函数奇偶性的判断专题

1𝜋3𝑥𝑒函奇性判专含1𝜋3𝑥𝑒学校__________班__________姓名__________考号__________下函数中，既0,+上的增函数，又是偶函数的(A.

1𝑥

B.

𝑥

C.1𝑥|

|𝑥|函(𝑥𝑥

的象关)A.轴对称C.坐标原点称

B.轴称直线𝑥轴对称𝑥)sin𝑥−3

𝑥

𝜋3

是)A.最小正周期的函数B.最正周期的奇函数C.最小正周的奇函数最小正周期的偶函数下函数中，既偶函数又存在零点的(A.𝑥

B.𝑥

1

C.cos𝑥

𝑥函𝑥)

𝑥

（其中为然对数的底数）的图象大致()3𝑥−1)A.B.试卷第1页，总页

22函(22

𝑥𝑥22

)⋅ln𝑥|的象可能是(A.B.函(𝑥)

1𝑒1𝑒

𝑥𝑥

𝑥图象大致形状()A.B.试卷第2页，总页

𝑥1𝑥1

函

22𝑥1||𝑥1|

𝑥

R的图象大致是（）A.

B.

设数(A.(𝑥1

11

，则下列函数中为奇函数的(B.𝑥11C.𝑥11

𝑥1110.设数(，下列函数中为奇数的)1A.(𝑥1

B.𝑥11

C.𝑥11

𝑥1111.函

𝑒

𝑥

𝑒

2

𝑥

的图象大致为A.B.试卷第3页，总页

2𝑎2都有1212𝑎2都有1212212.已函数(ln|)，若(2

)，则𝑎取值范围为()A.)

B.−

C.

−)()13.已函数________.

，𝑎𝑎，实数𝑎的取范围为14.定在上奇对意等式的解集是_______.

，若，则不15.函2

𝑎2

是偶函数，则的值为________．16.已函数

是定义在

上的奇函数，当

时，，________.17.已

是奇函数，当

时，，

时，________18.已函数________．19.已函数((2

在上是偶函数，则，不等式)的集为_______.20.已函数(2，若(2𝑎(𝑎________.

)，则𝑎的值范围为试卷第4页，总页

112𝑥112𝑥21.对函数(

sin

sin

，有如下结论：在上奇函数为的一个周期；当时取最大值；(在,)单调递增．其中所有正确结论的序号_22.已函数(ln1

𝑒

|𝑥|

，若)，则取值范围是_______.23.关函数的性质，有如下说法：①若的定义域，一是偶函数；②已是义域内的增函数，，

是减函数；③若(是义域为的函，则函(图像关于对；④已偶函在上单调递增，则满

的的值范3围是

,．33其中正确说法的序号________．24.若数(同满足：对定义域上的任，(−；对定义域上的任意

,

，当𝑥

时，恒有

(

2

，称函数为理函数．给出下列四个函数中①)；②)；

；)

,,能被称为理函数”的有请填上所有符合条件的相应序)．25.用义法证明函(

是−上的增函数；证：函()26.已函数

，．

是偶函数．（），求的值；试卷第5页，总页

𝑥1𝑥1（）断函数

的奇偶性，并证明你的结论．27.已实数

，判断函数

的奇偶性，并说明理.28.设

2

𝑥

1𝑏

(为常)．当𝑏1，证明：既是奇函数也不是偶函.若𝑓(是奇函数，𝑏的值29.已函log𝑎

(1

log(1𝑎，且𝑎．𝑎写函的定义域，判奇性，并证明；当𝑎时解关于的不等.30.已知

2𝑥

11

，(2

．求:为函数；判函(在1,的调性，并证明；当时，(，求实的值范围．31.已对一切非零实，均足𝑥(𝑦．求1，1的值；判函(的偶性；若数在上递增，试解不等2)(

．232.已函

2

𝑎𝑥2试卷第6页，总页

𝑚+𝑛𝑚𝑛若数在间上单调递增，的值𝑚+𝑛𝑚𝑛试断函的奇偶性．33.已知

是奇函数（为然数的底数𝑥求数的值；求数

在+）上的值域；令(，不等log的集．34.已函

.判函(的偶性；证：函在区）单调递增；令(2)(（其R函数的域．35.已函的定义域为，任实数，(，有()𝑦).判(的偶性，并证明；若

，，，𝑛，，的；𝑚𝑛𝑚𝑛若为常数，函(lg(

是函数，验证函(满足题中的条件．试卷第7页，总页

1参答与题析1函奇性判专含案一选题本共12小，题3分，计36）【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可．【解答】解：.函在上减函数，且是奇函数，不合题意；𝑥.函数

