理论力学习题

第一章思考题平均速度与瞬时速度有何不同在什么情况下，它们一致答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。在极坐标系中，V=rv=r0，为什么a=r-r02而非r为什么r 0 ra=r8+22而非a=r。+r0•你能说出a中的-r0;和a中另一个用出现的原0 0 r 0因和它们的物理意义吗答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量a中，除经向直线运动的加速度r外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量-r0,2；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量r0夕卜，还有沿横向的附加加速度2r0，其中的一半r0是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半r0是由于横向运动受径向运动的影响而产生的。在内禀方程中，“在内禀方程中，“是怎样产生的为什么在空间曲线中它总沿着主法线n的方向当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度^^等于零，而作用力在副法线方向的分量Fb一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了〃沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，4等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到ZFb=0，即所有外力之和在副法线方向平衡。在怎样的运动中，只有〃而无〃在怎样的运动中，又只有〃而无〃在怎样的运动中，既有〃又有〃答：质点在变速直线运动中，只有〃而无〃；质点在匀速曲线运动中，只有〃而无〃；质点在变速曲线运动中，既有〃又有〃。dr与包有无不同dv与包有无不同试就直线运动与曲线运动分别加dtdt dtdt以讨论。答：直线运动中：更是速度，是矢量；生是速率，是标量；dt dt更是加速度，是矢量；变是加速度的大小，是标量。dtdtdr dr: dv dv; = I = 更是加速度，是矢量；变是加速度的大小，是标量。dtdtdr dr: dv dv; = I = Idt dt dt dt曲线运动中:更是速度，是矢量;dt如是速度的径向分量，是标量;dt更是加速度，是矢量；型是加速度的切向分量，是标量。dtdt人以速度y向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出跟静止时投篮有何不同答：设静止时投篮角度为e，运动时投篮角度为小，且：0<8,。>900，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。人的速度为牵连速度V，球e对人的速度为相对速度V，人静止时投篮速度为V0，也就是球的绝对速度。因此：rr・•.ctge>ctg八0，因余切函数是减函数。故：e<。，即人以速度V向篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。

雨点以匀速,落下，在一有加速度仅的火车中看它走什么路线答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照雨点以匀速,落下，在一有加速度仅的火车中看它走什么路线答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系o―xy，则雨点受惯性力一顿作用，忽略雨点的重力，则动力学方程为:-rmmx=ma 即口：Ix=a=吊数my=0 [y=v=常数雨点在乂方向作匀加速运动，在y方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若X=aw常数，则要经过积分才能知道路径。某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大答：以船为动点，河水为动系，岸为定系。船对水的相对速度：，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度v，所以：…120义(v—v)+600600120+ r e 二 v+v v解得：v=2.5解得：v=2.5米/秒。物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致为什么答：物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。在哪些条件下，物体可以作直线运动如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动试用一具体实例加以说明。答：当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任意一点时的速度只和什么有关为什么是这样假如不是光滑的又将如何答：如图所示，取x轴为零势线，由于曲线光滑，曲线对质点的作用力和位移方向垂直，该力不作功，故机械能守恒：1—mv1—mv2=2o1mmv2—mgyV=■\,：v0+2gy即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关，而与曲线的形状无关。如果曲线不是光滑的，则有摩擦力存在，摩擦力在质点运动过程中作功，由动能定理有：mv2—1mv2=mgy+Jfdl22Jfdl由于摩擦力作功与路径有关，所以摩擦力存在时，质点到达任一点的速度与初速度及下降的高度有关，还与曲线的形状有关。为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力如不能，应当怎样去求答：因为约束力与运动方向垂直，所以在光滑静止曲线上，约束力不作功，用动能定理或能量积分无法求出约束力。此时可以用动能定理或能量积分先求出速度，在利用内禀方程中的法向运动微分方程，可求出约束力。质点的质量是1kg，它运动时的速度是：/=3:+2j+老k,式中入j、k是沿xyz轴上的单位矢量，求此质点的动量和动能的量值。答：动量：P=mv=3i+2j+<3k动量的量值： p=mv=.332+22+3=4（单位）动能： T=1mv2=1（32+22+3）=8（单位）2在上题中，当质点以上述速度运动到（1,2,3）点时，它对原点0及z轴的动量矩各是多少答：质点运动到（1,2,3）点时，它对原点。的位矢为：jjjjr=i+2j+3kTOC\o"1-5"\h\z则对。点的动量矩为：ji j k—>J=rxmv=1 2 32 晶=（2v'3-6）j+（9-v-'3）j-4k对z轴的动量矩为：jjJ=J•k=-4动量矩守恒是否就意味着动量也守恒已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒答：动量矩守恒的条件是；M=rXF=0；动量守恒的条件为：F=0。由于m=rxF=0时，可以是r与F共线而F丰0，故动量矩守恒时动量不一定守恒。-r以质点在有心力作用下的运动为例，F=F(r)r,显然M=rXF=0，动r量矩守恒，但因为Fw0，动量不守恒。实际上质点的动量沿轨道切线，其大小和方向时刻在变化。如F=F(r)，则在三维直角坐标系中，仍有VxF=0的关系存在吗试检验之。答：F=F(r)-，贝h

