第一章概率与随机变量 常见分布

第一章概率与随机变量常见分布第一页，共二十五页，2022年，8月28日随机变量X的分布函数为第二页，共二十五页，2022年，8月28日1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：二、高斯分布第三页，共二十五页，2022年，8月28日概率分布函数第四页，共二十五页，2022年，8月28日

服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为第五页，共二十五页，2022年，8月28日

服从的高斯变量Y，其特征函数为第六页，共二十五页，2022年，8月28日（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且特点：第七页，共二十五页，2022年，8月28日

（2）高斯变量之和仍为高斯变量。例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。第八页，共二十五页，2022年，8月28日

推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即

若Xi服从，则其和的数学期望和方差分别为第九页，共二十五页，2022年，8月28日

若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。（3）中心极限定理第十页，共二十五页，2022年，8月28日

结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。第十一页，共二十五页，2022年，8月28日2）二维高斯分布设X是均值为，方差为的正态随机变量，Y是均值为，方差为的正态随机变量，且X,Y的相关系数为，则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为第十二页，共二十五页，2022年，8月28日从以上可以看出，对于高斯变量来说，统计独立与线性不相关是等价的。第十三页，共二十五页，2022年，8月28日三.分布1)中心分布若n个互相独立的高斯变量X1,X2,…,Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和的分布是具有n个自由度的分布。第十四页，共二十五页，2022年，8月28日其概率密度为第十五页，共二十五页，2022年，8月28日

当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是时，Y的概率密度为第十六页，共二十五页，2022年，8月28日

性质： 两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。第十七页，共二十五页，2022年，8月28日2)非中心分布若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为，数学期望为，则为n个自由度的非中心分布。第十八页，共二十五页，2022年，8月28日其概率密度为称为非中心分布参量

第十九页，共二十五页，2022年，8月28日

性质：两个相互独立的非中心分布的随机变量之和仍为非中心分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为和，其和的自由度为n=n1+n2，非中心分布参量为第二十页，共二十五页，2022年，8月28日四.瑞利分布和莱斯分布1)瑞利分布对于两个自由度的分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日R的概率密度为第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日

对n个自由度的分布，若令则R为广义瑞利分布第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日2)莱斯分布当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望为不为