𝑥

是非奇非偶函数，即符合题意；.数−|𝑥|在上是减函数，不符合题意；.对函，当𝑥，有lg𝑥单调递增；(𝑥lg𝑥|lg𝑥|(𝑥，以𝑥)是偶函数，正确．故选．【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】利用函数的奇偶性判断函数图象的特征．【解答】解：函数的定义域为𝑥|𝑥R𝑥𝑥)

𝑥

，𝑥)𝑥)所以函数为偶函数，函数的图象关轴称．故选．【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的周期性及其求法函数奇偶性的判断【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，判断函数的奇偶性即可．【解答】试卷第8页，总页

1𝜋𝜋𝜋−𝑥𝑥𝑥2𝑒+122解：sin2321𝜋𝜋𝜋−𝑥𝑥𝑥2𝑒+122

𝜋3

sin−2．33函数的最小正周𝜋，奇数．故选．【答案】C【考点】函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对，ln的义域，函数不是偶函数；对于，由

2

1，函

2

没零点，不满足条件；对于，cos，函cos是函数且函数存在零点，满足条.对于，(sin，即函为函.故选.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】由函数为偶函数，排；时，，此得到答案．【解答】解：

𝑒−𝑥

−1)

𝑒3(1𝑒𝑥)

𝑒3𝑥−1)

，故函数为函数，其图象关对称，故排，；由题意可得1)

𝑒+1𝑒−1

，()

𝑒

⋅𝑒−1

𝑒𝑒+12

，又

𝑒𝑒+12

1，∴𝑓(1)，排除．故选.【答案】A试卷第9页，总页

22【考点】22函数的图象函数奇偶性的判断【解析】由题意，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，再代入某一点进行验证，进而即可得到答案【解答】解：设sin

22

lncosln，因为ln|cosln，所以函为偶函数，排除选项，又，除选项，因为cos⋅ln，coscos所以cos，

32

，而ln

2

2，所以，此时cosln，即，除选项.故选.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据函数奇偶性的概念可判断为函数，排除选和，对比剩下选项，只需考虑时，与的小关系即可作出选择．【解答】解：⋅

−𝑥−𝑥

⋅cos

𝑥𝑥

，为函数，故选排.当时

，𝑥，，选排除故选.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断试卷第10页，总31页

−𝑥𝑥22𝑥−𝑥−12函数的图象−𝑥𝑥22𝑥−𝑥−12【解析】判断函数的奇偶性和对称性，结合函数的极限思想进行排除即可．【解答】解：

2=−

𝑥−𝑥𝑥1||𝑥−1|

，则函数是函数，图象关于原点对称，排，；当1时

𝑥−𝑥𝑥1𝑥

2

2

，当，除.故选.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知

1−𝑥211

，(向平移个位，向上平移一个单位即得到

2

为奇函数故选．10.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】先判断关于哪个点成中心对称，然后根据平移的性质求解即.【解答】解：

2

关于中对称，将函数向平移个单位，再向上平个单位，得到函1为函.故选.11.【答案】B【考点】试卷第11页，总31页

𝑒𝑒−𝑥𝑎𝑎函数奇偶性的判𝑒𝑒−𝑥𝑎𝑎函数的图象奇偶函数图象的对称性【解析】本题考察利用函数的性质判断函数图像【解答】解：依题意，定域，

−𝑥𝑥2

𝑒

𝑒2

𝑥

，为函数，关原点对称，错.𝑒

𝑒

,，错误.故选.12.【答案】A【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质【解析】无【解答】解：因(为上偶函数，且[上调递增，所以由2可得2

)(3，，解得𝑎．故选．二填题本共12小，题3分，计36）13.【答案】𝑎【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：

，函数(是函数，且函数在上调递增试卷第12页，总31页

1212)121212由题意知12121212)121212由题意知1212，.故答案为：.14.【答案】 【考点】不等式函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：令，))

，则

1212.

