统计完全随机设计资料的方差分析多个样本均数间的两两比较

单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将所有观测值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的记录量，之后构造假设检查记录量F,实现对总体均数的判断。方差分析的应用条件：各样本互相独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。完全随机设计是一种将研究对象随机地分派到解决因素各水平组的单因素设计方法。其研究目的是推断解决因素不同水平下的实验结果的差异有否记录学意义，即该解决因素是否对实验结果有本质影响。下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检查环节。例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的解决，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响？大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计7.7611.1410.857.7111.608.588.4311.427.198.4713.859.3610.3013.539.596.6714.168.8111.736.948.225.7813.019.956.6114.1811.266.9717.728.68合计（∑X）80.43127.5592.49300.47（∑∑Xij）例数（n）10101030（N）均数（）8.0412.769.2510.02平方和（∑X2）676.321696.96868.933242.21(∑∑Xij2)1.建立检查假设，拟定检查水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别；a=0.052.计算检查记录量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS：一方面计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数（∑Xij2），由表得：∑∑Xij=300.47∑Xij2=3242.21N=30总的离均数差平方和SS总=∑Xij2－EQ\F((∑Xij)2,n)=3242.21－EQ\F(300.472,30)=232.8026SS组间=∑EQ\F((∑Xij)2,ni)－EQ\F((∑Xij)2,n)=EQ\F(80.432,10)+EQ\F(127.552,10)+EQ\F(92.492,10)－EQ\F(300.472,30)=119.8314SS组内=SS总－SS组间=232.8026－119.8314=112.9712②.计算均方MS：MS组间=EQ\F(SS组间,k-1)(k为组数)=EQ\F(119.8314,3-1)=59.916MS组内=EQ\F(SS组内,N-k)(N为总例数)=eq\f(112.9712,30-3)=4.184③.求F值F=eq\f(MS组间,MS组内)=eq\f(59.916,4.184)=14.32将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源平方和SS自由度v均方MSF值总变异232.802629组间变异119.8314259.91614.32组内变异（误差)112.9712274.184（注：自由度：v总=N－1=30－1=29；v组间=k－1=3－1=2;v组内=N－k=30－3=27）运用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表： DescriptivesCONNMeanStd.DeviationStd.Error95%ConfidenceIntervalforMeanMinimumMaximumLowerBoundUpperBound1108.04301.80807.571766.74969.33645.7811.7321012.75502.79005.8822910.759114.75096.9417.723109.24901.22428.387158.373210.12487.1911.26Total3010.01572.83331.517298.957711.07365.7817.72 TestofHomogeneityofVariancesCONLeveneStatisticdf1df2Sig.1.578227.225 ANOVACONSumofSquaresdfMeanSquareFSig.BetweenGroups119.831259.91614.320.000WithinGroups112.971274.184Total232.803293.查表拟定P值，并作出记录推断：V组间=2，v组内=27,得界线值Fα（2,27）为F0.05（2,27）=3.35,则F=14.32>F0.05（2,27），则P<0.05，按0.05水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。多个样本均数间的两两比较均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型：一种常见于探索性研究，在研究设计阶段并不明确哪些组别之间的对比是更为关注的，也不明确哪些组别问的关系已有定论、无需再探究，经方差分析结果提醒“概括而言各组均数不相同”后，对每一对样本均数都进行比较，从中寻找有记录学意义的差异：另一种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某些均数问的比较．