泛函分析答案泛函分析解答

第五章习题第一部分01-15M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间.［证明］显然span(M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间，且McN.则由span(M)的定义，可直接验证span(M)cN.所以span(M)是包含M的最小线性子空间.设B为线性空间X的子集，证明conv(B)={^LaxIa.>0,Xa=1,x.eB,n为自然数}.i=1 i=1［证明］设A={ILax^Ia.>0,£a〔=1,xeB,n为自然数}.首先容易看出A为i=1 i=1包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有AcF，故A为包含B的最小凸集.证明［a,b］上的多项式全体P［a,b］是无限维线性空间，而E={1,t,12,...,tn,...}是它的一个基底.［证明］首先可以直接证明P［a,b］按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P［a,b］中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示.设C0,C1,C2,...,cm是m+1个实数，其中Cm丰0，m>1.若工ctn=0，由代数学基本定理知c0=c1=c2=...=cm=0，n=0所以E中任意有限个元素线性无关，故P［a,b］是无限维线性空间，而E是它的一个基底。在2中对任意的x=(x1,x2)e2,定义||xll1=Ix1I+Ix2I，IIx112=(x,+x22)1/2,IIxII/max{Ix1I,Ix2I}.证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形.［证明］证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间.［证明］Vx,yecl(L)，Vae ，存在L中的序列{xn},{yn }使得xn ' x，yn ' y.从而x+y=limxn+limyn=lim(xn+yn)ecl(L)，ax=alimxn=lim(axn)ecl(L).所以cl(L)是X的线性子空间."" " "［注］这里cl(L)表示子集L的闭包.设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0aM.证明：L={ax0+yIyeM,ae}也是X的闭线性子空间.［证明］若a,be，y,zeM使得ax0+y=bx0+z，则(a-b)x0=z-yeM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的.若L中的序列{anx0+yn}收敛于X中某点z，则序列{anx0+yn}为有界序列.由于M闭，x0aM，故存在士>0，使得IIx0-yII>r，VyeM.则当an丰0时有

