大地测量学思考题集及答案

大地测量学思考题集1.解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？大地测量学----是测绘学科的分支，是测绘学科的各学科的基础科学，是研究地球的形状、大小及地球重力场的理论、技术和方法的学科。大地测量学由以下三个分支构成：几何大地测量学，物理大地测量学及空间大地测量学。几何大地测量学的基本任务是确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。作用：可以用来精密的测量角度，距离，水准测量，地球椭球数学性质，椭球面上测量计算，椭球数学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型物理大地测量学的基本任务是用物理方法确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。空间大地测量学主要研究以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理论、技术与方法。2、大地测量学的发展经历了哪些简短，简述各阶段的主要贡献和特点。分为一下几个阶段：地球圆球阶段，地球椭球阶段，大地水准面阶段，现代大地测量新时期地球圆球阶段，首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径。这是人类应用弧度测量概念对地球大小的第一次估算。地球椭球阶段，在这阶段，几何大地测量在验证了牛顿的万有引力定律和证实地球为椭球学说之后，开始走向成熟发展的道路，取得的成绩主要体现在一下几个方面：1）长度单位的建立2）最小二乘法的提出3）椭球大地测量学的形成4）弧度测量大规模展开5）推算了不同的地球椭球参数这个阶段为物理大地测量学奠定了基础理论。大地水准面阶段，几何大地测量学的发展：1）天文大地网的布设有了重大发展，2）因瓦基线尺出现物理大地测量学的发展1）大地测量边值问题理论的提出2）提出了新的椭球参数现代大地测量新时期：以地磁波测距、人造地球卫星定位系统及其长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，使大地测量定位、确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基本测绘任务都以崭新的理论和方法来进行。由于高精度绝对重力仪和相对重力仪的研究成功和使用，有些国家建立了自己的高精度重力网，大地控制网优化设计理论和最小二乘法的配置法的提出和应用。.大地测量学如何控制地形测图的，大地测量未来发展方向如何？答：通过分级布设控制网，逐级控制。一等三角网是国家大地控制网的骨干，一等三角网尽可能沿经纬线方向布设成纵横交叉的网状图形；二等三角网是在一等网控制下布设的，它是国家三角网的全面基础，同时又是地形测图的基本控制；三、四等三角网是在一、二等网控制下布设的，是为了加密控制点，以满足测图和工程建设的需要。大地测量未来的发展方向：1）.全球卫星定位系统，激光测卫（SLR）以及基长基线干涉测量（VLBI）是主导本学科发展的主要的空间大地测量技术。2）.空间大地网是实现本学科科学技术任务的主要技术方案。3）.精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标。.简述物理大地测量学的主要任务和内容？答：物理大地测量学也有称为理论大地测量学。它的基本任务是用物理方法（重力测量）确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。.在精密水准测量概算中包括哪些计算工作？答：水准测量概算主要计算工作：（1）水准标尺每米长度误差的改正数计算 （2）正常水准面不平行的改正数计算（3）水准路线闭合差计算 （4）高差改正数的计算.什么是水准测量理论闭合差？试阐述产生理论闭合差的原因？答：如果不考虑仪器本身的误差与观测误差，由同一起始水准点出发，由几何水准测量经不同的水准线路测量同一未知点的高程是不相同的，换句话说，由同一起始点测量水准闭合环线的高程闭合差不等与零，其闭合差称为水准理论闭合差。水准理论闭合差是由于水准面不平行的原因所引起的，因此在精密水准测量中，为了消除水准面不平行对水准测量的影响，一般要在几何水准观测高差中加入水准面不平行改正计算。.解释重力、引力、离心力、引力位、离心力位、重力位、地球重力场、正常重力、正常重力位、扰动位等概念，简述其相应关系。答：地球引力及由于质点饶地球自转轴旋转而产生的离心力的合力称为地球重力。引力F是由于地球形状及其内部质量分布决定的其方向指向地心、大小F=f•M•m/r八2。离心力P指向质点所在平行圈半径的外方向，其计算公式为P=mwA2-p引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。离心力位重力位就是引力位V和离心力位Q之和。正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。扰动位是地球正常重力位与地球重力位的差异。5、椭球面子午线曲率半径为M,卯酉线曲率半径为N,则平均曲率半径R="’亡。它们的长度通常不相等，其M、R、N大小关系为NRM。.简述引力、离心力方向及其决定因素如何？地球引力位公式一般有可以哪几种方式表达？答：（1）引力是由地球形状及其内部质量分布决定，离心力指向质点所在平行圈半径的外方向，它是由质点绕地球自转轴旋转而产生，其大小由质点质量，地球自转角速度，质点所在平行圈半径共同决定。（2）地球引力位公式：V=f•M•m/rV=/dV=f•/dm/rA=|-/dVI=V（Q）-（Q。）.如何理解引力位几何意义及其物理意义？答：几何意义：按牛顿万有引力定律，空间两质点M和m相互吸引的引力公式是：F=f•M•m/r2假设两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr,那么必须做功：dA=f•M•m/产・dr此功必等于位能的减少：-Dv=f•M•m/产・dr对上式积分后，得出位能：V=f•M•m/r物理学意义：从物理学方面来说，在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处 移动到该点引力所做的功.引力位、离心力位、重力位是否调和函数，为什么？答：引力位是调和函数，它满足拉普拉斯算子。离心力位的二阶导数算子AQ,△Q=2w2,所以离心力位函数不是调和函数。重力位二阶导数之和，对外部点：△W=^V+^Q=2w2对内部点，不加证明给出：△W=4V+^Q=-4nf6+2w2（6-体密度），由于它们都不等于0,故重力位不是调和函数。.研究重力位有何意义？为什么要研究正常重力位？答：（1）研究重力位可以方便的得到一簇曲面，称为重力等位面。（2）正常重力位是一个函数简单，不涉及地球形状和密度便可以直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异，便可以求出大地水准面与已知形状的差异，最后解决地球重力位和地球形状的问题。.解释大地水准面、大地体、总椭球、参考椭球、大地天文学、拉普拉斯点、黄道面、春分点。答：大地水准面是指与平均海平面相重合，不受潮汐、风浪及大气压的影响，并延伸到大陆处处与铅垂线相垂直的水准面。大地水准面是一个没有褶皱、无棱角的连续封闭曲面。由它包围的形体称为大地体。总的地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总的地球椭圆和大地体最为密度。参考椭球是指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。大地天文学主要是研究用天文测量的方法，确定地球表面的地理坐标及方位角的理论和实际问题。在天文大地点上同时测定方位角的点称为拉普拉斯点。黄道是太阳周年的视运动沿着大圆的运动圈。春分点是黄道和赤道的交点，并被看作固定的恒星点。.重力扁率同椭球扁率之间的关系如何？（克莱罗定理）答：在旋转的椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。14解释水准面的含义及性质,为什么说水准面有多个？答:含义:我们把重力位相等的面称为重力等位面,这也就是我们通常所说的水准面.性质：1、由于重力位是由点坐标唯一确定的，故水准面相互既不能相交也不能相切；2、在一个水准面上移动单位质量不做功，即所做共为0,可见水准面是均衡面；3、在水准面上，所有点的重力均与水准面正交；4、由于两个水准面之间的距离不是一个常数，故两个水准面彼此不平行；5、力线与所有水准面都正交，彼此不平行。由于重力位W是标量函数，只与点的空间位置有关，因此当W（r,0人）等于某一常数时，将给出相应的曲面，给出不同常数将得到一簇曲面，在每一个曲面上重力位都相等，显然，在质体周围可以形成无数个水准面。解释大地水准面含义及性质，为什么各国的大地水准面实际上不一致？答：含义：设想与平均海水面想重合，不受潮汐，海浪及大气压变化影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面。性质：大地水准面具有水准面的一切性质。大地水准面的形状及重力场都是不规则的，不能用一个简单的形状和数学公式表达。我们目前尚不能唯一的确定它的时候，各个国家和地区往往选择一个平均海水面代替它。而各个国家所测得的平均海水面是不同的。所以各国的大地水准面实际上是不一致的。15、解释似大地水准面含义和性质，简述水准面、大地水准面、似大地水准面的异同点？答：含义：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2〜4m的差异。似大地水准面尽管不是水准面，但它可以严密地解决关于研究与地球自然地理形状有关的问题。它是我们计算正常高的基准面。性质：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2〜4cm的差异。异同点：水准面有很多个，大地水准面只有一个，似大地水准面也只有一个；水准面既不能相交也不能相切，所有的重力均与水准面正交水准面彼此不平行，大地水准面有水准面的一切性质，似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2〜4cm的差异。.以大地水准面为高程基准面，任一点沿垂线方向至大地水准面的距离称为该点的正高，我国规定采用正常高系统作为我国高程的统一系统。.绘图说明大地高H与正常高h、高程异常的关系答：H=h+17、解释总椭球、参考椭球及正常椭球的含义、性质和作用，分析它们异同点。（31、30）答：总椭球为研究全球性问题，需要一个和整个大地体最为密合的总的地球椭球。如果从集合大地测量来研究全球性问题，那么总的地球可按几何大地测量来定义：总地球椭球中心和地球质心重合，总椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总椭球和大地体最为密合。如果从几何和物理两个方面来研究全球性问题，可把总椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理决定的，并由国际组织发布。总椭球对于研究地球形状是必要的参考椭球指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。对于天文大地测量及大地点坐标的推算，对于国家测图及区域绘图来说，往往采用其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近，所有地面测量都依法线投影在这个椭球面上，我们把这样的椭球叫做参考椭球。很显然，参考椭球在大小及定位定向上都不与总地球重合。由于地球表面的不规则性，适合于不同地区的参考椭球的大小，定位和定向都不一样，每个参考椭球都有自己的参数和参考系。正常椭球正常椭球面是大地水准面的规则形状。我们选择正常椭球时，除了确定其M和w值外，其规则形状可任意选择.对于正常椭球,除了确定其4个基本参数a,j2,,fM和w外,也要定位和定向.正常椭球的定位是使其中心和质心重合,正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合.17、简述我国的高程基准面、原点高程及确定方法。答：（1）高程基准面就是地面点高程的统一算面，由于大地水准面所形成的体形一一大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。确定方法：大地水准面是假想海洋处于完全静止的平衡状态时的海水面延伸到大陆地面以下所形成的闭合曲面。事实上，海洋受潮汐、风力的影响，永远不会处于完全静止的平衡状态，总是存在着不断的升降运动，但是可以在海洋近岸的一点竖立水位标尺，成年累月的观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，人们假定大地水准面就是通过这点处实测的平均海水面。对于同一个国家来说，只能根据同一个验潮站所求得的平均海水面作为全国高程的统一起算面一一高程基准面。（2）水准原点：为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必须建立稳固的水准原点，用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程，以此高程作为全国各地推算高程的依据。在“1985国家高程基准”系统中，我国水准原点的高程为72.260m.18简述大地测量常用坐标系的定义、建立及相互关系。（29、28）答：如图所示，P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角L，叫做P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0—180度），向西为负，叫西经（0—180度）。P点的法线Pn与赤道面的夹角B,叫做P点的大地纬度，由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0-90度）；向南为负，叫南纬（0—90度）。在该坐标系中，P点的位置用L,B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L、B外，还要附加另一参数——大地高H。

