第三章地球重力场的基本理论

第三章地球重力场的基本理论第一页，共六十五页，2022年，8月28日2

地球重力场状基本理论3.1.1地球的概说（略）3.1.2地球运动概说

地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。

1、地球的自转

地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。地球的自转速度：

第二页，共六十五页，2022年，8月28日3地球重力场状基本理论2、地球的公转地球的公转满足开普勒三大行星运动定律(1)

行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其椭圆的一个焦点上直角坐标方程：极坐标方程：

f真近点角，p为焦参数（半通径）

第三页，共六十五页，2022年，8月28日4地球重力场状基本理论行星运动在单位时间内扫过的面积相等；在时间t内扫过的面积s相等，则面速度

可根据能量守恒定律导出。

(3)

行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为常数。

设a和a1,T和T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道运行周期。第四页，共六十五页，2022年，8月28日5地球重力场状基本理论则第三定律表达为：一般可以用来计算行星或卫星的质量。牛顿万有引力定律：开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。天体力学第五页，共六十五页，2022年，8月28日6地球重力场状基本理论宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：第六页，共六十五页，2022年，8月28日7地球重力场状基本理论考虑到M>>m注意：f、G、k2

在不同的教材都表示引力常数。第七页，共六十五页，2022年，8月28日8地球重力场的基本原理

引力与离心力其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。第八页，共六十五页，2022年，8月28日9地球重力场的基本原理3.2.2引力位和离心力位由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：

第九页，共六十五页，2022年，8月28日10地球重力场的基本原理万有引力定律：推导如下:假设沿力线方向做功为，则有此功等于位能的减少，积分则有：因为r→∞,V=0。所以C=0，则有取m=1，第十页，共六十五页，2022年，8月28日11地球重力场的基本原理地球总体的位函数：1、由牛顿第二定律可知：2、对位函数求导：,则有第十一页，共六十五页，2022年，8月28日12地球重力场的基本原理结论：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。推论：位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值。

第十二页，共六十五页，2022年，8月28日13地球重力场的基本原理离心力位

在离心力场中，

第十三页，共六十五页，2022年，8月28日14地球重力场的基本原理3.2.3重力位重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力位Q之和：对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：第十四页，共六十五页，2022年，8月28日15各分力的模：方向余弦：

重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：

地球重力场的基本原理第十五页，共六十五页，2022年，8月28日16地球重力场的基本原理当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准面。如果令g与l夹角等于π，则有：水准面之间既不平行，也不相交和相切。第十六页，共六十五页，2022年，8月28日17

对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是：伽(Gal=cms－２)，毫伽(mGal=Gal/1000=10－５ms－２)微伽(μGal=mGal/1000=10－８ms－２)1、地面点重力近似值980Gal，赤道重力值978Gal，两极重力值983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势。2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。地球重力场的基本原理第十七页，共六十五页，2022年，8月28日183.2.4地球的正常重力位和正常重力

要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位——正常重力位。

地球重力场的基本原理第十八页，共六十五页，2022年，8月28日19地球重力场的基本原理正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。1地球引力位的数学表达式

地球惯性矩表达引力位

(方法1)设地球上的点坐标为:地球表面点坐标为:与与第十九页，共六十五页，2022年，8月28日20建立空间直角坐标系与球面极坐标系地球重力场的基本原理第二十页，共六十五页，2022年，8月28日21地球重力场的基本原理由于第二十一页，共六十五页，2022年，8月28日22地球重力场的基本原理理论力学可知：物体的重心为定义坐标系：

，则有：

第二十二页，共六十五页，2022年，8月28日23用球谐函数表达地球引力位（方法2）

勒让德多项式地球重力场的基本原理第二十三页，共六十五页，2022年，8月28日24地球重力场的基本原理第二十四页，共六十五页，2022年，8月28日25地球重力场的基本原理

勒让德多项式中：称为n阶主球函数(或带球函数)，称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。

称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称为田球函数)

第二十五页，共六十五页，2022年，8月28日26地球重力场的基本原理用球谐函数表示的地球引力位的公式

2地球正常重力位

第二十六页，共六十五页，2022年，8月28日27地球重力场的基本原理当选取前3项时，将重力位W写成U

第二十七页，共六十五页，2022年，8月28日28地球重力场的基本原理现在需要求系数：若地球是旋转椭球体，则有转动惯量，将系数代入则有：式中：

第二十八页，共六十五页，2022年，8月28日29地球重力场的基本原理设赤道的离心力与重力之比为：令：则有：第二十九页，共六十五页，2022年，8月28日30地球重力场的基本原理注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对r和取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程：

取：，则有第三十页，共六十五页，2022年，8月28日31地球重力场的基本原理另外，旋转椭球面的方程：

则有：

正常重力公式

因为：

第三十一页，共六十五页，2022年，8月28日32地球重力场的基本原理特例：，赤道正常重力：

，极点处正常重力：令：则有：

上述正常重力公式称为克莱罗定理。第三十二页，共六十五页，2022年，8月28日33地球重力场的基本原理顾及到扁率的二次项的正常重力公式式中：第三十三页，共六十五页，2022年，8月28日341901～1909年赫尔默特公式：1930年卡西尼公式：1975年国际地球正常重力公式：ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：