rF=F(r)x F=F答：F=F(r)-，贝h

rxryrzrVxVxF=-rjdSyF(r)yrkS女F(r)zr=[((Fz)-^(Fy)]i+[](F-)—[(Fz)]j+[《(F^)-^(Fx)]k

Sy r Sz r Sz r Sx r Sx r Sy y-i(VxF)-i(VxF)xSzSySFSr

蔡(F7)j曰)=z-(一)LSzSrSySFSry—(—)—SrrSzTOC\o"1-5"\h\zSr x Sry Sr zr2=xdd.xxF(r)-r+y2+ zdd.xxF(r)-rSx r Syr Sz r—►(VxF)=0同理：(Vx同理：(VxF)=0y——(VxF)z=0VxF=0即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状答：平方反比引力：F(r)=-GMmr2势能为:V=-fF•dr=-fF(r)dr=Jr^-^mdr=8r2GMm势能曲线形状如图所示。GMm我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么又交角大的优点是什么答：评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗为什么答：卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向

相反，故卢瑟福公式也能使用。第一章 习题沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1,而通过下一等距离s的时间为t,试证明枪弹的减速度(假定是常数)为:22s(t-1)1112(11+12)证：设初速度为v，加速度为：-aTOC\o"1-5"\h\z通过第一段距离S：s=yt-Lt2 (1)i2 1通过2s距离： 2s=v(t+1)-1a(t+1)2 (2)012 2 12(1)(2)两式联立，消去v得：[(1)义(t+1)-(2)xt]s(t-1)=a.at((t+1)2 1 2 121 2. 2s(t-1)… 1112(11+12)证毕。

某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近最近的距离是多少解：以正午为计时零点，设/时两船相距最近，其最近距离为s。设东向船为A，北向船为B，以灯塔为坐标原点0，建立坐标系0—冷，如图所示。在/时刻，两船位置分别为:AQ,0)AB(0,yB)x=vty=v(t-1.5x=vty=v(t-1.5)BS=xx2+y2*AB=vt22+(t—1.5)2dsv21+2(t-1.5)八——= / 、=0dt22t2+(2-1.5)2则：21+2(t-1.5)2=0:.t=0.75小时（即午后45分钟）将t值代入S表达式得:Si=15,0.752+6.75-1.5%=15.9（千米）答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。曲柄西=r，以匀角速①绕定点。转动，此曲柄借连杆人8使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。设AC=CB=a/AOB=。/ABO二▼。解：如图所示建立坐标系0 xy，。点的坐标为:rsin。=2asinV(3)由（1）（2）两式消去v得： a2=y2+（x-rcos力）2即： x-rcos。=a22-y2 (4)由⑵(3)两式消去v得：2y=rsin4 (5)由(4)(5)两式消去^得： r2=4y2+(x-.222-y2)2上式化简得轨道方程为:4x2(a2—y2)=(x2+3y2+a2-r2)2对(1)(2)两式取微商得:TOC\o"1-5"\h\zJX=-r6sin巾一aWsinV (6)[y=aWcosW (7)对(3)式取微商得： r4)cos6=2aWcosW.r4cos4 “、W=有萩 ⑻将(8)代入(6)(7)得：.I-.। r4sinwcos6x=一r4sin4- v 2cosw・ 1 ， 一y=—r4cos4 4=3< ^2。点的速度为,'(r4sin4-r4sinWc0s4)2+(1r4cos4)21 2cosW 2———”4sin4cosWsin(4+W)+cos242cosW细杆OL绕O点以匀角速①转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。解：如图建立直角坐标系O—xy，小环在任意时刻的位矢为：

r=OC=xi+r=OC=xi+yj=dtgQi+djTOC\o"1-5"\h\zv= =d-0,sec20i= 3idt d式中用至4：sec20=-J—

cos20式中用至4：.小环的速度的量值为：v=X2+d23dva=-dt—ddva=-dt—d，3sec20Jdt=2d32sec20,tg0itg0IX2+d2.=232X id2小环的加速度的量值为：a=232xX2矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示:a=a=c(1-sin2T式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

解：升降机作直线加速运动，则:TOC\o"1-5"\h\z史=c（1-sin三-）dt 2T两边积分:fVdv=Jtc（1-sin上）dt0 0 2T，V=c[t+—（cos巴-1）]兀 2TdsVdsV=—=c

dtr2T.兀t[t*云（C0S2T-（IlA=（IlA=从9X+生Ir）证：由已知：v=r=Xr沿位矢方向两边积分:c[t+三（cos巴-1）]dt

兀 2Trt2,2T2T.兀ts=c[T+T（不Sin2T-）]一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为Xr及U0，式中hU是常数，试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为:、 U202a=X2r- r r