当坐标原点为在总地球椭球（或参考椭球）质心时，此时称为地心（或参心）空间直角坐标系。天文坐标系是以前垂线为依据建立起来的:天文纬度是P点的铅垂线与地球赤道形成的锐角，天文经度是天文起始子午面通过P点的天文子午面之间形成的二面角.如图所示，设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午面椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系。连接OP,则pox称为地心纬度，而OP= 称为P点向径.设椭球面上P点的大地经度为L,在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中,P点位置用L,u表示。18.简述地球椭球基本参数、相互关系及经验结论，绘图说明地球椭球辅助函数W、V的几何意义。（29、28）椭圆的长半轴椭圆的短半轴椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的长半轴椭圆的短半轴椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率地球椭球基本参数及其互相关系a-b+ez,b=a*/\—e2c=a-1+*,a-c/1—/J=e—1Te=elv/T^--? *V-Wv^l-FW=V*/l—e2W—Jl—静•V=f—）*VV=Ml，J*•W=吟）•w>仍=1-£、in%=（1—^）V2V2=1+n2（1十才）W?）W=op'/a,v=op'/b19、什么是椭球中心三角形，其边长大小如何？（29、28）答：过椭球上任意一点做法线与赤道交点,长短半轴交点构成的三角形是地球中心三角形20、为什么说椭球面上的点（两极及赤道除外）的法线一般不通过椭球中心？（29、28）答：同一点的大地坐标和天文坐标的法线和垂线不一致亦即由垂线偏差引起的.21、大地经度L：测站子午面与起始子午面之间的夹角，有东经、西经之分，取值0-180021、简述大地纬度、地心纬度、归化纬度的概念，其相互关系如何？（29、28）答：某点法线与赤道面的夹角，叫做该点的大地纬度。设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭球中心O为原点建立地地心纬度坐标系。连接OP，则POX二称为地心纬度。设椭球面上P点的大地纬度为L，在此子午面上以椭球中心为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P点，则与x轴夹角称为P点的归化纬度。大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的关系；22、解释垂线偏差，造成地面各点垂线偏差不等的原因有哪些?，简述研究垂线偏差有何意义？地面上一点的重力向量g和相应椭球面上的法线向n量之间的夹角定义为该点的垂线偏差.通过垂线偏差把天文坐标同大地坐标联系起来了，从而实现两种坐标之间的相互转换。23、何为拉普拉斯方程，简述大地坐标系与天文坐标系的关系。（27、26）答：1.B押-；L=A-nsecqA=a-（入-L）cosq以上三个公式是天文方位角规算公式，也叫拉普斯公式B=q-， （1）L=A-nsecq （2）以上两式为天文纬度、经度和大地纬度和经度的关系。若已知一点的垂线偏差，一举上式，便可将天文纬度和经度换算为大地纬度和经度。通过垂涎偏差把天文坐标同大地坐标联系起来了，从而实现两种坐标的互换。24、大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？测量外业及内业计算的基准线与基准面是什么？天文大地测量和测绘工作关系如何？（27、26）.大地坐标系：基准面为：地球椭球基准线为：铅垂线天文坐标系：基准面为：地球椭球基准线为：铅垂线.测量外业和内业的基准线是铅垂线，基准面是大地水准面.在天文大地点上推求出的垂线偏差资料可被用来详细研究大地水准面（或似大地水准面）相对参考椭球的倾斜及高度，从而为研究地球形状提供重要的信息。天文测量还可以给出关于国家大地网起算点的起始数据，天文坐标还可以解决关于参考椭球定位、定向，大地测量成果向统一坐标系得归算等问题。总之，天文大地测量和我们测绘工作紧密相连。25、解释正常位水准面、重力异常、重力位水准面、垂线偏差(27、26)正常位水准面：重力异常：重力位水准面：重力位相等的面称为重力等位面，即通常所说的水准面。垂线偏差：地面上一点的重力向量g和相应椭球的法线向量n之间的夹角定义为该点的垂线偏差。26、参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？(27、26)椭圆的长半轴a椭圆的短半轴b椭圆的扁率a=(a-b)/a扁率a反映了椭球体的扁平程度，a值介于1和0之间，如当a=b时，a=0，椭球变为球体；当b减小时，a增大，则椭球体变扁；当b=0时，a=1时，则变为平面。27:我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么？答：我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球1980年国家大地坐标系应用的是1975国际椭球这两种椭球的主要参数是：①克拉索夫斯基椭球体a 6378245.0000000000(m)b 6356863.0187730473(m)c 6399698.9017827110(m)a 1/298.3e"2 0.006693421622966e' "2 0.006738525414683②1975国际椭球体a 6378140.0000000000(m)b 6356755.2881575287(m)c 6399596.6519881015(m)a 1/298.257e"2 0.006694384999588e’’2 0.00673950181947328：什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？答：大地测量的基本坐标系是的大地坐标系和空间直角坐标系这两种坐标系在大地测量、地形测量以及制图学的理论研究及实践工作中都得到了广泛的应用。因为它们将全地球表面上的关于大地测量、地形测量及地图学的资料都统一在一个统一的坐标系中。此外，它们是由地心、旋转轴、赤道以及地球椭球法线确定的，因此，它们对地球自然形状及大地水准面的研究、高程的确定以及解决大地测量及其他科学领域的科学和实践问题也是最方便的。29：水准测量为什么产生高程多值问题（理论闭合差）？答：由水准面不平行而引起的水准环线闭合差，称为理论闭合差30：水准测量中，研究高程系统的作用如何？高程系统分为几种，我国规定采用哪种作为高程的统一系统。答：引进高程系统，是为了解决水准测量高程多值性问题高程分为正高系统、正常高系统、力高和地区力高高程系统我国采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统31：解释理论闭合差、正高系统、正高、正常高系统、似大地水准面、大地水准面差距。答：理论闭合差：水准面不平行而引起的水准环线闭合差正高系统：以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高系指改点沿垂线方向至大地水准面的距离正高：是一种唯一确定的数值，可以用来表示地面点的高程。正常高系统：将正高系统中不能精确测定的用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称为正常高似大地水准面：由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面大地水准面差距：任意一点正常高和正高之差，亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的值一般地，在海水面,正常高和正高相等，在山区或者平原，正常高和正高不相等.32解释正常高和正高的几何含义,为什么正高是一种确定的值？答：正高是以大地水准面为高程基准面，大面上任一点的正高系指该点沿垂线方向至大地水准面的距离.将正常高中不能精确测定的?坨用正常重力代’恨代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高.