，

)，即(在上减数是定义在上减函数，且，时，.是定义在上奇函数，，为义在上奇函数，时，的集为 .故答案为： .15.【答案】【考点】函数奇偶性的判断【解析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：

⋅

是偶函数，，即

⋅⋅2

，则

，即，故答案为：.16.【答案】试卷第13页，总31页

【考点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】根据奇偶性，先计算1，计(【解答】因为(是定义在上奇函数，所以())因为当时(

所以())(2)故答案17.【答案】【考点】函数奇偶性的判断函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质【解析】当时，时)，奇函数的定义)，代入可得答案．【解答】解：当时，函数的定义(()又：当时(2(−)2综上所时，(故答案为：(2+18.【答案】【考点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性列方程解得结果加因为函数(

)𝑥在上偶函数，所以故答案为：【解答】此题暂无解答19.【答案】)试卷第14页，总31页

3【考点】3利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合【解析】先判定函数是偶函数，再判定时，单调递增，即可解决．【解答】解：因(2

定域，故

)，故函数是偶函数，又因为

′

)

−2

(2

+2

，当时

′

，故上调递增，又因为1)，故)3化1，即，解，故原不等式的解集为.故答案为：.20.【答案】−3,1)【考点】函数单调性的性质利用导数研究函数的单调性其他不等式的解法函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：由题意，得sin((sin，则函数为奇函.又

′

)cos，′

在恒成立，是在上增函.由2)

)，得2)(𝑎

)即2)

，则，解得3，即的取值范围.故答案为：.21.试卷第15页，总31页

113113【考点】命题的真假判断与应用函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】结合函数的性质中周期的定义及复合函数单调性原则，函数极值存在条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为−

sin

)，即(为函数，故正；因𝑥sin

=2

sin

，即不为(的期，故错误；因在单递，,

上单调递减，又

𝑡

𝑡

在上调增，根据复合函数的单调性可知，在,)单递增，在,)单递减，故时(取最大值；(在间,上调递增正．故答案为：．22.【答案】−)(2,【考点】函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：易(的义域为，−)，故是偶函数，当时易(是函数，所以()4等于，解得或．故答案为：−(2,．23.【答案】①③④【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数奇偶性的性质试卷第16页，总31页

，得𝑥，，得𝑥，【解析】①由，可判断出奇偶性；②不确，例在(上具有单调性；③由是义域为的函数，可得，因此，得数的象关于点对称，即可判断真假；④由函在区上单调递增，则满

，得3

，解出即可判断出真假．3【解答】解：若的义域，则足，所以一定是偶函数，①正确；②已是义域内的增函数，，则

是减函数，此说法错误，例如在上具有单调性；③若(是义域为的函，，所以，则函数的像关于对，③确；④已偶函在上单调递增，由

3解得，33所以的值范围是,，正确．33综上，正确说法的序号有③④．故答案为：③．24.【答案】④【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间复合函数的单调性【解析】先理解已知两条性质反映的函数性质①为函数，为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即.【解答】解：依题意，性①反函为义域上的奇函数；性质反函为义域上的单调减函.)为义域上的奇数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为−，，排①试卷第17页，总31页

2𝑥12111121121222)为定义域上的偶函数，排②2𝑥12111121121222)

2𝑥

11

1

2𝑥1

，定义域为，由于2

1上增函数，故函数R上增函数，排除；,){的图象如图：,显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，满足题.故答案为：．三解题本共11小，题10分，共计110分）25.【答案】证明：任取，

，令12

，则𝑥

2

1

1

2

21

2

21

1

12

𝑥1

[12

1

1

11

2

]．因为，所以，，所以1

1

1

2

，所以𝑥

2

[1

1

1

1

2

，则)，即𝑥(𝑥．故上增函数．由知(的定义域R，于原点对称．当时，则(𝑥𝑥

𝑥

2

(；当时，则(𝑥𝑥

𝑥

2

(，故(是函数．试卷第18页，总31页

2221122222221122222222函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】【解答】证明：任取，

−，2

，则𝑥

(𝑥2

22

𝑥2

[1

12

]．因为，所以，，所以

12

，所以𝑥

2

[1

12

，则)即𝑥(𝑥．故上的增函数．由知(的定义域R，于原点对称．当时，则()−)

−

2

(；当时，则()−)

−2(，故(是函数．26.【答案】（）；（）函数，明见解析．【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（）入(，解方程；（）先判断数的奇偶性，再利用定义判−与(的系，证明奇偶性【解答】（）为(，所og2