TOC\o"1-5"\h\zdv d()d( \:.a==an)+ (^0j)dt dt dt=Xri+入rdi+^0j+日0”dt dt■■■=X范+Xr0j+从0j一从00iX2X2r-i+，r0+JIRRRR202=X2r- r(IlA=r0X+上IrJ证毕。试自x=rcos0,y=rsin0出发，计算X及y,并由此推出径向加速度ar和横向加速度a0。90解：x、y坐标与平面极坐标八0之间的关系，如图所示。90JX=rcos0-r0sin0y=rsin0+r0cos0♦♦X=rcos0-r0sin0-r0sin0♦♦♦-r0sin0-r02cos0■■■■=rcos0-2r0sin0-r0sin0-r02cos0■■■■■y=rsin0+r0cos0+r0cos0+r0cos0-r02sin0■■■■=rsin0+2r0cos0+r0cos0-r02sin0a=Xcos0+ysin0r=rcos20-2r0sin3cos3-r02cos0-r0sin0cos0+rsin20+2r0cos3sin0+r0cos3sin3-r02sin20

a0=ycosO-xsinO=rsin3cos3+2r0cos20+r0cos20一r02sin3cosO-rsinOcos0+2r0sin20+r0sin20+r02cos3sin0=2r0+r0...径向加速度为：a横向加速度为:a横向加速度为:a=2r0+r00质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量V与加速度矢量a正交。证：KV=V2=常数（已知）上式对时间取微商：2ka=0 即：ka=01a即速度矢量v与加速度矢量a正交。又证：因为质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。VVI工、 —dV—dv—v2—而 a=——=—i+—jdtdtp又V为常数（已知），史=0dt

所以:a—所以:a——dt故：1a 即速度矢量—与加速度矢量a正交。证毕。一质点沿着抛物线y2—2px运动，其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍，如此质点从正焦弦（pp）的一端以速度u出发，试求其达到正2焦弦另一端的速率。dv vdv v2 d0 dsd0 d0a——a———v2——v —v—Tdtnpdsdtdsdt由题意知:dtdt积分:

Jv—=-2kf°d°°0v=ue-k九质点沿着半径为厂的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角a保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为v0。解：按题意画图，如图所示。a沿切向与v同向间夹角a解：按题意画图，如图所示。a沿切向与v同向间夹角a，即a与v间夹角为a，为常数。贝hat=ctgaandVdtdvv2———ctgadtrJvdv ctgav0V2r1 1在上题中，试证其速度可表示为:V=Ve(°-°0)ctga0式中°为速度矢量与X轴间的夹角且当式中°为速度矢量与X轴间的夹角且当t=0时io证：T-ctga

andVa二—Tdtds

d°dvctga=--vd0分离变量积分：Jvdv=ctgaj0d0v0v 00In—=(0-0)ctgav 00v=ve(0-00)ctga0证毕。假定以飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处，飞机相对于空气的速度为力,而空气相对于地面的速度则为"，A与B之间的距离为I，飞机相对于空气的速率/保持不变。(a)假定v0=0，则空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为：t=2；0v'(b)假定空气速度向东(或向西)，试证来回飞行的总时间为：；t= t0B1-v2/v'20(c)假定空气速度向北(或向南)，试证来回飞行的总时间为:t= t0NV'1-v2/v'20解：本题是牵连运动为平动的问题

选择：动点(运动物体)飞机;其中动系——空气;定系 大地。选择：动点(运动物体)飞机;其中动系——空气;定系 大地。v'为相对速度，vo为牵连速度，v为绝对速度。⑸空气静止v0=°v=/其大小为:,21v=v=——t其大小为:°21

v'(b)设空气向东流动当飞机由西向东飞行时，4=v°+v1t= ABv+v'°当飞机由东向西返回时：—vA=v°-v1t= BA v'-v°故来回所花时间:t=t+t= + BABBAM+vM_v21_2v'l_V7V'2一V2 1一V2/V’20 0t= 0 1-V2/v'20(c)设风从南向北吹，飞机由西向东飞行时相对速度为、，飞机由东向西飞时相对速度为V，如图所示。:.tN:.tNlI:'V‘2-V21 0t, 0V'1-V2/V,2“ 0一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米，如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少解：设飞机为动点，风为动系，南向北吹，大地为静系。如图所示。飞机向北行：V=V解：设飞机为动点，风为动系，南向北吹，大地为静系。如图所示。飞机向北行：V=V+V且由V飞机向南行：V=飞机向南行：V=M—y飞机向东或向西行：:V‘2-Vll

+ V+V'V'—V0 021+—・21+—・ =：V，2—V20r

vT-IV'1——0-21r 121r 1 V,1—V2/V,2V0、, 1+i =11—V2/M2IV0 ,=0.2552小时=15_5分钟16当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板,篷高4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米，如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。解：选择：动点 雨点动系——轮船静系——岸边雨对地的速度（绝对速度）V=8m/s雨对船的速度（相对速度）为v，船对地的速度（牵连速度）为v0方向如图所示。由相对运动速度公式有：v=v0+v'由图形知：AABC与速度三角形相似，则：vAB<32+42 1 == =1V0BC3+2/.v=V°=8m/s宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c，一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地方。分离变量积分：Jyydy=\xUddx0 02C所以船的轨迹为:cx=——y2

udV二k(d-y)=d(d-y)cd4udytgdytg°二dud2c(d-y)分离变量积分:J：(d分离变量积分:J：(d-y)dy=Jd2xud1xdxcd2c4u所以船的轨迹为:cd——cd——y2-——ud2u船在对岸靠拢的地点:ccd——d2--cdud2u2u小船M被水冲走后，有一荡桨人以不变的相对速度乌朝岸上A点划回，假定河流速度C1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。解：这是一个牵连运动为平动的问题，选取平面极坐标系。dr——(