Igdh=g&dHdH 是过B点的水准面与起始大地水准面之间位能差,与不随路线而异,因此,正高是唯一一种确定的数值.32写出正常高,正常高高差计算公式,并说明各项的几何意义.答:有正常高差计算公式:%H[dA+i[(7o-十J[(g-7)d/2

册mJ 公品(正常位水位面与重力等位面不一致引起)当计算两点高差时一有式水准测量测得的高差正常位水准而不平行改正数重力异常改正项...n,(正常位水位面与重力等位面不一致引起)当计算两点高差时一有式水准测量测得的高差正常位水准而不平行改正数重力异常改正项...n,33写出正高与正常高的之差公式,并说明在不同地区的差异.答:这就是说在海洋面.大地水准面和似大地水准面重J合。所以大地水准面的高程原点时似大地水准面也］是适含的。对任意一点正常高和正高之差，即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的差值是:答:这就是说在海洋面.大地水准面和似大地水准面重J合。所以大地水准面的高程原点时似大地水准面也］是适含的。对任意一点正常高和正高之差，即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的差值是:S1UBSOOmGal.H*=8km,则得H*—H正=-—-•W,=4m海水面上Wo—W3=JogdA=0,故//匕="*-平原地区jU-7==5OmGal,H,=500m,则知Hl/=七1&*©TD在海水面上,正常高和正高相等,即大地水准面和似大地水准面重合在山区或者在平原则不相等.34解释力高系统,说明为什么要引用力高系统.答:力高系统也就是说将正常高公式中的r(m,A)用纬度45度的正常重力r45度代替，一点的力高就是水准面在纬度45度处的正常高.因为如果纬度变化很大，那高程差很大，会远远超过测量误差，这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的,为了解决这个矛盾,可以采用所谓力高系统.35绘图说明大地高,正高与正常高的关系.答:B点为正高,A点为正常高,0点为大地高..沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正,为什么？答:不需要.因为是沿着同一纬度圈进行水准测量的，而正常位水准面不平行改正数是随纬度变化而变化的..什么叫子午圈、平行圈、法截面、法截线、卯酉圈？特性如何？答：子午圈就是过椭球旋转轴与椭球的交线；平行圈就是平行于赤道的平面与椭球体的交线；过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截线；过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭和的圈称为卯酉圈。特性：（1）B=0°时，在赤道上，M小于赤道半径;此时卯酉圈变为赤道,N即为赤道半径a.（2）0°<B<90°时，此间M随纬度的增大而增大;此间N随纬度的增加而增加.（3）B=90°时，在极点上,M等于极点曲率半径c;此时卯酉圈变为子午圈,N即为极点的曲率半径c..简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。答：椭球面上某一点M、N、R均是自该点起沿法线向内量取，它们的长度通常是不相等的，由它们各自的计算公式比较可知它们的关系是N>R>M,只有在极点上它们才相等，且都等于极曲率半径c,即N90=R90=M90=c。椭球面子午线曲率半径M,卯酉线曲率半径N,平均曲率半径则为R=x诉，。它们的长度通常不相等，其大小关系为NRM。.试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。解:在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS,相应的有坐标增量dX,点n是微分dS的曲率中心,于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径M.ds由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知m-db子午圈和卯酉圈曲率半径的计算公式的推导见书64页。.B#0°的平行圈是否可能是法截线？为什么？卯酉圈曲率半径N与子午圈半径M何时有最大值？何时有最小值?

