圆锥曲线知识点汇总

圆锥曲线与方程知识点汇总当前1页，总共34页。§2.1椭圆当前2页，总共34页。1、椭圆的定义：M

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆形成演示椭圆定义.gsp当前3页，总共34页。满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？(1)平面上----这是大前提(2)动点M到两个定点F1、F2

的距离之和是常数2a(3)常数2a要大于焦距2c4当前4页，总共34页。分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b2当前5页，总共34页。求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求a2=b2+c2典例分析当前6页，总共34页。例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。

12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为

当前7页，总共34页。当前8页，总共34页。？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？当前9页，总共34页。

定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.

待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.~求曲线方程的方法：当前10页，总共34页。标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率

a、b、c的关系c2=a2-b2-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(c,0)、(-c,0)(0,c)、(0,-c)

长轴长为2a,短轴长为2b.焦距为2c(0<e<1)2、椭圆的简单几何性质：xyF1F2POxyF1F2PO当前11页，总共34页。

椭圆离心率的取值范围？离心率变化对椭圆的扁平程度有什么影响？

e∈(0，1).

e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.当前12页，总共34页。§2.2双曲线当前13页，总共34页。①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<2c；oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0；思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？

||MF1|-|MF2||

=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线1、双曲线的定义：当前14页，总共34页。看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系c2=a2+b2F2F1MxOyOMF2F1xy当前15页，总共34页。当前16页，总共34页。17xyo或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性顶点

渐近线离心率图象2、双曲线的简单几何性质：当前17页，总共34页。18例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3焦点坐标为（0，-5）、（0，5）解：把方程化为标准方程当前18页，总共34页。19例2.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe=思考:一个双曲线的渐近线的方程为:,它的离心率为

.解：当前19页，总共34页。定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b23.双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）a>b>0，c2=a2-b2当前20页，总共34页。21渐近线离心率顶点对称性范围

准线|x|a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无

y=abx±当前21页，总共34页。§2.3抛物线当前22页，总共34页。M·Fl·e=1在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d1、抛物线的定义：－－抛物线标准方程当前23页，总共34页。y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四种抛物线的对比当前24页，总共34页。典例分析（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x

，求它的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线：x=－32x2=－8yy2=－4xy2=x或x2=y4392看图看图看图当前25页，总共34页。方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）e=12、抛物线的简单几何性质：当前26页，总共34页。补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。当前27页，总共34页。基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本量：P（决定抛物线开口大小）XY抛物线的基本元素

y2=2px当前28页，总共34页。特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔当前29页，总共34页。图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴1当前30页，总共34页。变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论当前31页，总共34页。当前32页，总共34页。xyOFABB’A’例2.斜率为1