rdsin①C1 十—2-——解：这是一个牵连运动为平动的问题，选取平面极坐标系。dr——(

rdsin①C1 十—2-——(3)Jdr-JJ -Jrd""9+kJcsc9d9sin9心ck—-2C19、，Inr=-ln(sin9)+kln(tg)+A^2当r=r时，9=9nA=Inr+Insin①-kIntg号rIn——Inrosin9 0sin9+-**

tg(902)则：sin则：sin①tgka

sin①tgka0令：a—3sin9sinkacoskasin9coskasinka0

2sinacosasinkacoska2sinacosacoskasinka0sink-iacosk+1a 0-cosk+iasink-ia0所以船的轨迹为:sink-iacosk+iar=r o0cosk+iasink-ia0一质点自倾角为a的斜面的上方0点，沿一光滑斜槽0人下降，如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽0A与竖直线所成之角e应为何值OA_OBcosOA_OBcosacos(a-0)即：(i)质点下降的加速度为：gcos0OA=2gcos0•12将（2）式代入（1）式得:

2g2gcos0•12

cosaOBcos(a—0)2•OB•cosa

gcos(a—0)cos0dt2_2•OBcosdt2_2•OBcosad0 gsin0sin(a—0sin0cos(a—0)cos20cos0cos2(a—0)2•2•OBcosa sin(20—a)cos20•cos2(a—0))=0则：即：2则：即：20—a=0sin(20—a)=0证毕。将质量为m的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即R=mk2gv2，如上掷时的速度为V。，试证此质点又落至投掷点时的速度为：v0 -1+k2v2'' 0证：选取坐标系0乂，质点受力分析如图所示。上升：质点运动微分方程为:mX=-mg-mk2gv2dx上式可写为:dx上式可写为:X-=-g(1+k2X2)dx分离变量积分得:ln(1+k2X2)=-2k2gx+C1=C=ln(1+k2V2),代入上式得:In+k2X2=(1+k2v2)+k2X2=(1+k2v2)e-2k2gx0到达最高点：X=0nx=21—ln(l+k2v2)下降：质点运动微分方程为:mx=一mg+mk2gv2X—=-g(1-k2X2)dx积分得:ln(1-k2X2)=2k2gx+C1+k2v201文=0x= ln(1+k2V2)nC=-ln(1+k2v2),代入上式得:2k2g 0 2 0ln(1+k2X2)・(1+k2v2)=2k2gx0落至投掷点：x=0(1+k2x2).(1+k2v2)=10所以质点又落至投掷点时的速度为:・ 匕x=V= 0一j1+k2v20证毕。一枪弹以仰角、初速自倾角为的斜面的下端发射，试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离(沿斜面量取)及此距离的最大值分别为：1 2v2cosasin(a-B)d=-0 gCOS2Bdmaxv2 兀 B=—0-sec2(--2g 4 2证：选取坐标系oxy，受力分析如图所示。枪弹运动微分方程为：mx=0■■my=-mg(1)(2)y=vsina利用初始条件：t=0 Jx=y=vsinaIX=vcosat0对(1)(2)两式积分两次得:x=vcosa•t(4)1,

y=vsina•t-—gt

o2(4)(3)(4)两式消去t,得轨迹方程为:gy=xtga x22v2cos2a0子弹击中斜面点：A(dcosP,dsinP)，满足轨迹方程:gdsinP=dcosP-tga (dcosP)22v2cos2a0解得子弹击中斜面的地方和发射点的距离为:1 2v2cosasin(a-P)d=0 (5)g cos2P对(5)式取极值:dd

da2vdd

da2v2 0——gcos2P[-sinasin(a-P)+cosacos(a-P)]2v22v2cos(2a-P)八—0 =0g cos2P于是：2a-P=la/+日将a的表达式代入（5）得距离的最大值为:dmaxV2=—e-将a的表达式代入（5）得距离的最大值为:dmaxV2=—e-sec22g将一质点以初速v0抛出，羽。与水平线所成之角为a，此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，m为质量，k为比例常数。试求当此质度与水平线所成之角又为a时所间。解：受力分析如图所示。建立坐标系O-xy质点的运动微分方程为:mx=—mkkmy=—mky—mg利用初始条件："0X=vcosa0y=vsina

0对上式积分得:(x=vcosa•e—kty=vksina+g

k01]vksina+gle—一g」当2=二 =-tga时X vcosa•ekt(yksina+g)e-kt-g=-kvsina•e-kt(2vksina+g)e-kt=g02vksina+gg所需时间为:如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e（E+秘XB），B为磁感应强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。kZ=eyBi+(eE-exc.B)JBkZ=eyBi+(eE-exc.B)JBiJTOC\o"1-5"\h\z电子受力：F=e(E+vxB)=eEJ+eX y0 0设电子的质量为m，则运动微分方程为:'mx=eBy (1)mny=eE-eBX (2)、mZ=0 (3)利用初始条件：t=0z=0z=0，对（3）式积分两次得:

(4)利用初始条件：=0y=0文=V，对（1）(4)利用初始条件：=0y=0文=V，对（1）式积分得:(5)将（5）代入（2）式得:eB一my=eE-eB( y+V)m整理得:e2B2

y y=m2eE+eBV

mm(6)特征方程为:e2B2八r2+ =0m2（6）式齐次方程的通解为:cos竺t+Csin空tm2m（6）式非齐次方程的特解为:mEmV’2eB2eB所以方程（6）的通解为:eB eBmEmVy=y+y=Ccos——t+Csin——t+ (7)1 2 1m2m eB2 eB（7）式取微商得:.eBC.eB eBC eBy= isin——t+ 2cos——tm mm m利用初始条件：利用初始条件：t=0y=0y=0nq=mv-b 0，代入⑺得：mE、eBmEmVy=——(V-—)cos——tmE、eBmEmVy=——(V-—)cos——t+ eBBmeB2eB(8)将（8）代入（5）式得:=(V-E)cos竺t+EBmB(9)利用初始条件：t=0x=0，对（9）式积分得:m E、.eB-E,x=—(V——)sin—t+—teB Bm B(10)（8）（10）为电子的运动方程。在上题中，如（a）B=0，则电子的轨道为在竖直平面（xy平面）的抛物线;"）如£=0，则电子的轨道为半径等于”的园，试证明之。eB证：（a）8=0，电子的运动微分方程为：'mX= （1）<my=eE （2）mz=0利用初始条件："0 r二丁"工二0［文=vy=0z=o对（1）（2）（3）式积分两次得：x=VtI_eE6y 122mz=0联立消去t得:y=^^x2——轨道为Xy平面的抛物线。2mV2(b)E=0，电子的运动微分方程为:'mx=eBy<my=-eBX

mz=0(4)(5)(6)利用初始条件：t=0z=0Z=0，对（6）式积分两次得：z=0利用初始条件：t=0 ，X=y=0，对（4）（5）式积分得:Ix=vy=0eB——y+VmeB- Xm⑺(8)*得：mVXdX+ydy+dy=0eB利用初始条件：t=0X=y=0，对上式积分得:x2+y2+mVLy=0

eB则电子的轨道为:x2+（y+m）2二喘）2―半径等于m的园。质量为m与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上，在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k为鳖的弹性绳挂a上另外一个质量为m的质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有长度上，由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力T及厂。解：取隔离体，受力分析如图所示，建立坐标ox运动微分方程为:2mx=2mg一T<mx=mg一T+T'2mx=mg-T3 3(1)⑵⑶，由题意知：T，=m(x3-x2-a) (4)x1+x2=常数(5)对（5）式求导两次得：x+x=0 （6）12将（4）（6）代入（1）（2）（3）消去T和x得：1⑺(8)(9)⑼⑺(8)(9)⑼x1-(10):

m8(x-x)--g-323(10)2m.x=-2mg+T2mg

mg〈mx=(x-x)-T2a32TOC\o"1-5"\h\z••cmg， 、mx=2mg(x-x)I3a3 2(7)+(8)得:3mx--2mg+mg(x-x)2 a3 2(11)4g(11)石(x3-x2)-（11）式的通解为:TOC\o"1-5"\h\z, '4g —. '4g --Acos'-t+Bsin'-t+2a33a 3a定积分常数:--A卫sin.''HZt+B、:互cos/

3a 33a33a33a定积分常数:t-0x-x-ax-x-0nA--aB=0

3 2 3 2-a-a(2-cos二—t)3a(12)利用（6）式，（2）+（3）-（1）得:-3x-3xi-0(13)由（6）和（13）式知三个质点作相同规律运动，由（11）知质点作简谐振动，其周期为:2兀「：3a：3aT=——=2兀,——二兀:—3 \'4gg将（12）代入（4）得:4g、T=mg(1-cos,卢)V3a(7)-(8)x2: —2mg+T—2mg(x—x)+2T=0a3 23T=2mg+2mg(x-x)a32八八1 ：4g、T=2mg(1--cos.-t)3 、■3a滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W的物体，当滑轮以匀速转动时，物体以匀速v0下降，如将滑轮突然停止，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受卬的作用时静伸长量为九0。解：以弹簧原长处为弹性势能零点，以弹簧平衡位置（伸长九0时）为坐标原点o建立坐标Ox，且以0点为重力势能零点，如图所示。由机械能守恒得：——v2+—k入2=—k（X+x}-Wx （1）2g0 2 0 2 0弹簧处于平衡位置时，W=kX。代入⑴式并化简得:X=-y"鼠不是题目所求，舍去。二弹簧的最大伸长量为：且最大张力为:且最大张力为:TmaxTmax=k入max「入o「入o+v0，入+v-o~叫gJ、v0一弹性绳上端固定，下端悬有m及加两质点。设〃为绳的固有长度，》为加m后的伸长，c为加m,后的伸长。今将m,任其脱离而下坠，试证质点m在任一瞬时离上端O的距离为：g,a+b+ccosi—tb证：研究对象为质点m，其受力分析如图所示。设坐标原点O1在(a+b)处，向下为正，建立坐标轴O1X。设绳的弹性系数