常见于证实性研究中多个解决组与对照组、施加解决后的不同时间点与解决前比较。最初的设计方案不同．相应选择的检查方法也不同．下面分述两种不同设计均数两两比较的方法选择。1、事先计划好的某对或某几对均数间的比较：合用于证实性研究。在设计时就设定了要比较的组别，其他组别间不必作比较。常用的方法有：Dunnett-t检查、LSD-t检查(Fisher’sleastsignificantdifferencettest)。这两种方法不管方差分析的结果如何——即便对于P稍大于检查水准，也可进行所关心组别间的比较。即最小显著差法．是1935年提出的，多用于检查某一对或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比较,并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设时也可以应用。式中和为两个对比组第i组与第j组的样本均数和样本含量。记录量将两独立样本t检查的均方部分(计算记录量时的分母)进行适当的调整，和自由度通过方差分析中的误差均方和来估计，而两独立样本的t检查中用合并方差，自由度来计算，然后根据t界值来拟定P值，作出记录推断。该方法实质上就是t检查，检查水准无需作任何修正,只是在标准误的计算上充足运用了样本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实行对比的具体组别的多重比较。由于该方法本质思想与t检查相同，所以只合用于两个互相独立的样本均数的比较。LSD法单次比较的检查水准仍为，因此可以认为该方法是最为灵敏的两两比较方法.另一方面,由于LSD法侧重于减少第Ⅱ类错误，势必导致此法在突出组间差异的同时,有增大I类错误的倾向。Duncan1955年在Newman及Keuls的复极差法(muhiplerangemethod)基础上提出，该方法与Tukey法相类似。合用于个实验组与一个对照组均数差别的多重比较，多用于证实性研究。Dunnett-t记录量的计算公式与LSD-t检查完全相同。实验组和对照组的样本均数和样本含量。需特别指出的是Dunnett—t检查有专门的界值表，不同于t检查的界值表。一般认为，比较组数k≥3时，任何两个样本的平均数比较会牵连到其它平均数的对比关系，而使比较数再也不是两个互相独立的样本均数的比较．这是LSD-t无法克服的缺陷。Dunnett—t针对这一问题提出．在同一显著水平上两个均数的最小显著差数随着这二个平均数在多个平均数中所占的极差大小而不同，根据不同平均数间的对比关系来调整相应的显著差别(criticalrange)的大小。2、多个均数的两两事后比较：合用于探索性研究，即各解决组两两问的对比关系都要回答，一般要将各组均数进行两两组合，分进行检查。常用的方法有：SNK-q(Student-Newman-Keulsq)法、Duncan法、Tukey法和Scheffe法。值得注意的是，这几种方法对数据有具体的规定和限制。对于SNK-q检查，检查的记录量是q，所以又称为q检查。该检查记录量的计算公式为：个对比组第i组与第j组的样本均数和样本含量。SNK-q检查的原理是根据所包含不同数目的平均数的极差调整各自的显著性水准，限制了实验的误差．保证在做所有比较时，不易犯第1类错误。Tukey法(Tukey’SHonestlySignificantDiferenceTukey’sHSD)的原理与SNK-q检查基本相同，但是，该方法规定各比较组样本含量相同，它将所有对比组中I类错误最大者控制在之内。其检查记录量的计算公式如下：是学生化极差记录量(可以通过查表获得)，是误差均方，n是每组的样本含量。给出检查结果时，是基于比较组均数的差值与计算所得计量的对比。研究显示：这种方法有较高的检查效能(与LSD法比较)，具有很好的稳定性，合用于大多数场合下的两两比较，计算简便。但是，Tukey法是基于比较组所有参与比较这一假设下进行的，因此在只比较指定的某几组总体均数时并不合用，建议选择Dunnett法或者是Bonferroni方法，由于这两种方法会给出较高效能的检查结果。与一般的多重比较不同，Scheffe法的实质是对多组均数间的线性组合是否为0进行假设检查，多用于对比组样本含量不等的资料。在单因素的多重比较问题中，除了要逐对比较因素水平的平均效应之外，有时尚有也许要比较因素水平平均效应的线性组合。例如将有基本相同的因素水平平均效应的几个组，构成一个综合组。因此也许检查这样的假设：，显然，前面讨论的参数的两两比较属于一类特殊的对比。Scheffe法可以同时检查所有也许的对比，即同时检查任何一组对比。Sch6ffe法的优点是可以检查任意的线性对比。在这方面，Tukey法不如Scheffe法。但是在单纯作逐对因素效应均值的比较时,Schefe法的效率不如Tukey法高。也就是说，Schefe法更易于将显著的差异鉴定为不显著(Tukey法认为)。在实际场合，当单纯作逐对均值比较时，建议用Tukey法；而当要做多个一般的线性对比检查时。就要用Scheffe法。Scheffe法检查实质上对F值进行了简朴的校正，将比较的组数纳入考虑的范畴:该方法的检查记录量代表了最大也许的累积I类错误的概率。遗憾的是，由于控制I类错误时的“矫枉过正”．会最终导致较大的Ⅱ类错误的概率。3、探索性研究和证实性研究均合用的检查方法：Bonferronit检查的基本思想是：假如三个样本均数经ANOVA检查差异有记录学意义(=0．05)，需对每两个均数进行比较，共需比较的次数为：，由于每进行一次比较犯I类错误的概率是=0．05，那么比较3次至少有一次犯I类错误的概率就是：。因此，要使多次比较犯I类错误的概率不大于原检查水准，现有的检查水准应当进行调整，用作为检查水准的调整值，两两比较得出的P值与其进行比较。该方法的思想合用于所有的两两比较，并且该方法的合用范围很广，不仅仅限于方差分析，例如相关系数的检查和卡方检查也合用。Bonferr