IanI=IanI-r•(1/r)<IanI-IIx0+yja.H•(1/r)=IIanx0+ynII-(1/r),所以数列{an}有界，故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k)'ae.这时yn(k)=(anxq+yn)—anx0■z—ax0eM.所以zeL,所以L闭.［注］在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件.证明：a.在2中，II-II,IIoII与iimi都是等价范数；b.II◦IL与IIMI,是等价TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性.［证明］a.显然IIxI.<IIxII2<IIxII］<2IIxI.,所以IIoII］,IIo||2与||oI.都是等价范3 2 1 3 1 2 3数.b.必要性是显然的，下面证明充分性.首先inf{IIxII2IIIxII1=1}>0.若inf{IIxII2IIIxII1=1}=0,则存在X中序列{xn},使得IIxn111=1,IIxn112-0.而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而IIxn111-0. n这矛盾说明inf{IIxII2IIIxII1=1}=a>0.对VxeX,当x^0时，II(x/IIxII1)II1=1,所以II(x/IIxII1)II2>a.故VxeX有aIIxII1<IIxII2.类似地可以证明存在b>0使得bIIxII2<IIxII1，VxeX.所以两个范数等价.证明：Banach空间m不是可分的.［证明见教科书p187,例3.5］证明：c是可分的Banach空间.［证明见第4章习题16］设X,Y为线性赋范空间，TeB(X,Y).证明T的零空间N(T)={xeXITx=0}是X的闭线性子空间.［证明］显然N(T)={xeXITx=0}是X的线性子空间.对VxeN(T)c,Tx丰0,由于T是连续的，存在x的邻域U使得VueU有Tu丰0,从而UcN(T)c.故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间.11.设无穷矩阵(a.j),(i,j=1,2,...)满足supEIaI<3，定义算子T:m■m如ij=1下：y=Tx,Q=Ea.g.，其中x=(g.),y=(q.)em.证明：T是有界线性算j=1子，并且IITII=sup工IaI。.j=1jI-sup16I)=(sup工IaI)-(sup16I)jjij=1 I-sup16I)=(sup工IaI)-(sup16I)jjij=1 jTOC\o"1-5"\h\zi j=1 j=1及T是线性的，所以T为有界线性算子，IITII<sup文Ia..I。对任意的实数'l j=1u<sup工IaI，存在自然数K使得工IaI>u。取x=(6)em，使得其第j个ij Kj Kilj=1 j=1坐标g=sgn(a)，则IIxII=1，且IITxII>EIaI。所以IITII>EIaI>u，故j=j=1j=1有IITII>sup工IaI,ij=有IITII>sup工IaI,ij=1 jij=1 j设S: 12 T12满足对 Vx = (& ,&,…,& ,…)G12有S (X)=化，& ,…)。证明n 1 2 n n n+1 n+2S是有界线性算子，IIS11=1。［证明］显然Sn是线性算子。因为IIS”(x)II2冒I&/王I&.I2=IIXII2,VXG12,k=n+1 k=1所以IIS(X)II<IIXII, VxG12,可见S是有界线性算子，且IISll<1。令X=(0,0,•••0,1,0,…)(仅第(n+1)个坐"标不为零)，则XG12，nIXII=1，S(x)=(1,0,…)，IIS(x)II=1。所以IISII=supIIS(x)II>IIS(x)II=1。nnn nn n n nnIIxII=1证明C［a,b］上的泛函f(x)=j。乂(t)dt是有界线性泛函，且IIfII=b-a。a［证明］显然f是线性泛函。对VxgC［a,b］有If(x)I=Ijbx(t)dtI<jbIx(t)Idt<(b—a)maxIx(t)I=(b—a)IIxII，a a tG［a,b］所以f是有界线性泛函，且IIfII<b—a。进一步，取x0gC［a,b］使得x0(t)三1，则IIxII=1。得到IIfII=supIf(x)I>If(x)I=b—a。IIxII=1TOC\o"1-5"\h\z取定tG［a,b］，在C［a,b］上定义泛函f如下：f(x)=x(t)。证明f是有界0 110 1线性泛函，IIfII=1。［证明］显然f是线性性泛函，由If(x)I=Ix(t)I<maxIX(t)I=IIxII，知f有界IIfII<1。1 1 0 tG［a,b］ 1 1取xgC［a,b］使x(t)三1，则IIxII=1，得IIfII=supIf(x)I>If(x)I=Ix(t)I=1。0 0 0 1 1 1 0 00IIxII=115.证明：(11)*=1«。［证明］任取y=(门i)g"，显然f(x)=工&叫是11上有界线性泛函，且i=1IIfII<IIyII。又取xg11使其第k个坐标为1其余皆为0，则IIfII>If(x)l=mI，TOC\o"1-5"\h\zVk=1,2,…。从而IIfII>IIyII，进而IIfII=IIyII. * "另一方面，设f为11上有界线性泛函，令门=f(X)，则InI<IIfII-IIxII=IIfII，i i i iVi=1,2,…，从而y=(n)g"。对Vx=(&)g11，我们令u=(&,&,…,&,0,0,…)，i i n1 2 n贝f(u)=f(£&x)=£&f(x)=£&n-n ii ii iii=1 i=1 i=1注意到在11中unTX，以及f为11上有界线性泛函，故f(X)=£&n，并且满足这样条件的y=(n)G18是唯一的.i=1证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。［证明］设X是n维线性赋范空间，｛%,%,...,xn｝是它的一个基.令f-:XX表示f(£ax)=a，Vi=1,2,....i ikkik=1

则|f(Aax)1=1a1=""产<—-—•工IIaxII，注意到N(x)=£IIaxII也是XikkiIIxIIIIxIIk/ v7 k/k=1 i i k=1 k=1上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M>0使得N(x)<MIIxII，所以If(x)I<—IIxII，所以f.eX*.下面证明｛f,fv...,f｝是iIIxIIX*的一组基。事实上，PfeX*，'）（玲），j=1若£戒=0，则k=1TOC\o"1-5"\h\zf(乙x)=£af(x)=£f(x)f(乙）（玲），j=1若£戒=0，则k=1k=1 k=1 k=1 j=1 k=1所以f=£f(xk)fk。故X*为有限维空间，且维数不超过n.k=1c=£cf(x)=(£cf)(x)=0，所以｛f］,f］,...,f｝线性无关，故X*维数为n。i kki kki 1 1nk=1 k=1证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。［证明］设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J:XX**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间.由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的.设X是赋范空间，M为X的子集，xeX。证明：xecl(span(M))的充分必要条件为PfeX*，若f(M)=0贝Qf(x)=0.［证明］设xecl(span(M))，则对PfeX*，若f(M)=0，由于f是线性的和连续的，自然有f(cl(span(M)))=0，从而f(x)=0.反过来，设xecl(span(M))，则d(x,cl(span(M)))>0.由Hann-Banach定理，存在feX*，使f(cl(span(M)))=0，且f(x)=d(x,cl(span(M)))>0，得到矛盾.验证极化恒等式。［证明］我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的.IIx+yII2-IIx-yII2=<x+y,x+y>-<x-y,x-y>=(<x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>)-(<x,x>-<x,y>-<y,x>+<y,y>)=4<x,y>.证明由内积导出的范数IIxII=<x,x>1/2满足范数定义的三个条件。［证明］前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式.事实上，IIx+yII2=<x+y,x+y>=IIxII2+<x,y>+<x,y>+IIyII2=IIxII2+2Re(<x,y>)+IIyII2<IIxII2+2I<x,y>I+IIyII2<IIxII2+2IIxII-IIyII+IIyII2=(IIxII+IIyII)2.所以三角不等式成立.证明内积空间中的勾股定理。「47T2日日］丫—-V-_lv 日丫IvUlll/丫丫、一/丫丫、一AGFrDI［证明］ 设x—x〔+x，且x〔1x^•火V<x.,x^>—<x^,x.>—0，所以乙22x ^= x〔 I^v ^=^< ^V［ I ^V。, ^v I ^V。^>^=^<^V ,^v iZ>l^<^V,^V。iZ>l^<^V。,^v iZ>l^< ^V。, ^V。<*■>」」乙乙=<x1,x>+<x2,x2>—IIx1II2+IIx2II2.设X是内积空间，M,N匚X，M±N。证明：NcM±o［证明］对PxeN，因MIN，得x±M，故xeML所以NcM±o

