2019届高考数学一轮复习第十章复数算法推理与证明课堂达标57合情推理与演绎推理文新人教版

讲堂达标(五十七)合情推理与演绎推理[A基础稳固练]1．(2018·洛阳统考)下边四个推导过程切合演绎推理三段论形式且推理正确的选项是()A．大前提：无穷不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无穷不循环小数B．大前提：无穷不循环小数是无理数；小前提：π是无穷不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无穷不循环小数；小前提：无穷不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无穷不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无穷不循环小数是无理数[分析]A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特别性结论的推理，因此选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程切合演绎推理三段论形式且推理正确．[答案]B2．(2018·西安八校联考)察看一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，，则式子3?5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项[分析]两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5是和为8的第3项，因此为第24项．[答案]C3．(2018·泉州模拟)正偶数列有一个风趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，依据这样的规律，则2016所在等式的序号为()A．29B．30C．31D．32[分析]由题意知，每个等式正偶数的个数构成等差数列3,5,7，，2＋1，，其n前n项和n＝n[3＋n＋＝(n＋2)且31＝1023，即第31个等式中最后一个偶数是1S2nS023×2＝2046，且第31个等式中含有63个偶数，故2016在第31个等式中．[答案]C4．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝*)f′2(x)，，fn1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝(A．sinx＋cosxB．－sinx－cosxC．sinx－cosxD．－sinx＋cosx[分析]f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx，5(x)＝′4()＝sinx＋cosx，6(x)＝′5( )＝cosx－sinffxffxx，，可知f(x)是以4为周期的函数，由于2017＝504×4＋1，因此f(x)＝f(x)＝sinxn20171cosx．应选A.[答案]A．若数列是等差数列，则数列12n也为等差数列．类比这一性5{a}{b}n质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝c＋c＋＋cnB．dn＝c·c··cn1212nnnnnnnC．dn＝c1＋c2＋＋cnc1·c2··cnnD．dn＝[分析]nn－n－若{an}是等差数列，则a1＋a2＋＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋22ddd＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；22若{c}是等比数列，则c·cc＝cn12(n1)＝cnn－，∴d＝1n12n12nn1·2··n＝1·n－1{n为等比数列，应选D.ccqdcc2[答案]D6．在直角坐标系xOy中，一个质点从(1，2)出发沿图中路线挨次经过(3，4)，(5，AaaBaaCaa6)，D(a7，a8)，，按此规律向来运动下去，则a2015＋a2016＋a2017等于()A．1006B．1007C．1008D．10092[分析]由直角坐标系可知A(1,1)，B(－1,2)，C(2,3)，D(－2,4)，E(3,5)，F(－3,6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，，由此可知，全部数列偶数个都是从1开始渐渐递加的，且都等于所在的个数除以2，则a2016＝1008，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始渐渐递减的，则2015÷4＝503余3，则a2015＝504，a2017÷4504余1，∴则a2017＝505，∴a2015＋a2016＋a2017＝－504＋1008＋505＝1009.[答案]D7．(2018·云南名校联考)察看以下等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，，依据上述规律，第n个等式为______．[分析]由第一个等式1323＋233233＝1，得1＝(10)；第二个等式1＋2＝3，得1＋2＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋＋n3＝(1＋2＋3＋＋n)2＝nn＋2.2[答案]13＋23＋33＋43＋＋n3＝nn＋122x8．已知f(x)＝ex，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈*1－xx－23－x(x)＝__________.n1x2x3x[分析]由于f1(x)＝－x－－2x－，f3(x)＝x，f2(x)＝xee－3x－－nx－nex，，因此fn(x)＝ex.－nx－n[答案]ex9．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按以下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.假想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比获得的结论是______．[分析]将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得22221＋2＋3＝4.SSSS[答案]2222S1＋S2＋S3＝S4310．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.π[证明]∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>2，ππ∴A>2－B，∵y＝sinx在0，2上是增函数，∴sinA>sinπ－B＝cosB，2同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.[B能力提高练]1．[n]表示不超出n的最大整数．若S1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，3则Sn＝( )A．(＋2)B．(＋3)nnnnC．(n＋1)2－1D．n(2n＋1)[分析]察看获得：Sn是从n2开始到n＋2(不含)以前共2n＋1个n的和，因此n222n＋2＝n(2n＋1)．S为n(2n＋1)，即[n]＋[n＋1]＋[n＋2]＋＋[－1][答案]D2．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任a1a2a3a4意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若1＝2＝3＝4＝k，则h1＋2h22＋3h3＋4h4＝k.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，S1S2S3S4此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，则H1＋2H212343H3＋4H4＝( )4V3VA.KB.K2VVC.KD.K41111[分析]依据三棱锥的体积公式，得3S1H1＋3S2H2＋3S3H3＋3S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH33V＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝K.[答案]B3．经过计算可得以下等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；；(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋＋n2)＋3(1＋2＋3＋＋n)＋n，即12＋22＋32＋＋n2＝1n(n61)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋＋n3的值．[解]∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1；34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1；44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1；；(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋＋n3)＋6×(12＋22＋＋n2)＋4×(1＋2＋＋n)＋n，∴13＋23＋＋n31＝4n＋nn＋2

4－14－6×16nn＋n＋－4×122－n＝4n(n＋1).4．如图，我们知道，圆环也能够看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又＋r.因此，圆环的面积等于以线段圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×R2AB＝R－r为R＋r宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面地区M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(此中0<r<d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是______．5[分析]平面地区的面积为π2，由类比知识可知：平面地区绕y轴旋转一周获得MrM的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，因此旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.[答案]2π2r2d5．关于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″( )是f′( )的导数，若方程f″( )＝0有实数解x0，则称点(x0，(x0))为函xxxf数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝1x3－1x2＋3x－5，请你依据3212这一发现，求函数f(x)的对称中心；123(2)计算f2017＋f2017＋f2017＋42016f2017＋＋f2017.[解](1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝12.1＝1×13－1×12＋3×1－5＝1.23222212131251由题中给出的结论，可知函数f(x)＝3x－2x＋3x－12的对称中心为2，1.13125111(2)由(1)知函数f(x)＝3x－2x＋3x－12的对称中心为2，1，因此f2＋x＋f2－x＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.12016故f2017＋f2017＝2，22015f2017＋f2017＝2，320142017＋f2017＝2，，620161f2017＋f2017＝2.123420161因此f2017＋f2017＋f2017＋f2017＋＋f2017＝2×2×2016＝2016.[C尖子生专练]某少量民族的刺绣有着悠长的历史，以下图(1)、(2)、(3)、(4)她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越美丽；现按相同的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包括f(n)个小正方形．求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“概括推理思想”，概括出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并依据你获得的关系式求出f(n)的表达式；(3)求11＋11的值．＋ff＋＋fnf－1－1－1[解](1)f(5)＝41.f(2)－f(1)＝4＝4×1f(3)－f(2)＝8＝4×2(2)由于f(4)－f(3)＝12＝4×3f(5)－f(4)＝16＝4×4由上式规律，因此