答：不能。法截线是法截面与椭球面的交线，过椭球的任意一点作一条垂直椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面。故各点的法截面都不平行于赤道，所以法截线不可能是平行于赤道的。BW0°的平行犬不可能是法截线。当B=90°时，卯酉圈曲率半径N与子午圈半径M有最大值，当B=0°时，N,M有最小值。.某点到赤道的子午弧长S=3745682.193米，求该点的纬度。a=6378245,a=1/298.3解：B=X/6367588.4969=0.588242B于=B+(50221746+(293622+(2350+22cos20)cos20)cos20)10-10sin0cosP=23°07;06〃.已经某点的纬度B=31°28,16〃.2831,求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,a=1/298.3。解.X=CB+(CcosB+Ccos3B+Ccos5B+Ccos7B)sinB, 0 2 4 6 8=6367558.4969m C2=-32140.4049m C4=135.3303mC6=-0.7092m =0.0042mAX=3487938.241m.为什么说任意方向法截线曲率半径RA随A的变化以90°为周期的？这一结论对椭球问题的解算有什么意义？答:N答:N1+e'2cos2Bcos2A当A由0°—90°时，RA之值由M-N,当A由90°—180°时，RA值由N-M,可见RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合，而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，推导从赤道到已知纬度B见的子午线弧长的计算公式就足够使用了。44、当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？答：从RA的计算公式：RA=R e；2cosBcos2A2可知，RA不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。因为当椭球元素确定之后，R确定了，根据上式可知只要再知道B、A即可。45、解释平均曲率半径、大地测量主题解算正算、大地测量主题解算反算、正常水准面不平行性、高斯投影坐标正算、高斯投影坐标反算。答：平均曲率半径：所谓平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截弧(丛0f2兀)，当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示。大地测量主题解算正算：此时已知量：①1,a1及。；要求量：①2,a2及人。首先按：siny2=sinyloose+cosQIsinocosa1式计算siny2,继而用下式计算①2：siny2tany2=(1-(siny2厂2厂1\2为确定经差人，将(a)\(f),得sinosina1tan人= cosy1cosO-siny1sinocosa1为求定反方位角a2,将(h)\(g),得：sina1cosy1tana2= cosy1cosocosa1-siny1sino大地测量主题解算反算：此时已知量：y1,y2及入；要求量:，o,a1及a2。为确定正方位角a1,我们将(a)\(c),得：sinAcosy2 ptana1==_cosy1siny2-siny1cosy2cosA q式中p=sinAcosy2,q=cosy1siny2-siny1cosy2cosA为求解反方位角a2,我们将(b)\(d),得sinAcosy1tana2= cosy1siny2cosA-siny1cosy2为求定球面距离o，我们首先将(a)乘以sina1,(c)乘以cosa，并将它们相加；将相加的结果再除以(e),则得:psina1+qcosa1tana= cosO正常水准面不平行性：由于两水准面之间的距离dh=-也g可见，两个无穷接近的水准面之间的距离不是一个常数，这是因为重力在水准面不同点上的数值是不同的，故两个水准面彼此不平行。高斯投影坐标正算：正算时，原面是椭球面，投影面是高斯平面，已知的是大地坐标（x,y），要求的是平面坐标（B,L），相应的有如下投影方程y=Q1（B,L）x=Q2（B,L）对投影函数①1和①2提出如下三个条件：⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶正形投影条件。高斯投影坐标反算：反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标（x,y），要求的是大地坐标（B,L），相应的有如下投影方程Bp1（x,y）L=Q2（B,L）对投影函数①1和①2提出如下三个条件：⑴x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；⑵）x轴上的长度投影保持不变；⑶正形投影条件。46、研究平均曲率半径R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R与RA的最大差异是多少？试将它对距离化算（用R代替RA）的影响作一定量分析。答：意义为：由于RA的数值随方位而变化，这给测量计算带来不便。在测量工作中往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此叫要推求这个球面的半径，即为平均曲率半径，这就解决了由于RA的数值随方位而变化，这给测量计算带来不便。由R和RA的差

