正项级数判别法

正项级数判别法演示文稿当前1页，总共34页。正项级数判别法当前2页，总共34页。如果级数满足条件：称为正项级数。一、正项级数及其审敛法数列极限存在准则：单调有界数列必有极限定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.部分和数列为单调增加数列.当前3页，总共34页。证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.当前4页，总共34页。定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且(1)级数

收敛，则级数收敛；(2)级数发散，则级数发散.即:大的收敛,小的一定收敛;小的发散,大的一定发散.

当前5页，总共34页。（1）若则由定理1知,因此所以级数（2）若则由定理1知,因此所以级数收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；推论：

如果正项级数,则定理2中的结论仍和从某项N之后满足关系式:成立。当前6页，总共34页。例2.

讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因调和级数所以p级数发散.发散,由比较审敛法可知：因为当故时,2)若当前7页，总共34页。考虑级数的部分和故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.结论：p—级数当

p>1时收敛；当

p

1时发散。当前8页，总共34页。（2）时，几何级数，收敛。设收敛于S。由定理1知，此时P-级数收敛。公比

，法二当前9页，总共34页。调和级数与p级数是两个常用的比较级数.而级数是发散的；比较审敛法的不便:须有参考级数.由比较判别法可知，所给级数也发散.当前10页，总共34页。解：例3.判别级数的收敛性。所以所以原级数为正项级数。取而是收敛的几何级数，所以，是收敛的。当前11页，总共34页。例4判定级数的敛散性。解即而级数收敛，故级数收敛。当前12页，总共34页。0,收敛和有相同的敛散性。收敛;发散发散;注意：若发散，不一定发散。定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶当前13页，总共34页。由比较审敛法,得证.证明由比较审敛法,得证.假设收敛，由（2）知收敛，与发散矛盾。故发散。当前14页，总共34页。的敛散性.～例5.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例6.判别级数解:由比较审敛法的极限形式知～发散，正确吗？当前15页，总共34页。解：例7：判别级数的收敛性。收敛且由比较判别法的极限形式知，收敛。当前16页，总共34页。0,收敛和有相同的敛散性。收敛;发散发散;(1)特别取则收敛，若(2)取则发散，若（或为+）发散当前17页，总共34页。推论(极限审敛法)设为正项级数,(1)若，则级数发散;(2)如果p>1，而，则级数收敛.例如.级数当n

时，故所给级数收敛当前18页，总共34页。（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。说明：当前19页，总共34页。定理4

.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。当前20页，总共34页。因此所以级数发散.时说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而(2)当当前21页，总共34页。注意:当前22页，总共34页。比较判别法与比值判别法常结合使用例8.判定级数解：因为所以故的收敛性收敛，收敛。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。当前23页，总共34页。例9.判定级数解：比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。当前24页，总共34页。例9.判定级数的收敛性。解：而级数由比较判别法知也是收敛的。是p=2的

p

级数，是收敛的，

注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。当前25页，总共34页。例10.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;当前26页，总共34页。(2)当>1(或为

)

时，级数发散；(3)当=1

时,不能用此法判定级数的收敛性。

同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点；

比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且根值审敛法适用于通项含有n次幂；当前27页，总共34页。例11.判定下列级数的收敛性。解：因为所以由根值判别法知，级数收敛由两边夹法则当前28页，总共34页。解：因为所以根值判别法失效所以所给级数发散。例11.判定下列级数的收敛性。当前29页，总共34页。比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象若一般项中含有因子则一般考虑用比值法，若一般项中含有因子则一般考虑用根值法，（2）适用范围若用根值法失效，即则用比值法也一定失效，即此时必有反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。当前30页，总共34页。例12：判定级数解：因为且含有因子（1）当0<a<e，时，所给级数收敛；的收敛性。（2）当a>e，时，所给级数发散；当前31页，总共34页。例12：判定级数解：因为且含有因子的收敛性。（3）当a=e，时，所以所给级数发散。当前32页，总共34页。例13.