基本公式直线的斜率直线的方程

基本公式直线的斜率直线的方程第1页/共88页第2页/共88页第3页/共88页第4页/共88页第5页/共88页第6页/共88页第7页/共88页第8页/共88页第9页/共88页第10页/共88页第11页/共88页第12页/共88页第13页/共88页1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于()(A)-1(B)1(C)-3(D)3【解析】选C.因为又A、B、C三点共线，所以kAB=kAC，即解得：x=-3.第14页/共88页2.直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()(A)30°(B)60°(C)150°(D)120°【解析】选B.由直线方程得y=x+a，所以斜率k=,设倾斜角为α,所以tanα=,又0°≤α<180°，所以α=60°.第15页/共88页3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标为()(A)-11(B)-1或11(C)-1(D)1或-11【解析】选A.设A的坐标为x,则BA=x-(-5)=x+5,又∵BA=-6,∴x+5=-6,x=-11.第16页/共88页4.如果A·C<0,且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距在y轴上的截距故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.第17页/共88页5.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴截距2倍的直线方程为____________.【解析】若直线过原点，满足条件，方程为若直线不过原点，设直线方程为又过(2,1)点，解得b=2.答案：或x+2y-4=0第18页/共88页第19页/共88页第20页/共88页第21页/共88页

两点间距离公式与中点坐标公式【例1】(1)已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).(2)已知函数求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值.【审题指导】(1)明确AB为数轴上的数量(或坐标)，明确d(A,B)为A、B两点间的距离.(2)将两被开方式配方，可发现f(x)表示平面直角坐标系中动点P(x,0)到两定点的距离之和，最后利用数形结合的思想求解.1第22页/共88页【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b;d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.(2)上式表示点P(x,0)与点A(2，2)的距离加上点P(x,0)与点B(1，1)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(2，2)、B(1，1)的距离之和的最小值.第23页/共88页由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点B′(1,-1)和A(2，2)间的距离.再由两点式直线方程得B′A的方程为3x-y-4=0，令y=0得故时，f(x)取得最小值第24页/共88页【规律方法】1.数轴的公式(1)数轴上的两点A(x1),B(x2),则向量的坐标AB=x2-x1,A、B两点间的距离为d(A,B)=｜AB｜=｜｜=｜x2-x1｜.(2)数轴上的三点A、B、C,都有和AC=AB+BC成立.第25页/共88页提醒：要注意、AB与｜AB｜的不同.表示起点为A,终点为B的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量的坐标(或数量),它是一个实数,其前面的正号或负号表示向量的方向与轴同向或反向;｜AB｜表示向量的大小,即线段AB的长度.第26页/共88页2.两点间的距离公式平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离表示为(1)当P1P2平行于x轴时，d(P1,P2)=|x2-x1|;(2)当P1P2平行于y轴时，d(P1,P2)=|y2-y1|;(3)当P2点是原点时，d(P1,P2)=第27页/共88页【互动探究】若本例(2)中求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值.【解析】上式表示P(x,0)到A(2，2)与到B(1，1)的距离之差，∵AB的方程为x-y=0，令y=0得x=0.∴当x=0时，f(x)max=.第28页/共88页【变式训练】已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它的第四个顶点D的坐标.【解题提示】利用平行四边形的对角线互相平分,由中点坐标公式即得.第29页/共88页【解析】如图，若ABCD1成平行四边形,∵对角线AC、BD1互相平分,∴AC、BD1的中点重合.设D1(x1，y1)，由中点坐标公式有解得第30页/共88页∴点D1的坐标为(-3,0).若ABD2C成平行四边形,则同理可求得点D2的坐标为(1,8).若AD3BC成平行四边形,则同理可求得点D3的坐标为(9,-4).综上所述，点D的坐标为(-3,0)或(1，8)或(9，-4).第31页/共88页

