20192020学年高中数学第一章数列31等比数列第2课时等比数列性质巩固提升训练北师大版

第2课时等比数列的性质[A基础达标]1．等比数列{a}的公比q＝－12，则数列{a}是()4n1nA．递加数列B．递减数列1C．常数列D．摇动数列分析：选D.因为公比q＝－4<0，所以数列n{a}是摇动数列．2．等比数列{a}中，a＝4，a＝16，则aa＋aa的值是( )n2713645A．1B．21D．1C.421分析：选C.a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×16＝4，所以136＋45＝.aaaa23．在等比数列{a}中，已知a·a＝5，则a·a·a·a等于( )n712891011A．10B．25C．50D．75分析：选B.法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.法二：由已知得611217＝5，1117891043421728910111111114．计算机的价钱不停降低，若每件计算机的价钱每年降低18100元的计算机，此刻价钱为33年后的价钱可降低为()A．300元B．900元C．2400元D．3600元分析：选C.降低后的价钱组成以28100元的计算机3年3为公比的等比数列．则此刻价钱为23后的价钱可降低为8100×3＝2400(元)．5．已知等比数列{a}中，aa＝4a，数列{b}是等差数列，且b＝a，则b＋b等于()n3117n7759A．2B．4C．8D．16分析：选C.等比数列{an2＝47，解得a7＝4，等差数列{bn＝27＝27aaaabbba＝8.6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．分析：因为a6a10＝a28，a3a5＝a24，22所以a8＋a4＝41.又因为a4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝（a4＋a8）2＝a224＋248＋8＝51.aaa答案：517．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．分析：设此三数为3，a，b，2a＝3＋b，则（a－6）2＝3b，解得a＝3a＝15，3或27.或所以这个未知数为b＝3b＝27.答案：3或278．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列．且111成等差数列，则x＋z的值是，，xyzzx________．（12y）2＝9x×15z，2xz24xz2分析：由题意可得211所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2x＋zx＋zy＝x＋z，2xz34＋15z＝34xz，两边同时除以15xz可得z＋x＝15.答案：

34159．三个互不相等的数成等差数列，假如适合摆列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋)2＝2(2－)，解之得d＝－6，或＝0(舍去)．ddd此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，所以d＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.10．等比数列{a}的各项均为正数，且2a2n12326求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋＋log3an，求数列1(n≥2，n∈N＋)的前n项和．bn解：(1)设等比数列{a}的公比为q，n22因为a3＝9a2a6＝9a4，所以q22a4933a1因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝3，n所以an＝3.bn＝log3a1＋log3a2＋＋log3anlog3(a1·a2··an)11＋2＋3＋＋nn（＋1）＝log3＝－n.321设数列bn的前n项和为Sn，1＋11n＋＋（＋1）则S＝－21×22×3nn＝－2111111－＋－＋＋－n＋1223n2n＝－21－n＋1＝－n＋1.[B能力提高]11．数列nnnan＋1101121abbabbanA．20B．512C．1013D．1024a＋1n分析：选D.因为bn＝an，且b10·b11＝2，又{bn}是等比数列，所以b1·b20＝b2·b19＝＝b10·b11＝2，则a2342112320＝210，即a21＝1024，·a·aa＝a1a2a3a20bbbba1进而a＝1024a＝1024.2111591111＝________．88a＋＋＋n789108911a＋a11a＋a89710111171089aa＝aa分析：因为a7＋a10＝a7a10，a8＋a9＝a8a9，又，所以a7＋a8＋a9＋a10＝a＋a＋a＋a151085789＝－.aa＝89答案：－

85313．如下图，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连结各边中点得△A2B2C2，再连结△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，，这样持续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，是等比数列．证明：由题意，得△ABC(n＝1，2，3)的边长AB组成首项为1，公比为2的等比数列，nnnnn1nn1n－1nnn312n－2故AB＝2，所以S△ABC＝42，312n所以S△An＋1Bn＋1Cn＋1＝421S△ABC＝.nnn42所以，数列S△ABC，S△ABC，S△ABC，是等比数列．11122233314．(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.求数列{an}的通项公式；设bn＝an，能否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求an＋1出全部切合条件的m，k的值；若不存在，请说明原因．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d.2110×9＝55，由已知，得220×1920a＋d＝210，122a1＋9d＝11，a1＝1，即解得2a＋19d＝21，d＝1.1所以a＝1＋(－1)d＝(∈N＋)．n(2)假定存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列．则2bm＝b1bk.ann因为bn＝n＋1＝＋1，an1mk1mk＝2，b＝m＋1