△=2cosBcos2A△=2cosBcos2A2即可推出最大差异.分析：从RA的计算公式：RRA=R ez"2cosBcos2A2可知，RA不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关，要求RA还要知道R,而R只与M、N有关，比较简单不用很麻烦。47、在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道算起？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长(B1#B2#0°),如何计算？答：因为子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合，而迟到又把子午线分成对称的两部分，因此，推导从赤道开始到已知纬度B间的子午线弧长的计算公式就足够使用了。X1J1MdBX2JB2MdB0AX=X2-X1即为所求得弧长。48、当子午线弧长不超过45km时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。答：圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mm,其计算公式为：X=Mm (B2-B1)〃= AB〃p" (1)m当子午线弧长不超过45km时,其弧度48、简述计算子午椭圆周长的全过程。答：1)、子午线关于地球椭球长短轴对称，则地球椭球周长为第一象限的子午线弧长的4倍；2)、单位长度的子午线长度为，则第一象限的子午线弧长为Md以纬度从00到900的积分。x=』+9°MdB.B 049、如何计算平行圈弧长？比较子午圈弧长和平行圈弧长的变化区别。答：(1)旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴r就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,即有r=x=NcosB=acosB/1.'(1-e2sin2B)如果平行圈上有两点，它们的经度差l"=L1-L2,于是可以写出平行圈弧长公式:S=NcosBl"S=NcosBl"一=b1I"p"很显然，同一个精度差l在不同纬度的平行圈上的弧长是不相同的，所以，平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为dS=竺NB六-MsinBl"ABab因为MAB=AX，于是AS=—(L2—L1)sinB-AX式中(B2+B1)式中221(2)变化区别：单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长；而单位精度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。同时，1°的子午弧长约为110km,1/约为1.8km,1〃约为30m,而平行圈弧长，仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着纬度的升高它们的差值愈来愈大。50、研究相对法截线有何意义？绘图说明为什么不同纬度的P1、P2两点相向观测会产生相对法截面问题，画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。答：1、在研究法截线的基础上定义大地线，进而研究大地线的性质和微分方程。2、任取椭球面上两点P1和P2,纬度分别为B1和B2,B1不等于B2,通过两点分别作法线与短轴交于Na和Nb点，与赤道分别交于Q1、Q2,产生了两个法截面.如图：3、某方向在不同象限时正反法截线的关系图:51、何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由:（1）任意方向法截线，（2）子午圈，（3）卯酉圈，（4）平行圈答：假设经纬仪的纵轴同A、B两点的法线Ana和Bnb重合（忽略垂直偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面AnaB同椭球面的截线为AaB，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同样有B点照准A点，则照准面BnaA与椭球面之截线BbA,叫做B点的正法截线或A点的反法截线。因法线Ana和Bnb互不相交，故AaB和BbA这两条法截线不相重合。我们把AaB和BbA叫做A、B两点的相对法截线。大地线：椭球面上两点间的最短程曲线2、任意方向的法截线不一定是大地线，大地线是两点间唯一最短线，位于相对法截线之间，靠近正法截线，但仍有一夹角。子午圈、卯酉圈都是大地线，因为它们都是法截面与椭球面相交的最短曲线。平行圈不一定大地线，因为它52、纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？答：同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线是重合的，纬度相同的两点在同一平行圈上，所以纬度相同的两个点的相对法截弧是重合的。此线就是大地线，大地线是位于相对法截线之间的唯一最短线，当两点的相对法截弧重合，所以该重合的法截弧亦为大地线。53、为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？答：大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度的差异总是可忽略不计的。大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截弧之间，并靠近正法截先，它与法截线间的夹角（5=1/3AO54、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐标变换到三维空间直角坐标系中。55、大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。答：大地线微分方程：dB=cosA/M•dSdL=sinA/NcosB,dSdA=sinA/N,tanBdS大地线微分方程表达了dAdLdB各与dS的关系式。（设P为大地线上的任意一点，其经度为L,纬度为B,大地线方位角为A。当大地线增加dS到P1点时，则上述各量相应变化dLdB及dA）意义：这三个微分方程在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常用到。推导思路：dS在在子午圈上分量p2p1=MdB,在平行圈上分量pp2=rdL=NcosBdL有三角形pp2p1是一个微分直角三角形，由三角形的各种关系可推得。56、怎样理解克莱洛定理中大地线常数C的含义？答：克莱劳方程：r•sinA=C式中常数C也叫大地线常数，它的意义可以从两方面来理解。当大地线穿越赤道时，B=0°,r=a,A=A。，于是C=asinA。当大地线达极小平行圈时A=90°,设此时B=B。，r=r。，于是C=r。•sin90°=r。由此可见，某一大地线常数等于椭球半径与大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。57、地面观测的方向值归算至椭球面应加哪些改正？答：包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。58、试述三差改正的几何意义及实质。为什么有时在三角测量工作在中可以不考虑三差改正？答：几何意义是1、将地面观测的水平方向归算至椭球面2、将地面观测的长度归算至椭球面，实质就是垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。由公式△$"[(u〃1+u〃2)/2p〃](H2-H1)可见，垂线偏差在基线偏差分量u及基线端点的大地高程有关，其数值一般比较小，此项改正是否需要，须结合测区及计算精度要求的实际情况作具体分析。59、绘图说明三差改正对地面观测的方向值影响，三差改正数的大小，各与什么有关？答：见p79-p80页的图和公式就是答案。(由于绘图和输入公式我不会，所以就这么写了)60、试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公式：As=D-s=■y-+-y2s12R224R2)答：当计算要求达到0.001m的时候，就要用更精确的距离改化公式。61、将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得：式中H应为边长所在高程面相对于椭球面的高差,而实际作业中通常用什么数值替代？这对5〃的计算H精度是否有影响？为什么？答：实际作业中用平均高程Hm替代。有影响，因为改正数主要是与基线的平均高程Hm及长度有

