历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

5#4、A、C、5、(C)J4dxJx4、A、C、5、(C)J4dxJxf(x,y)dy；0x2(D)J1dxJxf(x,y)dy.02x设L为O(0,0)到A(4,3)的直线段，则曲线积分J(x-y)ds=(B).L43J4(x-x)dx；04J3(3y-y)dy；函数y=3，y=3+x2，1239B、J4(x一4x)(l+16dx；D、y-y)」1+—dy.16丁3=3+x2+ex是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)(其中f(x)丰0,p(x),q(x),f(x)是连续函数)的三个特解，则方程的通解是(D)A、y=Cx2+C3；B、A、y=Cx2+C3；B、y=Cx2+Cex；C、y=x2+ex+3；13126、下列级数条件收敛的是(A)D、y=Cx2+Cex+3.12A、n=1(—1)n+1、.:nB、(-1)nn(n+1)9n=1C、兰cos1；nn=1D、芳1nn=17、已知函数7、已知函数y=y(x)满足方程xydx二2-x2dy，且y⑴=1,则y(-1)=(A)A、1；BA、1；B、e；C、-1；D、e-1解：分离变量，积分J号解：分离变量，积分J号，y=Ce」2一x2，代入y(1)=1，得C=e，y=e—2一x2，y(-1)=1，选(A).8、A、C、已知幂级数无8、A、C、已知幂级数无axnnn=0在x=-6处级数绝对收敛在x=-4处级数绝对收敛在x=6处发散,则下列结论正确的是(B)B、在x=8处级数发散；D、在x=-6处级数条件收敛.9、方程xy'-y=x2的通解为(BA.y=A.y=Cx；B.y=Cx+x2；C.y=Cx-x2+—x3；D.y=Cx+—x3.22解：方程xy'-解：方程xy'-y=x2化为y'--y=xx，通解为y=eJ；dxxe-J；dxdx+c)=x(x+C).选(B).xy10、设fxy10、设f(x,y)=<x2+y20x2+y2丰0，则以下结论正确的是(D)x2+y2=0解：A、f(0,0)二0解：A、f(0,0)二0,f(0,0)不存在;xyC、f(0,0)，f(0,0)皆不存在;xyB、f(0,0)二0,f(0,0)不存在;yxD、f(0,0)二f(0,0)二0.xyAx-0—0f(0,0)=lim(Ax)2+02xAxT0Ax=0，类似f(0,0)二0，故选(D).y二、填空题(每空3分，共30分)1、设区域D是由x=0,y=0,x+y=a(a>0)围成，二重积分JJdxdy-2，则a=2,解：JJdxdy解：JJdxdy—a2=2,a—2.2、若函数f(x,y)-2x2—ax+xy2+2y在点(1,—1)处取得极值，则常数a-5,解：函数f(x,y)-2x2—ax+xy2+2y在点(1,—1)处取得极值，f(1,—1)-(4x—a+y2)-4—a+1-0，a-5.x1(1,-1)3、函数u=xyz在点(5,1,2)处沿点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数是解：QuIQx1(5」,2)=巩5,1,2)=2'解：QuIQx1(5」,2)=巩5,1,2)=2'QuIQy〔(5,1,2)-xz—10，(5,1,2)QuIQzI(5,1,2)-xy-5，(5,1,2)方向向量AB-(4,3,12)，则AB°-(cosa,cos4312卩,C0S丫)=(13,13,13)，方向导数QuIQnL5’1'2)2■—+10-13丄+5•12131398134、设l取圆周x2+y2-4的负向，则曲线积分J(2xy—2y)dx+(x2—4x)dy-8兀.解：J(2xy—解：J(2xy—2y)dx+(x2—4x)dy-—l一4一(2x一2)]dxdy—2A—8兀lD5、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)=|x211：;1，它的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S⑷-1.(-2[f(0+)+f(2-)]-1)TOC\o"1-5"\h\z5356、若级数2T丄n收敛，则p应满足的范围是p>-.(p——>1np>―)np—1222n=17、设幂级数丄x+—x2+—x3+…+—^xn+…，其收敛半径R=3.1-32-323-33n-3n—

1a(n+1)-3n+1R==liml1a(n+1)-3n+1R==liml=lim=3)Pnsansn*3nn+18、二重积分的值,dxJx2xydy=丄.004解：J1dxJx2xydy=J1xy2xdx=J1x3dx=1.000""9、曲线r:x=t,y=2t，z=3t在其上t=0对应点处切线方程为x=2=310、设L为上半圆周x2+y2=R2(y>0)，则曲线积分JGxy2±1)ds=-x2+y2RL解：J()ds=——J(xy2+1)ds=——x2+y2R2R2LL

三、计算题(每小题6分，共30分)Jds=RLCuCu1、设z=f(2x+3y,xy)，f具有二阶连续偏导数，求亍，—CxCyC2uCxCyCuCu解:C=2f1+yf2，cy=3f1+fC2u硕=2(3f11+xf12)+f+y[3f21+xf22]=6f11+(2x+3y)f12+叽+f2-2、求幂级数艺匕比的收敛域及其和函数5nn=1解：和函数艺gh一.八(x-1)/解：和函数艺gh=丄(5==，收敛域为5n(x-1)6—xn=11—53、求微分方程y"+y'=xex的通解.解：特征方程r2+r=0,r=0,r=—1，对应齐次方程通解y=C+Ce-x1212f〃设特解为y*=(ax+b)ex.y*=(ax+a+b)ex，y*=(ax+2a+b)ex代入原方程有\o"CurrentDocument"1313(2ax+3a+2b)ex=xex，解得a=了b=—才，y*=(㊁x—才0，原方程通解为y=C+Ce-x+(丄x—3)ex.

4、计算二重积分JJsin(x2+y2)dxdy.解：JJsin(x2+y2)dxdy=J2Kd0Jsinp2•pdp=—-2兀•(-cosp2)\0%2兀<x2+y2<2兀四、解下列各题(每小题7分，共14分)1、计算J卜xdydz+ydxdz+zdxdy，其中x是球面x2+y2+z2=a2的外侧.解：利用高斯公式，原式二一Jt-xdydz+ydxdz+zdxdy=丄JJJ3dxdydz=—a3=4兀.a3a3a33xV2、已知曲线积分I=J(my+1-excosy)dx+(exsiny一x)dy,L(1)求常数m，使积分I与路径无关；(2)若L为(x-3)2+y2二4上沿下半圆周从点A(5,0)到点B(1,0)的一段弧，在(1)的条件下计算曲线积分I的值.解:⑴当f-f=exsiny一1-m一exsiny=一—一m=0，即m=-—时，积分1与路径无关.(2)积分I与路径无关，I=J(-y+1-excosy)dx+(exsiny-x)dyL=J(1,0)d(x—xy—excosy)=(x—xy—excosy)(1,0)=e5—e—4.(5,0)(5,0)五、证明题(本题6分)若f(u)为连续可微函数，f(0)=0，证明:lim-JJf(x2+y2若f(u)为连续可微函数，f(0)=0，证明:tT04兀t5Q(t)其中0(t)={(x,y,z)Ix2+y2+z2<t2}解：JJJf(x2+y2+z2)dxdydz=J2Kd0JKd^J\f(r2)r2sinQdr=4兀J丁(r2)r