课线代件另一ch7线性空间

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一、线性空间的概念个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．它在理Ch7线性空间论上具有高度的概括性.一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．定义设V是一个非空集合，R为实数域.在V的元素间定义加法运算，在实数和V的元素间定义数乘运算.若集合V对这两种运算封闭，且两种运算满足以下八条运算规律，那么V

就称为数域R上的线性空间．设对对负说明

线性运算．

1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为

2．若线性空间V中的元素是向量，则V即为第四章一定是通常意义的向量，可以是任何数学对象.中的向量空间．但一般的线性空间中的元素不约定：今后不论线性空间中元素是何形式，一律称为向量，这时线性空间也可称为向量空间.线性空间的判定方法(1)一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实是一个线性空间【例1】实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作数或矩阵间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性【例2】次数不超过n的多项式的全体，记作，对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向即量空间.【解】通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算是线性运算，且构成线性空间.【例3】n次多项式的全体，对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间对运算不封闭.加法与数和函数的数乘，构成实数域上的线性空间．一般地在区间上全体实连续函数，对函数的【例4】正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．(2)一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．【证明】所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：对负所以对所定义的运算构成线性空间．不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法【例5】个有序实数组成的数组的全体对运算封闭.不满足第五条运算规律线性空间.由于所定义的运算不是线性运算，所以不是定义设V是一个线性空间，L是V的一个非空子定理线性空间V的非空子集L

构成子空间的充要L也构成一个线性空间，则称L为V的子空间．集，如果对于V

中所定义的加法和数乘两种运算条件是：L对于V中的线性运算封闭．子空间：【解】(1)不构成子空间.因为对【例6】有的下列子集是否构成子空间？为什么？有于是对任意满足间.二、线性空间的基与维数已知：在中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的．

问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？则称为线性空间V的一个基，

定义

在线性空间V

中,如果存在n个元素满足:(1)线性无关；(2)V中任一元素都可由线性表示．即存在数，使称为在这个基下的坐标．有序数组记作n称为V的维数，并称V为n维线性空间．记作

当一个线性空间V

中存在任意多个线性无关的元例如，所有实系数的x的多项式的全体对多项式加法及数与多项式乘法构成线性空间.素时，就称V

是无限维的．是其一个基.我们只讨论有限维线性空间.线性空间的构造：其中是的一个基.【例7】在线性空间中，是它的一个基.任一不超过4次的多项式可表示为因此p(x)在这个基下的坐标为若取另一组基则因此p(x)在基下的坐标为注意:线性空间V的任一元素在不同的基下所对应的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．【例8】所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数乘，构成实数域

R上的一个线性空间.对于V中的矩阵线性无关而矩阵A在这组基下的坐标为是V的一组基，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．问题：换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？称此公式为基变换公式．三、基变换与坐标变换设和是线性空间的两组基，且

记则基变换公式可写成矩阵P称为由基到基的过渡矩阵．P必可逆.若坐标为则有基变换公式为由元素在基下坐标唯一得坐标变换公式：【