直线的倾斜角与斜率【例2】(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为()(2)直线的倾斜角的范围是()2第32页/共88页【审题指导】(1)关键抓住PQ的中点，求出P、Q的坐标(2)关键抓住直线方程，求出斜率取值范围,从而结合正切函数图象得到倾斜角的取值范围.【自主解答】(1)选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为(2)选B.由得直线斜率∵-1≤cosα≤1，设直线的倾斜角为θ，则结合正切函数在上的图象可知，第33页/共88页【规律方法】1.若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数，一般根据k=tanα求斜率.2.若已知直线上两点(x1,y1)，(x2,y2)(x1≠x2)，一般根据斜率公式求斜率.第34页/共88页3.已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k=tanα的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数k=tanα在上不单调，故一般借助该函数图象来解决此类问题.第35页/共88页【互动探究】若将本例(2)中直线变为:(m∈R且m≠0)，则该直线倾斜角的范围如何？【解析】选A.由得斜率得：或设直线的倾斜角为θ，则或结合正切函数在上的图象可知：或第36页/共88页【变式训练】(2011·长沙模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.【解析】如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)，当m≠0时第37页/共88页解得或当m=0时，直线l方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为第38页/共88页

直线的方程【例3】(2011·厦门模拟)直线l经过点P(3，2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12,求直线l的方程.【审题指导】抓住题目中△AOB的面积与截距有关，从而选直线方程的截距式求解，若关注直线l过定点P(3,2)，可选用直线的点斜式方程求解.3第39页/共88页【自主解答】方法一：设直线l的方程为(a>0,b>0),∴A(a,0),B(0,b),解得∴所求直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0，得直线l在x轴的正半轴上截距令x=0,得直线l在y轴的正半轴上的截距b=2-3k,第40页/共88页解得∴所求直线l的方程为即2x+3y-12=0.第41页/共88页【规律方法】求直线方程的常用方法有：1.直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程.2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程.提醒：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论.第42页/共88页【变式训练】求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l；(2)经过点A(-1,-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为∵l过点(3，2)，∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.第43页/共88页(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α,∵tanα=3，又直线经过点A(-1，-3),因此所求直线方程为即3x+4y+15=0.第44页/共88页【例】直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.(1)当|OA|+|OB|最小时，O为坐标原点，求l的方程；(2)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程.【审题指导】抓住直线l过点P(1,4),设出直线l的点斜式方程.将A、B两点坐标用斜率k表示.进而将|OA|+|OB|、|PA|·|PB|再分别表示为斜率k的函数，然后求其最值.第45页/共88页【规范解答】设直线l的斜率为k.依题意，l的斜率存在，且斜率为负,则y-4=k(x-1)(k<0).令y=0,可得A(0)；令x=0,可得B(0,4-k).第46页/共88页(1)∴当且仅当且k<0,即k=-2时，|OA|+|OB|取最小值.这时l的方程为2x+y-6=0.第47页/共88页(2)|PA|·|PB|=∴当且仅当且k<0即k=-1时，|PA|·|PB|取最小值.这时l的方程为x+y-5=0.第48页/共88页【规律方法】直线方程的综合问题常见的类型及解法：(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决.(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决.第49页/共88页【变式备选】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.第50页/共88页【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令解得∴无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k>0;当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k≥0.第51页/共88页(3)由l的方程，得依题意得解得k>0.“=”成立的条件是k>0且即∴Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.第52页/共88页第53页/共88页

