元素成比例,则此行列式为零.推论第七页，共二十一页，2022年，8月28日性质5若行列式的第i行(列)元素的每一个元素都可以表示为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即这并不是唯一的分拆方法！第八页，共二十一页，2022年，8月28日性质6把行列式的第j行(列)元素的k倍加到第i行(列)的对应元素上,行列式的值不变.例

计算行列式

运算符号：

交换行列式两行（列），记作行列式第i行（列）乘以数k，记作以数k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，记作第九页，共二十一页，2022年，8月28日例

求证第十页，共二十一页，2022年，8月28日证:

第二行乘以-1加到第一行上,第三行乘以-1加到第二行上,第四行乘以-1加到第三行上，依次之，直到第n行乘以-1加到第n-1行上.可得第十一页，共二十一页，2022年，8月28日例

计算行列式解:

第二行乘以-1加到其它各行上去可得第十二页，共二十一页，2022年，8月28日例

计算阶行列式解将第都加到第一列得第十三页，共二十一页，2022年，8月28日第十四页，共二十一页，2022年，8月28日例

当解:

第一行乘以-1加到其它各行上去可得第十五页，共二十一页，2022年，8月28日例

计算2n阶行列式解按第一行展开,有再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开,得第十六页，共二十一页，2022年，8月28日例

计算n阶行列式解:

将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的性质5可得第十七页，共二十一页，2022年，8月28日由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列展开得Dn-1,而第二个行列式从最后一行开始,每后一行乘以(-1)加到相邻的前一行上,就变为下三角形,其值为1,故得例

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式第十八页，共二十一页，2022年，8月28日证:

将第n-1行乘以(-x1)加到第n行,将第n-2行乘以(-x1)加到第n-1行,这样依次下去,最后将第1行乘以(-x1)加到第2行,得按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi-x1)(i=1,2,…,n),得递推公式:第十九页，共二十一页，2022年，8月28日第二十页，共二十一页，2022年，8月28日

(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行