关。.根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高程面以及化算至测站点与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间有何差异？试导出其差异的来源。答：公式符号不会输入。.绘图说明利用测距仪测得地面两点的直线斜距归算到参考椭球面上应加哪些改正，写出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，说明各参数含义。答：将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，称为三差改正。由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式为：d=D0{{1-[(H2-H1)/2r2}/(1+H1/RA)(1+H2/HA)}.在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？答：不是。.什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检验方向改正值计算的正确性？如图，假设地球椭球为一圆球，在球面上在轴子午线之东有一条大地线AB,当然它定是一条大圆弧。我们知道，在球面上四边形ABED的内角之和等于3600+W,£是四边形的球面角超。66.什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析意义是什么？答：知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题叫大地主题解算。椭球面上两控制点大地坐标，大地线长度方位角的正解和反解问题同平面上两控制平面坐标、平面距离及方位角的正反算是相似的。不过解算椭球面上的大地问题要比平面上相应计算复杂得多。大地主题正、反解原是用于推求一等三角锁中各点的大地坐标或反算边长和方位角的，目前由于大量的三角网都转化到高斯投影面上计算，所以它在三角测量计算中的作用就大大降低了。但是随着现代科学技术。特别是空间技术、航空、航海、国防等方面的科学技术的发展，大地主题又有了重要作用，解算的距离也由原来几十、几百公里扩大到几千甚至上万公里。67.白塞尔投影条件是什么？论述白塞尔大地主题正反解算全过程。答：白塞尔投影条件：(1)椭球面大地线投影到球面上为大圆弧；(2)大地线和大圆弧上相应点的方位角相等;（3）球面上任意一点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。步骤：1）按椭球面上的已知值球面相应值，即实现椭球面的过程。2）在球面上解算大地问题。3）按球面上得到的数值椭球面上的相应数值即实现椭球的过渡。68、为什么要研究投影？简述投影的分类，我国目前采用的是何种投影？P108（5）答：就是为了要将椭球面上的元素（包括坐标，方位和距离）按一定的数学法则投影到平面上，所以要去研究投影，研究这个问题的专门学科一一地图投影学地图投影的分类：1、按变形性质分类：等角投影（正形投影）等积投影任意投影（保持某一方向上的长度比为一即为等距离投影）按经纬网投影分类方位投影圆锥投影圆柱（或椭圆柱）投影在地图投影实际应用中，也可按投影面积和原面的相对位置关系来进行分类：正轴投影斜轴投影横轴投影除此之外，为调整变形分布，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓的割圆锥，割圆柱投影等。我国大地测量中，采用横轴椭圆柱面等角投影，即所谓的高斯投影。69、控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种的要求？P110（5）答：首先，应当采用等角投影。其次，在所采用的正形投影中，还要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这写变形而带来的改正数。最后，对一个国家乃至全世界，投影后的应该保证具有一个单一起算点的统一的坐标系，可这是不可能的。因为为了控制测量选择地图投影时，应根据测量的任务和目的来进行。70、椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和应用？答：变形有4种，1）长度变形，可利用主方向上的长度比a，b，即可计算任意方位角为a方向上的长度比。2）方向变形，计算公式：sin（a-a′）=（a-b）/（a+b）*sin（a+a’）。3）角度变形，所谓角度变形就是投影前的角度u与投影后对应角度u’之差△□二u’-u，最大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。4）面积变形，原面上单位圆的面积为n，投影后的面积为hab，则投影的面积比P=rab/n=ab70、简述地图投影变形有几种，各适用于何种图件。（3、1）答:：地图投影变形有4种，分别为①长度变形②方向变形③角度变形④面积变形.简述高斯投影过程,高斯投影应满足那些条件?6°带和3°带的分带方法是什么?如何计算中央子午线的经度及测区带号?高斯投影的分带会带来什么问题？答:高斯投影是想象有一个椭圆柱面横套在地球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成投影面.满足的条件是:1,中央子午线投影后为直线2,中央子午线投影后长度不变.3,投影具有正形性.6°带，自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1，2,3等。带号用N表示，中央子午线的经度用L表示，则L=6N-3。3°带的中央子午线单数带与6°带重合，偶数带与6°带分界子午线重合。L=3N由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，这给使用造成了不便。.为什么在高斯投影带上，某点的丫坐标值有规定值与自然值之分，而X坐标值却没有这种区分？在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？答：我国位于北半球，X坐标均为正值，而Y坐标则出现负值，规定将X坐标向西平移500KM。此外还应在坐标前面再冠以带号。当写国家统一坐标时应采用规定值，当计算时要先去掉带号，再减去500000M。.正形投影有那些特征？何为长度比？答：特征：微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微分圆形的形式性；投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。长度比m就是投影面上一段无限小的为分线段ds，与椭球面上相应的微分线段ds二者之比，也就是m=ds/dS.投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的脊背思路是什么？给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用？答：投影长度比公式的导出为推导正形投影和高斯投影打下了基础。基本思路：在椭球面上有无限接近的两点pl和p2,投影后为pl’和p2’，ds为大地线的微分弧长，其方位角为A，dS的投影弧长为ds在微分直角三角形plp2P3及pl'p2‘p3‘中，有：dS2=(MdB)2+(NcosBdl)2ds2=dx2+dy2则长度比m2=(dx2+dy2)/((NcosB)2((MdB/NcosB)2+dl2))为了简化以后公式的推导过程，引用符号dq=MdB/NcosB,Z则q=/°bMdB/NcosB称为等量纬度。因为q仅与纬度有关，因此可以把dq和dl看作是互为独立的变量的微分，这样就可以近一步简化长度比公式。.写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函数，皆能满足正形投影的条件？(柯西黎慢条件)答：一般公式：a=b或a-b=0因为sin(4u/2)=(a-b)/(a+b),若a=b,则可知角度形变为0,因此能够满足正形投影的条件。.学习了正形投影的充要条件和一般公式后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？答：高斯投影是正形投影，保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。由于采用了分带投影，这既限制了长度变性，有保证了在不同投影带中采用的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。.高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？答：高斯投影正算公式是通过大地坐标(L,B)能过求出高斯平面坐标(x,y)高斯投影反算公式是通过高斯平面坐标(x,y)能过求出大地坐标(L,B).试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及全过程。答：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影的长度不变；投影具有正形性质，即正形投影。由第一条件可知，由于地球是个旋转椭球体，所以中央子午线东西的两侧的投影必然对称于中央子午

线。在椭球面上有对称于中央子午线的两点匕和P2,它们的大地坐标分别是线。在椭球面上有对称于中央子午线的两点匕和P2,它们的大地坐标分别是（l，B）和（-l，B）。式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线的经度之差P点在中央子午线之东，l为正；在西，l为负，则投影后的平面坐标一定为P「（x,y）和P「（x,-y）。令x，y与l，q的函数关系为x=x(l,q),y=y(l,q)因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差l是不大的，因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差l是不大的，l/q是个微小量，所以将（1）式中5H5H (2)的函数展开为经差l的幕级函数，如下:x=m+m12+mY4h—

0 2式中rn0、mj是待定系数它们都是纬度B的函数。对（2）式求偏导，带入上式。得:m+3m12+m+3m12+5m14h—= 0-+2-12+414+・・•dqdqdq2m1+4m13+…二dmdm 11- 13一…dqdq为使上面两式相等，其必要而充分条件是l的同次幕的系数相等。故有:dm.

dq1dm位于子午线上的点，令l=0时，x=m0=X1dm3dq(4)投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长，即在第（1）式中其中，X是自赤道量起的子午线弧长。NcosBTOC\o"1-5"\h\z,XC dBNcosB子午线弧长微分公式F=M和 =\o"CurrentDocument"dB dqdmdmdBdXNcosB—dmdmdBdXNcosB—o-=—0.—= • dqdB'dqdBNcosB=M• =NcosBM(6)m=m=NcosB=—cosBi V对（7）式求偏导，得:dm——idqdmdB—•——dBdqdB<Vd(c) cosdm——idqdmdB—•——dBdqdB<Vd(c) cosBdBdqdm——1

dqcdVIV2dBccosB--sinBVdBdqdVdB—sinBVCc—-cosBv c———sinbh2-V2/v2cosBV3 I代入（4）式，得代入（4）式，得C.cc一sinBcosBVN.=—sinBcosB2(8)依次求导，并依次代入（4）式右可得m3,m4,…各值:m—依次求导，并依次代入（4）式右可得m3,m4,…各值:m——cos3b(-12+r2)3bNC,———sinBcos3B号-1224Nt)2) cos5120将（9）式代入（2）式，并略去“215及16以上各项，最后得到高斯投影坐标正算公式如下:N.一一Nx-X+ sinBcosBl2+ 2P〃224p〃4sinBcos3B$-12+9n2 4(10)Ny=——cosBl+