试卷第19页，总31页

𝑎11𝑥𝑥𝑥11即，𝑎𝑎11𝑥𝑥𝑥11𝑎1（）数(为函数；解得函(的义域为1)1,𝑧)因为(𝑥log

log

log

11

log得𝑥，所以函为奇函数．27.【答案】【答𝑎时(为函数；𝑎时，为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论𝑎1𝑎时利用定义判断．【解答】由题可

4

𝑎当𝑎时，，即的义域，关于原点对称，(𝑥

𝑥𝑥

11

1212

𝑥𝑥

为函数，当𝑎时，的义域不关于原点对称，(为非奇非偶函数．28.【答案】(1)证：1时 

.

关于原点对称，

𝑥

11𝑥

， ，既是奇函数也不是偶函.解是奇函数，对定义域内的任意实数恒立又

𝑥1

𝑥

11𝑥

,

𝑥𝑥𝑥

，解得.【考点】试卷第20页，总31页

𝑥−𝑥𝑥，−𝑥𝑥𝑥𝑥函数奇偶性的性质𝑥−𝑥𝑥，−𝑥𝑥𝑥𝑥函数奇偶性的判断【解析】（）接根据数是奇函数，满，把，和代，即可得到关于，的个等式，解方程组求，的．（）用减函的定义即可证明．【解答】证：时

𝑥1

. 关于原点对称，

2−𝑥1𝑥2 ，既是奇函数也不是偶函.解是奇函数，对义域内的任意实恒立.又

2−𝑥1

2𝑥2

,

2𝑥2

𝑥1

，解得.29.【答案】解：由设可得解得，函定域，从而：定域为关原点对称，且loglogloglog−，故为奇函数．由设可oglog即oglog，，log为上减函数，，得，故不等的集.【考点】函数奇偶性的判断函数的定义域及其求法对数函数的单调性与特殊点其他不等式的解法试卷第21页，总31页

𝑥，𝑥−𝑥𝑥2112211221𝑥，𝑥−𝑥𝑥2112211221（）题设可{

，解得，可写出的义域，利用奇函数的定义判(奇性当时不等，化为，即可得出结论．【解答】解：由设可得解得，函定域，从而：定域为关原点对称，且loglogloglog，故为奇函数．由设可oglog−，即og+𝑥)log，，log为上减函数，，得，故不等的集.30.【答案】证：由题意知，，可知(的定义域关于原点对称，(

𝑥

𝑥又

−𝑥−𝑥

𝑥𝑥

，𝑥所以函(为函数证：由题意知1,+，(log令，则，

，(𝑥

(𝑥

)

)𝑥)

．当时𝑔(在上减函数解令((，由知，(在为减函数，故(在为函数，当时()(恒成立，只需得(即可，最大值即(最大值

(

，试卷第22页，总31页

33𝑥2−𝑥2𝑥22211221122133即，33𝑥2−𝑥2𝑥222112211221332所以．2【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】证：由题意知𝑥

，得，可知(𝑥的义域关于原点对称，(𝑥

2𝑥

2𝑥

，又𝑥)

2−𝑥

𝑥−𝑥𝑥(2

2−2𝑥

𝑥)，所以函(𝑥为奇函数证：由题意知𝑥∈，(𝑥𝑥)2令𝑥𝑥，则𝑥𝑥，

2𝑥

，(𝑥2

(𝑥

2)𝑥𝑥2

2𝑥

2𝑥

𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑥𝑥𝑥𝑥)

．当时𝑔(𝑥在上为减函数解令(𝑥(𝑥，由知，(𝑥在为减函数，故(𝑥在为函数，当时ℎ(𝑥𝑥恒成立，只需(𝑥即，最大值即(𝑥最大值

(

2

，即，2所以．231.【答案】解：令，则(1)1)(1，可得().令，，可得()．令，则(𝑥．试卷第23页，总31页

，−)，函数为函数．(1)，函数(在上是增函数，

或，

或，不式的解集

(,．【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则(1)1)(1，可得().令，())，可得()．令，则()．，−)，函数为函数．(1)，函数(在上是增函数，

或，

或，不式的解集32.【答案】

(,．解：)