mg为k，质点平衡时，kb=mg贝hk=暨，质点运动微分方bmg程为:mx=mg一k(b+x)=一kx上式为简谐振动方程，其解为:x=x=AcosCot+9)0=1虫记+9. 4iT-x=一Aj—sin

bb. 4iT-x=一Aj—sin

bb\b0J将初始条件：t=0x=cx=0代入得:,1g/.x=ccos..—t

bb故任一时刻m离上端的距离为:ga+b+ccos；,—t

b证毕。一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下，问滑

至何处，此质点将离开圆柱面假定圆柱体的半径为,解：以质点为研究对象，受力分析如图所示。设质点m滑至与竖直线夹角为0处离开圆柱面，此时N=0，则质点的法线方程为：(1)V2(1)质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒m—=mgcos0r质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒mgr=m7nv2+mgrcos0 (2)^2⑴、⑵两式联立得：o=cos-123重为W的小球不受摩擦而沿半长轴为2、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的，如小球自长轴的端点开始运动时，其初速为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。解：小球受力分析如图所示，到达最低点时，(1)法向方程为:V解：小球受力分析如图所示，到达最低点时，(1)法向方程为:V2m—二N一mg由机械能守恒得:mgb=gmv2由机械能守恒得:mgb=gmv2椭圆方程:x2 y2——+—=1a2 b2,dy bxy=——=- dx xX2a2y1——a2d2y by= =- dx2 X23a2(1-一)32a2曲率半径:3

(1+y'2)32一”

y(a4-a2x2+b2x2)32a2TOC\o"1-5"\h\za4b bx=0将曲率半径p和v2代入（1）式得:「2b2、N=mg(1+ )a2到达最低点时对椭圆的压力为:2b2P=N=mg(1+ )a2一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑，试证在任何一点的压力为2mgcos0，式中0为水平线和质点运动方向间的夹角，已知圆滚线方程为x=a(20+sin20),y=-a(1+cos20).

解：质点受力分析如图所示，在自然坐标系中，质点的法向运动微分方程为:V2m一二N-mgcos0(1)由机械能守恒得:由圆滚线方程得:解：质点受力分析如图所示，在自然坐标系中，质点的法向运动微分方程为:V2m一二N-mgcos0(1)由机械能守恒得:由圆滚线方程得:dx=2a(1+cos20)d0—y=2asin20d0曲率半径为:dsp=——Yd0dx. ,dy、=.(——)2+(—)2

丫d0) (d0)=4acos0(3)将（2）（3）代入（1）得:—+mgcos0P2y 2a(1+cos20)、=mg(cos0-——)=mg(cos0+ )=2mgcos0p 4acos0在任何一点的压力为:P=N=2mgcos0

上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数N应满足下式:试证明之。证：受力分析如图所示，质点运动微分方程为:--从—=g(---从—=g(-sin0+从cos0)dtp(3)将v=ddtp=坐ds=pd0=4acos0d0，代入(3)式:d0v-—日v2—=g(日cos0-sin0)dsdsvdv-从v2d0=g(从cos0-sin0)4acos0-d0上式两边乘因子：得：上式两边乘因子：得：d(v2e-2日。)=2g(从cos20一sin0cos0)4ae―^ed0=8pagcos20e-2^ed0-4agsin20e-2^ed0上式两边积分：0=三n0=0；v=0nv=0：20=0v2e-2p0v=00=0v2e-2p0v=0/=8pag[

0="；v=0e-3四0cos0(一2日cos0+2sin0)0=0+ 4(1+p)。=兀2』e-3^0d0]-4ag[e-3四0(一3日sin20-2cos20)0=0,

°』20=8pag(-1—e-s2(p2+1)4p(p2+1)、 . ,1+e-p兀、)—4ag(- )2(p2+1)2P2+1—e-p^ 1+e-p兀、0=-2pag( p2+1 )+2ag(GF)2P2-2e-p^0=-2ag( )p2+1即：p即：p2—e-p兀=0故:证毕。故:假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与0-成正比，且可写为r=-2mkl0.，式中m是摆锤的质量，l为摆长，k为比例常数，比，试证当k2<g时，单摆的振动周期为:lt=2兀'——-——Vg-k2l证：选取自然坐标系，单摆受力分析如图所示，单摆在媒质中的切向运动微分方程为:

证：选取自然坐标系，单摆受力分析如图所示，单摆在媒质中的切向运动微分方程为:方程（2）m—=方程（2）m—=一mgsin6一2mkl6dt(1)6很小，则：sin8小，所以（1）式可写为:的特征根为:r=—k±.L,1k2-g

l时，方程（2）的解为:g6=Ae-ktcos(、一l单摆的振动周期为:2兀 c:——=2兀，3 \，g—k2l证毕。光滑楔子以匀加速度％沿水平面运动，质量为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下求质点的相对加速度〃，和质点对楔子的压力P。解：取楔子为坐标系，在楔子上建立坐标系oxy解：取楔子为坐标系，在楔子上建立坐标系oxy(1)a°沿x轴正向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为：ma'=mgsin0+(1)a°沿x轴正向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为：ma'=mgsin0+macos。0=N一mgcos0+masin0所以:aa=gsin0+acos0N=mgcos0一masin0o质点对楔子的压力P与N大小相等、方向相反。(2)同理，a。沿x轴负向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为：ma'=mgsin0-macos00=N-mgcos0-masin0a'=gsin0-acos0N=mgcos0+masin0质点对楔子的压力P与N大小相等方向相反。综上所求结果得:aa=gsin0±acos0P=N=mgcos0masin0