Ny=——cosBl+

P〃 cosB1-12+n213+ cos5BS—18t2+14156p〃3 3 120p〃5当l<3.5时，公式换算的精度为土0.1m。欲要精确至0.001m的坐标公式，可将（10）式继续扩充，得到如下公式:x=X+-N-x=X+-N-2p''2sinBcosBl2+ sinBcos3B5-12+9n2儿4+24p〃4(11)N，“ cos5B§-18t2+14120p''5——(11)N，“ cos5B§-18t2+14120p''5NNCY,y=——cosBl+ cosB1-12+n213+p'' 6p''3 3N( Y cos5B5-18t2+14+14n2-58n2121120p''5.试述高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲（凹向中央子午线），平行圈投影像向两极弯曲（凸向赤道）。（随着B或L的变化,X及Y的变化规律）答：假设在椭球面某一带内有一要化算到高斯平面上的三角网P,K,T,M,Q等，其中P点为起始点，其中大地坐标B,l,而l=L-L0，L及L0为P点及轴子午线的大地经度；起始边PK=S；中央子午线ON，赤道OE，起始边的大地方位角A；PC为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标为B l=00;PP为过Ppk 0, 1点平行圈，r点的大地坐标b，i=0o；x为赤道至纬度的平行圈子午弧长。在高斯投影面上，中央子午线和赤道被描写为直线ON及OE'。其他的子午线和平行圈，比如过P 一,一点的子午线和平行圈均变为曲线，如PN和Pp，点P的投影点P'的直角坐标为x,y,椭球面三角形投影后变为边长.>S,曲线三角形，且这些曲线的凹向纵总坐标轴；由于是等角投影，所以大地方位角投影后A球没有变化.某点的平面直角坐标x,y是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离？为什么？（可分自然坐标和统一坐标回答）答：是，在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，一种以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。89、坐标系统是由坐标原点位置、坐标轴的指向和尺度所定义的。88、什么是子午线收敛角?试用图表示平面表示午线收敛角Y之下列特性：设P'点表示为椭球面P点,P'N为过P点的子午线PN,P'Q'为平行圈PQ在高斯面上的描写.所谓点P'点子午线收敛角就是P‘N'在P'上的切线P'n’与坐标北P't’之间的夹角，用Y表示.(1)点在中央子午线收敛角以东时，Y为正，反之为负；由图知，当点在中央子午线收敛角以东时，Y为正，反之为负(2)点与中央子午线的经差愈大，丫值越大；因图可以看出,经差越大的时候,它的弦度越大,曲率越大,所以之间的夹角越大(3)点所处的纬度愈高，丫值越大；点所处的纬度越高,上面相对于赤道处的曲率更大一些,所以偏角也就越大(4)写出大地方位角和坐标方位角的关系式.设坐标方位角为a,平面表示午线收敛角Y和方向改化6,A为大地方位角，可知大地方位角和坐标方位角的转化公式为a=A-y+689、绘图表示子午线收敛角的正与负情况(1)当投影点在轴子午线东为正；(2)当投影点在轴子午线东为负。.高斯投影既然是正形投影,为什么还要引进方向改正？(与点位有关)因为高斯投影虽然是正形投影，但是在偏离中央子午线收敛角越远的时候，它的投影变形就会越大，所以要引进方向改正..试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式.假设地球为一圆球,在球面上在轴子午线之东有一条大地线AB时,它在投影面上投影为曲线ab.过A,B两面三刀点，在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交，其交点分别为D,E,它们在投影面上的投影分别为ad,be.由于是把地球近似看成球,故ad,be都有是垂直于x轴的直线.在a,b点上的方向改化分别为6ab,6ba.当大地线长度不大于10km时,y坐标不大于100km时,之差不大于0.05〃，因而可近似的认为6ab=6ba.在球面上四边形abed的内角之和等于360°+6ab+6ba.由于是等角投影,所以之两个四边形内角之和应该相等，即360°+£=360°+6ab+6ba因此得w=6ab+6ba=26ab=26ba由此有6ab=6ba=1/2e，又因为在球面上，球面角超有公式8〃=(P/R2)p〃式中的P为球面图形面积,在此处为ABED的面积,其计算公式为P=DE(AD+BE)/2,DE的弧长为DE=Xd-Xe=Xa-Xb,当边长不大,横坐标丫之值较小时，可近似认为弧长AD"Ya,弧长8£心丫反双由于球面角超总为正值，于是可以把球面角超公式写为8〃=(P/R2)| (Xa-Yb)(Ya+Yb)/2|所以方向改正的计算公式为6ab=6ba=p〃/2R2| (Xa-Yb)YmI式中Ym=(Ya+Yb)/2所以方向改正公式应是6ab=p〃/2R2Ym(Xa-Xb)6ba=-p〃/2R2Ym(Xa-Xb)因为各点的精度要求不一样,各个三角网的要求都不一样,所以对于各个的精度就不一样.92、怎样检验方向改正数计算的正确性?其实质是什么？(△a+Ab+^c=-£)因为椭球面三角形内角之和为1800+8,正形投影到平面后由曲线组成的该三角形内角之各当然是180°+8.方向改正是将平面上的曲线三角形的边改直线，则平面角为a=Nab-Nac=Nab，+6ab-(Nac，+6ac)=Nab'-Nac'+(6ab-6ac)式中的Nab，，Nac，及Nab,Nac分别为椭球面及平面上的方向观测值，若Nab-Nac'=A,6ab-6ac=△a为角度改正数，则有a=A+△a,b=B+△b,c=C+△c,将上面的两式相加得a+b+c=A+B+C+(4a+^b+^c)又因为a+b+c=180°,A+B+C=180°+8，所以△a+ab+^c=-8由此可知，一个三角形的三个内角的角度改正值之和应等于该三角形的球面角超的负值.此式可用来检核方向改正计算的正确性.其不符值，二等不得大于土0.02〃，三等以下不得大于土0.2〃.其实质是根据三角形与球面三角形之间差一个球面角超.93、要将椭球面的三角关系归算到平面上，包括坐标，曲率改正，距离改正和子午线收敛角等计算。最后控制网跨越两个相邻的投影带时进行平面坐标的邻带转换。如图-控制测量下册一图8-5(自己扫描)94、已知距离改化计算公式为：y2D=s+—1s2R2若要求改正数的精度为10-7,问坐标的精度为多少(已知R=6370km,ym"300km)?(求偏导计算可)95、绘图说明平面子午线收敛角、方向改化和距离改化的几何意义。答(1)p’子午收敛角就是p‘N‘在p'上的切线p'n'与坐标北p't之间的夹角，用r来表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正行性质，因此它们的描写线p'N'及p'Q’也必正交，由图可见，平面子午收敛角也就是等于p'Q'在p’点上的切线p'q'同平面坐标系横轴y的倾角。⑵方向改正的数值指的是大地线投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。⑶设椭球体上有两点p1p2及其大地线S，在高斯投影面上的投影为pl’，p2’及s.S⑵方向改正的数值指的是大地线投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。⑶设椭球体上有两点p1p2及其大地线S，在高斯投影面上的投影为pl’，p2’及s.S是一条曲线，而连接pl‘p2'两点的直线为D，S化至D所加的改正称为距离改正△$96、导出三种纬度.、u与B的关系。 （B>u>♦）答：B与u之间的关系:%=acosu,y=bsinux=上cosB,