𝑥的称轴为直线

，且抛物线开口向上，函数的调递增区间(

,，又函(在间上调递增，试卷第24页，总31页

𝑎𝑎(𝑎𝑎

𝑎

,，即，解得𝑎，的值范围.易函(的义域为，于原点对称．()−

𝑎，当𝑎时)

𝑎−

，此时函为偶函数；当𝑎时−

𝑎−

𝑎，此时函为非奇非偶函数【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：)

𝑎𝑥对称轴为直

𝑎

，且抛物线开口向上，函数的调递增区间(

𝑎

,，又函(在间上调递增，(

𝑎

,，即，解得𝑎，的值范围.易函(的义域为，于原点对称．()−

𝑎，当𝑎时−

𝑎−

，此时函为偶函数；当𝑎时−

𝑎−

𝑎，此时函为非奇非偶函数33.【答案】解：函的定义域为，因为(为奇函数，由可知，0)，所以𝑎，所以𝑎当𝑎时()

试卷第25页，总31页

11121211𝑥+𝑥11111121211𝑥+𝑥111

𝑥

1𝑥

，此时(𝑥为函数．令𝑥

1𝑥

(𝑡)，所以

𝑥

12𝑥

，所以(𝑡)

𝑡对称，①当时，求值域[；②当时，所求值域定义域为R，

,.因为(𝑥

𝑥

1𝑥

为奇函数，所以(𝑥−𝑥−𝑥𝑥𝑥=(𝑥，所以(𝑥𝑥为奇函数，下面判𝑥)的单调性，设𝑥

，则𝑥)𝑥

𝑥𝑥

11𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑥

𝑥

)(1

1𝑥+𝑥

𝑥𝑥1

，因为𝑥𝑥

，故

𝑥𝑥

)(1，𝑥，112所以𝑥𝑥，故(𝑥)在上调递增，所以由log𝑥)𝑥得log𝑥)log𝑥−.又为奇函数，log𝑥)𝑥，所以𝑥log𝑥，所以og𝑥log𝑥，解得𝑥𝑥，8故原不等式的解集为

．8【考点】函数奇偶性的性质函数的值域及其求法函数奇偶性的判断其他不等式的解法函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函的定义域为，因为(𝑥为函数，由𝑥𝑥可，0)，试卷第26页，总31页

1𝑥+𝑥所以，所以.当时1𝑥+𝑥()

𝑥

此时(为奇函数．令

𝑥

(𝑡)，所以

2𝑥

，所以(𝑡)

𝑡对称，①当时，求值域[；②当时，所求值域的定义域为，

,.因为(

𝑥

为奇函数，所以(()−((，所以((为函数，下面判的调性，设

，则

𝑥)

12

𝑥1𝑥

2

12+

𝑥

+𝑥

2

，因为

，故

1

2

12

，，所以)，故在上调递增，所以由log，得(loglog.又为函数，loglog，所以oglog，所以oglog，解得或，8故原不等式的解集为．834.【答案】解函(的义域为,由

，可知函(为函数证：，(𝑥

𝑥

2

2

𝑒

1

1

21

21试卷第27页，总31页

21𝑥𝑥𝑥+𝑥，𝑥𝑥𝑥122222221𝑥𝑥𝑥+𝑥，𝑥𝑥𝑥1222222112121𝑥2𝑥1

𝑥1𝑥2𝑥𝑥2

𝑥

𝑥

1(1𝑥𝑥2211−1)𝑥+2𝑥𝑥，21𝑥21，12𝑥，𝑥21

1，

𝑥𝑥

，故函数𝑥在间上调递增．解由2

2𝑥

𝑥

𝑒

𝑥

𝑥

2

2𝑥

2

，有(𝑥(𝑥

2(𝑥,由()可知，函数(𝑥在间上值域2,又由函(𝑥为偶函数，可知函(𝑥在R上值域2,令𝑥，可得[2,，有(𝑥𝑡

2

2，令𝑡

2

2𝑡[2,，𝑡)𝑡)

2

2

,①当时，ℎ(2)2，min此时函的域2;②当时，()(，min此时函(𝑡的域2,，因为函(𝑥和函的域相同，故可得，当时函数(𝑥的域[2；当时函数(𝑥的域[【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的值域及其求法【解析】无无无【解答】解函(𝑥的定义域为,

2

2,．由𝑥

𝑥

𝑥

𝑥，可知函(𝑥为偶函数证：