精选数学竞赛线性规划训练讲义(含详细答案)

精选数学竞赛线性规划训练讲义(含详细答案)数学竞赛训练讲义一、选择题1、为互不相等的正数，，那么以下关系中可能成立的是〔〕．、；、；、；、；2、设，又记那么〔〕．、；、；、；、；3、设为锐角，，那么的大小顺序为〔〕．、；、；、；、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色〔允许只用其中几种〕，使邻区〔有公共边的小格〕不同色，那么不同的涂色方式种数为〔〕.、；、；、；、.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，那么其侧面与底面的夹角为().、；、；、；、.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，那么并集中的元素个数为〔〕．、、；、；、.二、填空题7、假设实数满足：，那么.8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，那么的最大值为．9、计算.10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，那么椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，那么的最小值是.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，那么．三、解答题13、数列满足：；令；求．15、假设四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，那么称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．答案一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1、为互不相等的正数，，那么以下关系中可能成立的是〔〕、；、；、；、；答案：；解：假设，那么，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，应选．2、设，又记那么〔〕、；、；、；、；答案：；解：，，据此，，，因为型，应选.3、设为锐角，，那么的大小顺序为〔〕、；、；、；、；答案：；解：，，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色〔允许只用其中几种〕，使邻区〔有公共边的小格〕不同色，那么不同的涂色方式种数为〔〕.、；、；、；、.答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种〔因为固定位置〕，合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，那么其侧面与底面的夹角为().、；、；、；、.答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，那么，，那么，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，那么并集中的元素个数为〔〕．、、；、；、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；从而．二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7、假设实数满足：，那么.答案：；解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；．8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，那么的最大值为．答案：；解：设抛物线方程为，那么顶点及焦点坐标为，假设设点坐标为，那么，故．〔当或时取等号〕9、计算.答案：.解：．10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，那么椭圆的方程为.答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，点坐标为，据得，，椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，那么的最小值是.答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，假设为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，那么正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体；例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，那么．答案：；解：简称这种数为“好数〞，那么一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，那么的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，那么的前四位为，且是前四位数为的第个数；那么的前五位为，且是前五位数为的第个数，那么．三、解答题〔此题总分值60分，每题20分〕13、数列满足：；令；求解：改写条件式为，那么，所以，；；．15、假设四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，那么称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称为的数码组，那么；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，那么任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，那么数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．三、当数码组恰含三个值，．、数码组为型，据构成三角形条件，那么有，这种有组，每组