W一e2sin2BsinBsinusinBcosu=—cosBWsinB=VsinucosB=Wcosuitanu=<1一e2tanBu与。之间的关系：,/tan力=y y=、'1-e2tanux xtan。=、.'1—e2tanuB与。之间的关系:tan0=\，1—e2tanutanu=v"1tan0=\，1—e2tanutan0=l一e2）anB汇总可得：tanB=1——e'2tanu=I+e'2）tan0tanu=*1—e2tanB=V1+e2tan0tan0=1—e2）anB=v1—e2tanu97、试述椭球面三角元素归到高斯平面上包括哪些内容及需要进行哪些计算工作？答：1）将起始点P的大地坐标（L，B）归算为高斯平面直角坐标x,丫；为了检核还应进行反算，亦即根据x,y反算B，L。2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角，通过计算该点的子午线收敛角及方向改化实现。3）将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角，通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现。4）将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化等计算工作。97、估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边缘一条边长50KM的最大长度变形（m-1）,己知ym^330kmo（代入公式近似计算）答：r=yx'2+/2xx=a5,y==b",己=cosa,"=sina■;m=r=aa2cos2a+b2sin2a-y2V=m—1=」一（根据公式（15-124））2R2m其中a为所研究线段的方位角，a,b是主方向上的长度比。Rm是按大地线始末两端点的平均纬度计算（查取）的椭球的平均曲率半径。98、在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一的测图采用60投影带，一万分之一或大于一万分之一的测图采用30投影带，其根据何在?答：限制长度变形。因为30带范围内的最大长度变形相当于60带范围内的最大长度变形的1/4。99、如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统统采用3°带投影优于6°带投影，你认为这个结论正确吗？为什么？（测区小时相近）答：不正确。虽然3°带范围内的最大长度变形相当于6°带范围内的最大长度变形的1/4,在大比例尺测图和工程测量都采用30带投影，在特殊情况下，工程测量控制网可以采用1.5°带和任意带，但最后也要为测量成果的通用，需要同国家6。或3°带相联系。还有是30带投影分带将变得更多。总之，应该视具体情况而定。100、高斯投影的邻带坐标换算的必要性如何？（三条），高斯投影的换带计算共有几种方法？有什么特点？（间接与直接方法）简述高斯投影的邻带坐标换算的间接方法的思路。必要性：高斯投影虽然保证了角度没有变形，可是长度变形较严重。为了限制高斯投影的长度变形，必须依中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的狭长带内分别进行。但这又使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。于是，因分带的结果产生了新的矛盾，即在生产建设中提出了各相邻带的相互联系问题。而这个问题就必须是有“邻带换算”来实现的。高斯投影坐标邻带换算的方法有很多种，最常用的是应用高斯投影正、反算公式进行邻带换算的方法，它具有精度高、通用和便于计算等优点。利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。其解法是:I、利用高斯投影坐标反算公式，根据Q»）换算成椭球面大地坐标（B,11）进而得到L=q+11。II、再由大地坐标（B,1）,利用高斯投影坐标正算公式，根据（B,1）计算该点在n带的平面直角坐标1 1Q,y）1,但在这一步计算时，要根据第n带的中央子午线的经度弋计算p点在第n带的经度11=l-q。为了检核计算的正确性，每步都需要往返计算。101论述高斯投影应满足哪三个条件？论述推导高斯投影反算公式的基本思想答：1）高斯投影满足的三个条件为：（1）正形投影：投影长度比在一个点上与方向无关；（2）中央子午线投影后为一直线，且是投影点的对称轴；（3）中央子午线投影后长度不变2）公式推导基本思路高斯投影是按带投影的，任一点的投影，只要看它属哪一带，确定出中央子午线经度就可以了，故投影只与经差有关了。x=F（L,B） x=F（B,1）y=F（L,B）变为：y=F（B,1）2 2①由对称条件：中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，有：椭球面：与中央子午线对称两点（A、A’），投影面：投影后的两点（a、a’）也以x轴对称。x=F（B,土1）< 1r 在数学上，F1为l的偶函数，F2为l的奇函数。±y=F（B,土1）

因为在每带中，l/p?不大，是一个微小量，可展成幕级数。'—m0+m212+m/4+|m,m,m,是待定系数，它们都是纬度B的函数。y=m+m13+m15+I0 1 21 3 5 …♦♦♦②由正形条件：正形投影必须满足的基本条件-柯西.黎曼条件，可求出m0,mi，m2的递推公式，即它们存在递推关系，故只要求出m即可。0③由等长条件：中央子午线投影后长度不变中央子午线的经差l=0，由前面，当l=0时，x=m0，可见，m0就是在中央子午线上的一段弧长。x=m=XX：当l=0时，X为自赤道量起的子午线弧长。这是可以计算的，故可把所有的系数求出，而得到正算公式。102试述高斯投影应满足哪三个条件？论述推导高斯投影正算公式的基本思想。答：1）高斯投影满足的三个条件为：（1）正形投影：投影长度比在一个点上与方向无关；（2）中央子午线投影后为一直线，且是投影点的对称轴；（3）中央子午线投影后长度不变2）公式推导基本思路高斯投影是按带投影的，任一点的投影，只要看它属哪一带，确定出中央子午线经度就可以了，故投影只与经差有关了。y=F2y=F2(BJ):J'：'变为：①由对称条件：中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，有：椭球面：与中央子午线对称两点（人、A’），投影面：投影后的两点（2、a’）也以x轴对称。卜=居（我±。±7=五式艮±/）在数学上，F1为l的偶函数，F2为l的奇函数。因为在每带中，l/p?不大，是一个微小量，可展成幂级数。X=鹤口+喇口F+溶4广+•一\y=鹤1¥+喇3/+喇5尸+一」m/mjm，，…，是待定系数，它们都是纬度B的函数。②由正形条件：

正形投影必须满足的基本条件--柯西.黎曼条件，可求出m0,m〃m2的递推公式，即它们存在递推关系，故只要求出m。即可。③由等长条件：中央子午线投影后长度不变中央子午线的经差1=0,由前面，当l=0时，x=m。可见，m。就是在中央子午线上的一段弧长。X：当1=0时，X为自赤道量起的子午线弧长。这是可以计算的，故可把所有的系数求出，而得到正算公式。101、论述待定系数法论证高斯投影坐标正算公式的推导全过程。在椭球面上有对称于中央子午线的两点匕和P2，它们的大地坐标分别是（l,B）和（-1,B）。式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线的经度之差，P点在中央子午线之东，1为正；在西，1为负，则投影后的平面坐标一定为尸（,y）和p'Q，