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文档简介
第二十三讲方阵的特征值与特征向量第一页,共十四页,2022年,8月28日一、特征值与特征向量的概念,则称成立向量x
使关系式lxAx=
1.定义和n维非零列设A是n阶矩阵,如果数l数
为方阵
A的非零向量
x为A的对应于特征值的l特征值特征向量第二页,共十四页,2022年,8月28日例1.设判别下列向量是否为A的特征向量:解:所以是
A的特征向量,对应的特征值为3.又所以不是
A的特征向量.第三页,共十四页,2022年,8月28日例2.
已知矩阵A可逆,为矩阵
A的特征值,求矩阵一个特征值.解:由于为矩阵A的特征值,即有非零的向量x使得即所以,为矩阵A-1
的特征值,相应的特征向量x未变.第四页,共十四页,2022年,8月28日即n阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组(1)由推得
特征值.
的都是矩阵A的也即满足方程值.有非零解的二、特征值与特征向量的求法对特征值与特征向量的定义进一步分析:第五页,共十四页,2022年,8月28日也即若A特征值为,则第六页,共十四页,2022年,8月28日(3)对方阵A的特征值,方程组特征向量的非零解就是A对应于特征值的由此得出求矩阵A的特征值及其相应的特征向量的方法:第七页,共十四页,2022年,8月28日求矩阵特征值与特征向量的步骤:特征值与特征向量的求法的基础解系,即是A的属于的线性无关的特征向量,基础解系的线性组合(零向量除外)就是A的属于的全部特征向量.(),
det
.102ll的全部根求特征方程=-EA();det
.1EAAl-的特征多项式计算;,,,
的全部特征值就是AnllL2求出齐次方程组对于每个特征值,
.il3第八页,共十四页,2022年,8月28日???有无穷多个.答:有多少个特征向量?矩阵A,对应于一个特征值l这是因为,特征向量是相应齐次线性方程组的非零解
)(0=-xEAl我们关心的是,线性无关的特征向量,也即相应方程组的基础解系.第九页,共十四页,2022年,8月28日例3.求矩阵的特征值和特征向量.解:
这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目,意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.A的特征多项式所以A的特征值为第十页,共十四页,2022年,8月28日对应的特征向量应满足时当,12=l解得
所以对应的特征向量可取为由当时,第十一页,共十四页,2022年,8月28日所以对应的特征向量可取为解得,21xx-=由上例知道,矩阵A的特征值之和而矩阵的主对角线上元素之和也为6,即
A的特征值之积,而矩阵A的行列式
等于A的特征值之积.
属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.当然这一结论并不是偶然的,它在一般情况下也是成立的.第十二页,共十四页,2022年,8月28日(2)12…n=|A|.结论1:
设
1,2,…,n
是
n
阶矩阵
A=(aij)的
n
个特征值(k
重特征值算作
k
个特征值),
则(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann;推论方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0.其中
是A的主对角元之和,称为方阵A的迹,记作tr(A).结论2:属于A的不同特征值的特
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