2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．33．若＝，则的值为（）A． B． C． D．34．下列计算正确的是（）A．﹣＝ B．×＝ C．÷＝ D．×＝﹣35．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝86．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（）A． B． C．12 D．207．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：98．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200 C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200二、填空题（每小题3分，共18分）9．＝．10．若＝3﹣x，则x的取值范围是．11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．12．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝．13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：．16．解方程：x2+5x+3＝0．17．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个△ABP，使得△ABP与△ABC相似，且点P在格点上．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．19．实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简．20．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连接BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．21．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．22．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连接AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．求证：△ACD∽△CBE．应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是．23．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出个水杯，月销售利润是元．（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出个水杯（用含x的代数式表示）．（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．24．如图，已知直线y＝x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）求△AOB的面积；（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；（3）直接写出t为何值时，△ACD面积为；（4）直接写出△ACD与△AOB相似时t的值．

参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：A．x﹣1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．x2+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；C．x﹣a＝1是分式方程，故本选项不符合题意；D．y＝2x是二元一次方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．解：A、＝2，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．3．若＝，则的值为（）A． B． C． D．3【分析】根据已知条件得出＝，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．解：∵＝，∴＝，∴＝+1＝+1＝；故选：C．4．下列计算正确的是（）A．﹣＝ B．×＝ C．÷＝ D．×＝﹣3【分析】根据二次根式的减法对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．×＝＝，所以B选项不符合题意；C．÷＝＝，所以C选项符合题意；D．原式＝6×3＝18，所以D选项不符合题意；故选：C．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，故选：D．6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（）A． B． C．12 D．20【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝AG+GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，∴＝，∴CE＝，∴BE＝BC+CE＝4+＝；故选：B．7．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．8．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200 C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程并解答；解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．＝10．【分析】利用＝|a|进行化简即可．解：原式＝|﹣10|＝10，故答案为：10．10．若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．【分析】根据二次根式的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．解：∵＝3﹣x，∴3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+12＝13．所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．12．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝﹣2．【分析】先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：1+3m+n＝0，3m+n＝﹣1，则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：﹣2．13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为3米．【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．【分析】设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．解：∵＝，∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，∵∠C＝90°，∴AD＝＝＝k，∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠CDA＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴＝，∴＝，∴BE＝k，∴＝＝，故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：．【分析】先进行化简，再进行加减运算即可．解：＝＝﹣．16．解方程：x2+5x+3＝0．【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解：a＝1，b＝5，c＝3∴b2﹣4ac＝13∴x＝∴x1＝，x2＝．17．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个△ABP，使得△ABP与△ABC相似，且点P在格点上．【分析】作∠ABP＝90°，△ABP与△ABC的相似比为，如图①；作∠BAP＝90°，△ABP与△ABC的相似比为，如图②．解：如图①、②，△ABP为所作．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入原方程，得到关于m的方程，解之即可，（2）根据判别式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．解：（1）根据题意得：22﹣2m﹣2＝0，解得：m＝1，（2）Δ＝b2﹣4ac＝m2+8，∵无论m取何实数，m2≥0，∴Δ＞0，∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．19．实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简．【分析】应用二次根式的定义化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．解：由数轴知，a＜0，且b＞0，∴a﹣b＜0，∴＝|a|﹣|b|+|a﹣b|＝（﹣a）﹣b+（b﹣a）＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．20．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连接BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【分析】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABD∽△ACE；（2）由相似三角形的性质可得，可求CE＝2，由等腰直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．21．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．22．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连接AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．求证：△ACD∽△CBE．应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是．【分析】探究：根据已知条件得到∠ADC＝∠CEB＝90°，于是得到∠ACD+∠DAC＝90°，由于∠ACB＝90°，于是得到∠ACD+∠ECB＝90°，根据余角的性质得到∠DAC＝∠ECB，即可得到结论；应用：通过△ACD≌△BCE，得到AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，根据勾股定理得到AC＝BC＝＝，AB＝，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．【解答】探究：证明：∵l1∥l3，CD⊥l1，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∴△ACD∽△CBE；应用：在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，∵∠ADC＝CEB＝90°，∴AC＝BC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴AB＝，∵l1∥l2∥l3，∴，∴AF＝．故答案为：．23．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出550个水杯，月销售利润是8250元．（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯（用含x的代数式表示）．（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；（2）利用每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；（3）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．故答案为：550；8250．（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．故答案为：（600﹣10x）．（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，整理得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40．当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．又∵要尽量减少库存，∴x＝10，∴40+x＝40+10＝50．答：每个水杯的售价为50元．24．如图，已知直线y＝x+8与x轴交于点A，与y轴交于点