高二数学直线的方向向量与平面的法向量

关于高二数学直线的方向向量与平面的法向量第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四研究

从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？一、直线的方向向量AB直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面,记作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四平面的法向量不惟一，合理取值即可。第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例3.在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得

第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.

那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四三、平行关系：第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例4如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四四、垂直关系：第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F例5.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：所以第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=

；若则k=

。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=

.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=

.巩固性训练3第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1．如图，正方体中，

E为的中点，证明：//平面AEC练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC中，E、F、G、P、

Q、R分别是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四l1l2第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四l1第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四l1l2第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四l第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四；/澳洲成人信息悉尼成人墨尔本成人澳洲性息uyd91vau天里，耿正兄妹仨和乔氏母女俩一起动手，把五间新屋吊顶棚需要的细竹帘子全部打好了。从正月初六开始，由耿老爹作为主手，耿正作为主助手，小青、耿英、乔氏和耿直一起动手，开始为五间新屋吊顶棚和装门窗。到正月十六，这些活计就全部做完了。113第二十九回张老乡魂游武昌报家信|（白家母女无助时，耿家父子倾心帮；母女情绪稍稳定，耿老爹惊做蹊跷梦。）白百大的丧事办完之后，大家一时间全都有一种心力交瘁的感觉。乔氏母女俩虽然不再日日痛哭流涕了，但白家已经完全失去了往日的欢乐。耿老爹父子们也无心再做蔬菜水果贩卖的生意了。封顶的五间新屋目前尚在吹晾之中，耿老爹决定先把各间屋子的窗台和设计在中间屋里的灶台垒砌起来。因为窗台和灶台垒砌起来了，并不会太多地影响屋子里边的吊顶操作，也不影响吹晾房顶、后墙和隔间墙。于是，耿老爹把自己的想法小心地告诉了乔氏，让她去找曾经帮助过盖房子的哪一位泥匠师傅，借用人家一段时间的全套操作工具。泥匠工具借回来了，耿老爹就让耿正给自己打下手，动手垒砌灶台和窗台。嘱咐耿英和耿直，让他们陪着乔氏母女俩人说话，想办法逗她们开心。耿英和耿直都属于脑子快，嘴巴好使的主；但尽管姐弟俩使出了浑身的解数，乔氏母女俩时不时的还是会偷偷地掉眼泪。每当此时，耿英也会忍不住跟着掉眼泪，转而又想着法儿劝说：“唉，早听人说，人这一生啊，是‘生有时辰，死有地点’呢，好些事情都是不能由人的。所以啊，一旦碰上了，尽管很难接受，也只能顺其变了，再伤心也是没有用的啊！”耿直也说：“如果幺爹看到娘娘和小青姐姐老是伤心，他会很难过的！”乔氏一把鼻涕一把泪地说：“是啊，道理我都清楚呢，可我就是管不住这眼泪都怪他不听劝”看到姆妈哭得伤心，小青顾不了自己那颗痛苦不堪的心了，反过来又开始劝慰母亲：“我说姆妈啊，英妹妹和小直弟弟说得对着哩。我爹那么喜欢在长江上跑，他现在可算是遂了自个儿的心愿了！我们就当他是跑一趟长长的船运押送去了，他快乐着呢，我们就不要老是哭了。你要是再伤心出个好歹来，我可怎么办啊”乔氏睁着一双泪眼看着小青，听话地点点头说：“姆妈不哭他了，咱们记着给他做‘七’也就是了。唉，熬着吧，等做完了‘七七’，姆妈这心里啊，也许就会平静一些了。老话不是说了嘛，‘时间是一剂良药’呢”