o光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，

其重为叫如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动，求小环的相对速度,及圈对小环的反作用力R。解：以圆圈为参照系，建立坐标系o——xy=-r(g=-r(g+a)JesinedeTOC\o"1-5"\h\zvrr er0 0(v2-v2)=r(g+a)(cose-cos。)2r rg 0v2=v2+2r(g+a)(cose一cos。)（3）代入（2）得:v2dvm-rdtV2m—r~=R一mgcos0+macos0r=一mgsin0+masin0(5)(6)同理解得:v2=v2+2r(g一a)(cos0—cos0) (7)r r0wa v2R=—[(1一一)(3cos0-2cos0)r+—rr](8)综合以上结果:v2=v2+2r(g±a)(cos0—cos0)r r0wa v2R=—[(1±一)(3cos0-2cos0)r+f]rg0g火车质量为m,其功率为常数工如果车所受的阻力f为常数，则时间与速度的关系为：mk1k一vfm(v一v)t= In o—— o-f2k一vff如果f和速度V成正比，则:mv,vk一fv2t=In 2f v(k一vf)式中v0为初速度，试证明之。证：1）功率：k=Fv=常数，则：F=—v火车运动微分方程为：dvk「m—=--fdtvvdv,

m =dtk-fv=dt(k-fv-k)=dt-皿f(k-fv)积分:Jtdt=叱Jvj^-mJvdv0fv0k-ffv0mk、k-fvm/ 、t=——In———0--—(v-v)f2k-fvf02）阻力f和速度v成正比：f八v，火车运动微分方程为:mdv=-—九vdtv分离变量积分:Jtdt=mJv—vdvo vQk—九v2mkk一九v2t二一--In——--2九 k—九v20将X=/代入上式得:vmv,vk-fv2t=In o-2f v(k-vf)

质量为小的物体为一锤所击，设锤所加的压力是均匀地增减的，当在冲击时间T的一半时，增值最大值P,以后又均匀减小至零，求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。解：所加的压力：F=kt，k为常数t=-时，F=PP=k-nk=竺・•.F=竺t2 2 - -物体运动微分方程为：mdv_2Pt

dt-(1)（1）式分离变量积分:Jvmdv_0P- -、V_ 12 (0<t<—)m- 2-<t<-时，F_at+b a、b为常数22Pa2Pa_——b_2P-t_—时，F_Pt_-时，F_0得:22PF_——t+2P-物体运动微分方程为:TOC\o"1-5"\h\zdv 2Pm _——t+2P (2)dt-当t_-时，v_P2 4m（2）式分离变量积分:fvmdv=JP4mt(-竺t+2P)dt-T2当t=T时，P

v= 12mtPTv= 2m(-T2+4Tt-2t2)(-<t<T)

2压力所作的总功为:1PT八 P2T2w=-m(——)2-0= 2 2m 8m检验下列力是否是保守力如是，则求出其势能。检验下列力是否是保守力如是，则求出其势能。(a)F=6abz3y-20(a)F=6abz3y-20bx3y2F=6abxz3-10bx4yF=18abxyz2(b)F=18abyz3-20bx3y2F=18abxz3-10bx4yF=6abxyz2(c)F=iF(x)+jF(y)+kFQ)(c)解：力是保守力的充要条件为：VxF=0即：VxF=即：VxF=ia

ax

FxjaayFyk

a

az

Fzj+dj+d.xy(afjay(af~ax(a)(df afy—z———^I=18abxz2-18abxz2=0、ay azJ二18abyz2—18abyz2=0(afaf),, … … …八―I=6abz3—40bx3y—6abz3+40bx3y=0ay)此力是保守力，其势能为:V=JF-dr=—rJ(x,y,z)(F-(0,0,0) x ydx+Fdy+Fdz=—/,o,okdx—》,y，0)Fdy—『，y，z)Fdz(0,0,0)x (x,0,0)y (x,y,0)z二—Jq,0,oQabz3y—20bx3y2)x(0,0,0)—J*y,0)(6abxz3—10bx4y)dy—J&y,z18abxyz2dz(x,0,0) (x,y,0)=0—Jy—10bx4ydy—Jz18abxyz2dz00=5bx4y2—6abxyz3af aF(b)—z——=6abxz2—54abxz2丰0ay az=54abyz2—6abyz2*0———^-x=18abz3—4abx3y—18abz3+40bx3y=0ax az...此力不是保守力，不存在势能。aaf——二0azTOC\o"1-5"\h\zaf af 八 — z=0az ax上—"二0