地球重力场的基本原理第三十四页，共六十五页，2022年，8月28日35高出水准椭球面H米的正常重力计算公式地球重力场的基本原理第三十五页，共六十五页，2022年，8月28日36

4正常重力场参数在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参数决定,即：地球正常(水准)椭球的基本参数，又称地球大地基准常数是：其中：

地球重力场的基本原理第三十六页，共六十五页，2022年，8月28日373.2.5正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球

正常椭球面是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。正常椭球的确定：1、除了确定其M和ω值外，其规则形状可以任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a,J２，fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。

地球重力场的基本原理第三十七页，共六十五页，2022年，8月28日38地球重力场的基本原理总的地球椭球：

一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布。参考椭球：其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近。第三十八页，共六十五页，2022年，8月28日39一般说明

大地高由两部分组成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水准面(或似大地水准面)高部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，大地水准面高度又称大地水准面差距

N，似大地水准面高度又称高程异常ζ，它们基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏。因此，大地高可表示为：

3.3高程系统第三十九页，共六十五页，2022年，8月28日40设由O—A—B路线水准测量得到B点的高程由O—N—B线路得到B点高程由于水准面不平行，对应的Δｈ和Δｈ′不相等，水准环线高程闭合差也不等于零，称为

理论闭合差。

高程系统第四十页，共六十五页，2022年，8月28日413.3.2正高系统正高系统是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该点沿垂线方向至大地水准面的距离。因为无限接近两水准面其位能差可以写为

高程系统第四十一页，共六十五页，2022年，8月28日423.3.3正常高系统

将正高系统中不能精确测定的用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高。我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。正常高高差的实际计算公式

高程系统第四十二页，共六十五页，2022年，8月28日43说明：1、正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。2、正常高和正高之差,在高山地区可达4米，在平原地区数厘米，在海水面上相等，大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的。

高程系统第四十三页，共六十五页，2022年，8月28日443.3.4力高和地区力高高程系统同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决这个矛盾，可以采用所谓力高系统，它按下式定义：

高程系统第四十四页，共六十五页，2022年，8月28日45注意：说明力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中。它不能作为国家统一高程系统。在工程测量中，应根据测量范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高，力高或区域力高作为工程的高程系统。

高程系统第四十五页，共六十五页，2022年，8月28日463.3.5国家高程基准1、高程基准面

高程基准面：就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准面所形成的体形——大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。高程基准面的确定：在海洋近岸的一点处竖立水位标尺，成年累月地观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，假定大地水准面就是通过这点处实测的平均海水面。验潮、验潮站

高程系统第四十六页，共六十五页，2022年，8月28日471956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。1985国家高程基准：根据青岛验潮站1952～1979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日开始启用。

高程系统第四十七页，共六十五页，2022年，8月28日482、水准原点

为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必须建立稳固的水准起算点，用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程。高程系统第四十八页，共六十五页，2022年，8月28日491956年黄海高程系统中，我国水准原点的高程为72.289m1985国家高程基准系统中，我国水准原点的高程为72.260m。地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。海洋的深度也是相对于高程基准面而言的，例如太平洋的平均深度为4000m，就是说在高程基准面以下4000m。

高程系统第四十九页，共六十五页，2022年，8月28日503.4测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念

大地坐标同天文坐标的区别主要是由同一点的法线和垂线不一致，亦即由垂线偏差引起的。地面一点上的重力向量g和相应椭球面上的法线向量n之间的夹角定义为该点的垂线偏差。很显然，根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差及相对垂线偏差，垂线同总地球椭球(或参考椭球)法线构成的角度称为绝对(或相对)垂线偏差，它们统称为天文大地垂线偏差。

第五十页，共六十五页，2022年，8月28日51图中，u是垂线偏差，ξ、η分别是u在子午圈和卯酉圈上的分量

垂线偏差第五十一页，共六十五页，2022年，8月28日52垂线偏差1、天文大地测量方法

在天文大地点上，既进行大地测量取得大地坐标(B,L)，又进行天文测量取得天文坐标(φ，λ）。

2、重力测量方法建立扰动位与垂线偏差的关系，即扰动位与观测量(重力异常)的函数第五十二页，共六十五页，2022年，8月28日53垂线偏差维宁.曼尼兹公式此公式是在假定大地水准面之外没有扰动物质及全球重力异常Δｇ都已知的情况下推导的。然而这两个条件都还不能实现，所以重力方法至今也没有得到独立的应用。第五十三页，共六十五页，2022年，8月28日543、天文重力方法

综合利用天文大地方法和重力测量方法来确定垂线偏差

4、GPS测量方法

在GPS相对定位中，只要测出基线长D，大地方位角A及高程异常差Δζ，便可求得垂线偏差。但这种方法应用是有条件的，比如，地形平坦，基线不长，精度要求较低等。

垂线偏差第五十四页，共六十五页