导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2洛必达法则可处理000，，0，1，，00，型。2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第2步，由不等式恒成立来求参数00的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。则不适用，应从另外途径求极限。洛必达法则简介：4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0fx及limgx0；xaxa(2)af(x)g(x)g'(x)0在点的去心邻域内，与可导且≠；二．高考题处理(2010年全国新课标理)设函数x2f(x)e1xax。(3)limxafxgxl，（1）若a0，求f(x)的单调区间；（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围那么limxafxgx=limxafxgxl。xx1）a0时，f(e1x，f'(x)e1.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0fx及limgx0；xx当x(,0)时，f'(0；当x(0,)时，f'(x)0故f(x)在(,0)单调减少，在(2)A0，f(x)和g(x)在,A与上可导，且≠；(0,)单调增加(3)limxfxgxl，x（II）f'(x)e12axx由（I）知1ex，当且仅当x0时等号成立故那么limxfxgx=limxfxgxl。f'(x)x2ax(12a)x，法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxafx及limxagx；从而当12a0，即1a时，f'(x)0(x0)，而f(0)0，2(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠；

于是当x0时，f(0.(3)limxafxgxl，xx由e1x(x0)可得e1x(x0)从而当1a时，2那么limxafxgx=limxafxgxl。xxxxxf'(x)e12a(e1)e(e2a)，故当x(0,ln2a)时，f'(0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)0.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1将上面公式中的x→，x→∞换成x→∞，x→-∞，xa，xa洛必达法则也成立。综合得a的取值范围为,12原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：b1,另解:（II）当x0时，f(x)0，对任意实数均在f(x)0；当x0时，f(x)0等价于xaex2x1令xgxex2x1(x>0),则xxgxxe2ex2()gxxe2ex23x，令xxxxxhxeexx，则122hee，hxxe0，知hx在0,上为增函数，hxh00；知hx在0,上为增函数，解得a1，b1。a1b,22lnx1x1xf(x)2(k1)(x1)考虑函数x)2lnx（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以x2lnxk1(k1)(x1)f(x)()(2lnx)2x1x1xx。2(k1)(x1)2x2x(x0)，则h'(x)。hxh00；gx0，g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知，xxxeeex11limlimlim22x22xx0x0x0故a12综上，知a的取值范围为,12。，22k(x1)(x1)（i）设k0，由知，当x1时，h'(x)0，（x）递减。而0；12xh（x）>0kxlnxx1kx）>0，即f（x）>+.h'(x)2x故当x(0,1)时，h(x)0，可得112xh(x)0当x（，+）时，（x），可得1从而当x>0,且x1时，f（x）-（lnxx1+2011年全国新课标理）已知函数，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30。（ii）设0<k<1.由于2(k1)1)=2(k1)x2xk1的图像开口向下，且（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)f'(x)x1(lnx)xb22(x1)xlnxkx1x，求k的取值范围。11244(k1)0x=1而（），故当（，h1=0x11与题设矛盾。（）设此时iiik1.2+1+2x>0,k-1x）故1当x（，1k.1k）时，h（x）>0，可得k1212xx，2(k1)(x1)2x01x2h（x）<0,'h（x>0,'h（x）>0,而（）=0，故当x由于直线x2y30的斜率为12，且过点，故ff(1)1,1'(1),2即1（1，+）时，h（x）>0，可得（x）<0,与题设矛盾。2x1综合得，k的取值范围为（-，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：II）由题设可得，当x0,x1时，k<2xlnx12x1恒成立。解：应用洛必达法则和导数令g(x)=2xlnx12x1(x0,x1则gx222x1lnxx112x2，当x(0,)时，原不等式等价于2axsinx3x.再令21ln21hxxxx(x0,x1)，则1hx2nxx，x记f(x)xsinx3x3sinxxcosx2x，则4f'(x)x.hx2lnx112x1，易知2hx2lnx1x在0,上为增函数，且h10；故记g(x)3sinxxcosx2x，则g'(x)2cosxxsinx2.当x(0,1)时，hx0，当x（，+）时，hx0；

因为g''(x)xcosxsinxcosx(xtanx)，hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx>h1=0hx在0,上为增函数g'''(x)xsinx0，所以g''(x)在(0,)2上单调递减，且g''(x)0，h1=0所以g'(x)在(0,)2上单调递减，且g'(x)0.因此g(x)在(0,)2上单调递减，当x(0,1)时，hx0，当x（，+）时，hx0且g(x)0，故g(x)f'(x)04x，因此f(x)xsinx3x在(0,)2上单调递减.当x(0,1)时，gx0，当x（，+）时，gx0由洛必达法则有gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数xsinx1cosxsinxcosx1limf(x)limlimlimlim32x0x0x0x0x0x3x6x66，由洛必达法则知xlnx1lnx1limlimlimgx212121021x2x2x1x1x1即当x0时，1g(x)，即有61f(x).6k，即k的取值范围为（-，0]0故1a时，不等式63sinxxax对于x(0,)恒成立.2规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有