ax az此力是保守力，存在势能，在Q,y,2）处相对于Q0,y0,z0）的势能为:V=」F•dr=-fxF(x)dx—JyF(yy)dy—JzV=」F•drx0 y0 z0根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能:ke-arV（r）= ,k<0r试求：6）中子与质子之间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；（b）求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E.解：6）中子与质子之间的引力表达式：dV(r) ke-ar kae-ar k(1+ar)e-arF= = + = dr r2r r2平方反比引力定律:「GMmk2mF= = r2 r2（b）质量为m的粒子作半径为a的圆运动，向心力为:-v-v2k(1+ar)e-arF=m——= r r2(k<0，力□"一”)k(1+ar)e-ar,k(1+aa)e-aav2= | =- mr r=a ma动量矩:J2=(amv)2二一mka(1+aa)e-aa能量：L1 - k(1+aa)e-aa ke-aa k(1-aa)e-aaE=2mv2+y=-2a+二= 2a已知作用在质点上的力为:式中系数2小1门=1,2,3)都是常数，问这些aj应满足什么条件，才有势能存在如这些条件满足，试计算其势能。解：势能存在的充要条件为：vxF=0，即：(dF aFy————zI=a—a—0TOC\o"1-5"\h\zJz ayJ23 32("一竺J—a-a-0IaxazJ 31 13(afaf\—————I—a—a—0、ay axJ12 21要满足以上条件，必须满足：a—aa—aa—a即满足：a=a(i丰j)，势能存在。其势能为:V=JV=JF•dr=-Jg，y，z(-(0,0,0) xdx+Fdy+Fdzj=-Jq,o,o)fdx-JQ，y，0)Fdy-JQ，y，z)Fdz(0,0,0)x (x,0,0)y (x,y,0)z=_Jq,0,oQx+ay+az)dxTOC\o"1-5"\h\z(0,0,0) 11 12 13-J&y,0Qx+ay+az)dy-J*y,z)(ax+ay+az)dz(x,0,0) 21 22 23 (x,y,0) 31 32 33=-—(ax2+ay2+az2+2axy+2azx+2ayz)

2 11 22 33 12 13 23一质点受一与距离的3次方成反比的引力作用在一直线上运动，试证此2质点自无穷远到达〃时的速率和自〃静止出发到达f时的速率相同。4证：如图所示，质点受引力作用:F(r)=-上k为比例系数r3/2质点运动微分方程为:TOC\o"1-5"\h\zd2r ,m =-kr-3/2dt2d2rdvdvdr dv =—= =v—

dt2dtdrdt dr则上式为:dv,

mv—=-kr-3/2dr质点由8到a：Jv1mvdv=—kJar-3/2dr质点由质点由a到4：Jv2mvdv=-kJ4r-3/2dr

av2 1— 1-^―-2kr-24-2ka-22a14k-1v-,—a42mm证毕。一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m，比例系数为工如此质点从距原点。为a的地方由静止开始运动，求其到达0点所需的时间。解：质点受引力为：F---，其运动微分方程为:xdv k（1）m-二一一（1）dt x即：dv即：mv——二dx

分离变量积分:Jvmvdv=一kJx—0 axm^nv2=kIna2 xdxv=-dt,2k■a-、mdxv=-dt,2k■a-、m即x)（v与x反向，取负值）(xe(0,a)「.Ina>0xf0InaT9)令：y=-ln(a)\xx=ae-y2 dx=-2aye-y2dy，代入（2）式得;22ae-y23dt分离变量积分:(分离变量积分:(x:af0y:0T9)故到达0点所需的时间为:mt九故到达0点所需的时间为:mt九t=a.■ \2k试导出下面有心力量值的公式:mh2dp-2F= 2dr式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，力=r式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，力=r句=常数，P为力心到轨由动能定理:—>mv2)=F•dr=FdrFdr=d[―m(—)2]2pmh2dp-2F= dr证毕。试利用上题的结果，证明:&）如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。（的如质点走一对数螺线，而其极点即力心，则力与距离立方成反比。

mh2dp-2Fmh2dp-2F= 2drmh2d/r2 (一)-22dr2R=2mh2R2—(r-4)=-8mh2R2—dr(b)对数螺线：r=ea0dr=aea0d0=ard0mh2.dz mh2 1 sin-2a (r-2)= 2 dr sin2ar3证毕。如质点受有心力作用而作双纽线r2=a2cos20的运动时，则:3ma4h2F= r7试证明之。证：1_ 1raJcos20dusin20 d2u3一cos证：1_ 1raJcos20d0a(cos20)32 d0a(cos20)52a(cos20)52

代入比耐公式:一mh2u代入比耐公式:一mh2u2(F=-mh21 3a2cos20a(cos20)523mh2a4证毕。质点所受的有心力如果为其中四及V都是常数，并且v<h2，则其轨道方程可写成:a

r= 1+ecosk0试证明之。式中k2=吐V,a=世,e=坐匕（A为积分常数）。h2 旦2 日2证：由比耐公式:d2u,、 52,V、F=-mh2u2(——+u)=-m(——+—)

d02 r2r3v<h2 令：k2=吧——，上式变为:h2上式变为:其解为： m=Acos(k9+9)极轴转动90角度，使得9。=0,贝［有：己=Acosk9于是:U2于是:=Acosk9+——

h2k2令：a=安，则:u21Aac