设X是内积空间，M,NcX,McN。证明：NyM±。［证明］对VxeN±，由x±N，及McN，知xLM，故xeM±。所以N±cM±o24.设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：M=(M±)±，M±=(M)±。[证明]对V[证明]对VxeM，显然有xiMi，从而xe(Mi)i，由投影定理，设x=x+x，其中xeM，xe(M)i1 2 1故有<x,x>=<x+x,x>=<x,x>=llxl|2。0，M=(Mi)i。由23题结果，Mi^(M)i，而对VxeMi因此Mic(M)i，1 2 2 2 2 2故Mc(Mi)i。若x任M，且x牛0。此时xeMi，所以xa(Mi)i，故，xlM故xlM，所以xe(M)±,由于存在它在M上的正交投影，故可设x=尤］+x2，其中。由26题知xe(M)由于存在它在M上的正交投影，故可设x=尤］+x2，其中。由26题知xe(M)i，而x=x-x1eM，故x2=0，所以［证明］对VxeM，xeM，xeMi。由26题知xe(M)i，而x=x1 2 _ 2 2x=x1eM，因此M=M，即M为X的闭子空间。26.设X为内积空间，M是X的稠密子集，｛en｝是X的标准正交系。证明：｛en｝完备的充要条件是在子集M上，Parseval等式成立.［证明］由｛en｝完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对VxeX，由M在X中稠密，对任意的8>0，存在yeM，使得||x-y|<%，||x||2<||y||2+《。而对于yeM，Parseval等式成立，即||y||2=£|<y,e>|2，存在自然数N使得n=1£|<y,£|<y,e >|2</。下面估计||x||2:n=N+1||x||2<||y||2+2<£|<y,e >|2+8=£|<x,e>+<x一y,e>|2+8n=1 n=1 '

|<x-y,e >|2nJ[―;vn=1 n=1£|<x,e>|2+2||x||-1|x一y||+||x一y也+8n=1|<x,e>|2+(||x||+]+1)8，n=1由8>0的任意性，及Bessel不等式有||x||=£|<x,e>|2。即VxeX，Parseval等n=1(三角不等式)n=1(用£|<u,e>|2<||u||2放大)n=1式成立，所以｛e“｝是完备的标准正交系。27.设X为内积空间，｛en｝是X的标准正交系。证明：Vx,yeX，都有

芸|<x,e><y,e>|<||x||-1|y||。n=1

［证明］ 由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有£l<x,e><y,e>1<n=1：£|<x,e>|2-2£l<x,e><y,e>1<n=1I nV n1n=1 *n=128.设H为Hilbert空间，｛en｝是H的标准正交系。证明：｛en｝是完全的的充要条件是：对于Vx,y^H，都有<x,y>=£<x,e>•<y,e>。n=1［证明］若｛en｝是完全的，则它是完备的.于是Vx,yeH总有x=£<x,e>e,计算x,y的内积得:<x,y>=<£<x,en=1工x,en=1£<y,e>e>=乙x，e<x,y>=<£<x,en=1工x,en=1>=£<x,e>•<y,e>•<e,e>=1工x,en=1令y=x，则有Parseval反过来，若Vx,yeH都有<x,y>=£<x,e令y=x，则有Parsevaln=1等式成立，从而｛en｝是完备的所以在Hilbert空间H等式成立，从而｛en｝是完备的29.设H为Hilbert29.设H为Hilbert空间，｛en｝的，并且它们满足