忽略“极端”情况的讨论【典例】(2011·徐州模拟)与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______.【审题指导】解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.第54页/共88页【规范解答】当截距不为0时，设所求直线方程为即x+y-a=0,∵点M(4,3)与所求直线的距离为5,∴∴第55页/共88页∴所求直线方程为当截距为0时，设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0.同理可得∴所求直线方程为即4x+3y=0.综上所述，所求直线方程为答案：第56页/共88页【误区警示】解答本题易忽略截距为0的“极端”情况导致失误，在选用直线方程时常易忽视的“极端”情况有：1.选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;2.选用截距式时，忽视截距为零的情况；3.选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.第57页/共88页【变式训练】求满足下列条件的直线方程；(1)过(1,2)，(2，b)两点；(2)过点P(2,-1)，在x轴和y轴上的截距分别为a,b且满足a=3b.第58页/共88页【解析】(1)当b≠2时，由两点式，得：得：(2-b)x+y+b-4=0,当b=2时，直线方程为y=2.(2)①若a=3b=0，则直线过原点(0,0),此时直线斜率直线方程为x+2y=0.②若a=3b≠0，设直线方程为即由于点P(2,-1)在直线上，所以从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.第59页/共88页第60页/共88页1.(2010·辽宁高考)已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()【解题提示】先求y的导数，并确定其值域即tanα的范围，再结合正切函数在上的图象，求出α的取值范围.第61页/共88页【解析】选D.∵∴y′∈［-1,0),∴tanα∈［-1,0)，又α∈［0，π),故选D.第62页/共88页2.(2011·威海模拟)已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为()【解析】选A.∵l2、l1关于y=-x对称，∴l2的方程为-x＝-2y+3,即y=x+,∴l2的斜率为，故选A.第63页/共88页3.(2011·泉州模拟)已知函数y=a1-x(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线(m＞0,n＞0)上，则m+n的最小值为____________.【解析】∵函数y=a1-x(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，∴A点坐标为(1，1).又∵点A在直线上，∴(m＞0,n＞0)，∴m+n的最小值为4.答案：4第64页/共88页第65页/共88页一、选择题（每小题4分，共20分）1.对于数轴上任意三点A、B、O，在如下的关系中，不恒成立的是()(A)AB=OB-OA(B)AO+OB+BA=0(C)AB=AO+OB(D)AB+AO+BO=0第66页/共88页【解析】选D.A显然成立;B.∵AO+OB+BA=AB+BA=AB-AB=0，成立；C.由公式AC=AB+BC知成立;D.∵AB=AO+OB,∴AB+AO+BO=AO+OB+AO+BO=2AO+OB-OB=2AO,①AO=0时成立,②AO≠0时不成立.第67页/共88页2.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为θ，则该直线关于直线x=m(m∈R)对称的直线的倾斜角β等于()(A)-θ(B)θ-(C)2π-θ(D)π-θ【解析】选D.结合图形可知θ+β=π,故β=π-θ.第68页/共88页3.已知直线l过点(m,1)，(m+1,tanα+1)，则()（A）α一定是直线l的倾斜角（B）α一定不是直线l的倾斜角（C）α不一定是直线l的倾斜角（D）180°-α一定是直线l的倾斜角

【解题提示】判断α是否为直线l的倾斜角，就是看tanα是否等于k且看α的范围是否是［0,π).第69页/共88页【解析】选C.根据题意，直线l的斜率令θ为直线的倾斜角，则一定有θ∈［0,π),且tanθ=k,所以若α∈［0,π),则α是直线l的倾斜角；若α［0,π),则α不是直线l的倾斜角，所以α不一定是直线l的倾斜角.第70页/共88页4.已知直线PQ的斜率为将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是()(A)0(B)(C)(D)【解析】选C.∵PQ的斜率为∴其倾斜角为120°.将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°,故斜率为第71页/共88页5.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈［)∪［π),则k的取值范围是()(A)［-,1)(B)［1)(C)［-,0)(D)［-，0)∪［1)第72页/共88页【解析】选D.∵k=tanα在［)和［π)上都是增函数，∴k∈［1)∪［-,0).第73页/共88页二、填空题(每小题4分，共12分)6.直线3x-2y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k的值是________.【解析】分别令x=0,y=0得直线3x-2y+k=0在y轴,x轴上的截距为解得k=12.答案:12第74页/共88页7.不论m取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点_____.【解题提示】将原方程化为关于参数m的方程f(x,y)m+g(x,y)=0，解得(x,y)即定点.第75页/共88页【解析】已知直线方程可化为(x+2)m-x-y+1=0，解得定点坐标为(-2，3).答案:(-2，3)第76页/共88页8.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)(ab≠0)三点共线，则的值为_____.【解析】根据A(a,0),B(0,b),确定直线的方程为:又C(-2,-2)在该直线上,故答案:第77页/共88页三、解答题(每小题9分，共18分)9.已知实数x,y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求的最值.【解题提示】可利用的几何意义求解.也可利用条件用x表示y，进而将所求转化为求函数的最值.第78页/共88页【解析】方法一：如图，设点P(x,y)，因为x,y满足2x+y=8,且2≤x≤3,所以点P(x,y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2).因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2,kOB=所以的最大值为2，最小值为第79页/共88页方法二：代数解法：由2x+y=8得y=8-2x,故根据单调性可知,当x=2