《质量改进与质量管理》第二章 统计方法

24三月2023《质量管理学》－第二章1第二章统计方法

一、基本概念二、统计方法24三月2023《质量管理学》－第二章2

一、基本概念

质量特性

:产品所具有的满足用户需要的自然属性。2.数据的分类3.抽样术语4.几个重要的统计特性值24三月2023《质量管理学》－第二章31.质量特性（1）质量特性的定义：根据ISO9000，对质量特性的定义是：“产品、过程或体系与要求有关的固有特性。”或者是“产品所具有的满足用户需要的自然属性”。

a、“固有”的就是指在某事或某物中本来就有的，尤其是那种永久性的特性；

b、赋予产品、过程或体系的特征(如：产品的价格、产品的所有者等)不是他们的质量特性。24三月2023《质量管理学》－第二章4（2）质量特性参数：定量表示的质量特性，通常称之为质量特性参数，或质量实用性参数。在质量形成全过程的各个环节，应从保证使用质量的要求出发，提出定量的要求，以便明确质量责任，确保产品的使用质量。24三月2023《质量管理学》－第二章5（3）实际质量特性与代用质量特性实际质量特性是用户所要求使用的质量特性。但有时企业为了便于生产，往往将其转化为生产中用以衡量产品的标准或规格。由产品标准所反映质量特性称为代用质量特征。由于人们的认识水平与科技水平的制约，再加上用户需求的复杂性与易变性，企业所制定的质量标准与实际使用质量要求之间一定存在着既相互适应又相互矛盾的地方，企业必须适时地对其制定的标准进行修改。24三月2023《质量管理学》－第二章6（4）产品质量的形成过程产品质量有一个产生、形成、实现、使用和衰亡的过程。对于质量的形成过程，质量专家称之为“质量螺旋”，意思是指产品质量从市场调查研究开始到形成、实现后直至交付使用，在使用中又会产生新的想法，构成新的动力再开始新的质量过程。因此，产品质量水平呈螺旋式上升的趋势。24三月2023《质量管理学》－第二章7a、朱兰质量螺旋曲线24三月2023《质量管理学》－第二章8b、质量环质量形成的另一种表达方式是“质量环”。质量环包括12个环节这种质量环不是简单的重复循环，它与质量螺旋有相同意义。产品寿命周期①②③④⑤⑥⑧⑦⑨⑩111224三月2023《质量管理学》－第二章9说明营销与市场调研；产品设计与研发；过程策划与开发；采购；生产或服务提供；验证；包装与储存；销售与分发；安装与投入运营；技术支持与服务；售后服务；使用寿命结束时的处置与再生利用。24三月2023《质量管理学》－第二章10（5）质量特性的分类：简单地说，质量特性就是我们要考察的产品的适用性要素,各种产品由于要求不同,质量特性可能有一个或几个，如电冰箱，其质量特性有保鲜时间、容量、耗电量及外观等，根据产品的特性，质量特性可分为以下几类：①结构性的，如长度、频率等；②官能性的，如味道、外观；③时间性的，如可靠性、可维修性等；④商业性的，如保修期等；⑤道德性的，如服务行业的礼貌、诚实等。24三月2023《质量管理学》－第二章112、数据的分类

计量型(MeasurementorVariableData):凡可连续取值的数据称为计量型数据，如长度、容积、重量、温度等等。(多属正态分布或近似正态分布）计数型(AttributesorCountableData)：不能连续取值的数据称为计数型数据，如废品件数、不合格品数、疵点数等。(多属二项分布或泊松分布)24三月2023《质量管理学》－第二章123、几个有关抽样的术语（1）Population（总体）：是指研究对象的全体，一般以“N”来表示，如一批待检产品。总体又可以分为有限总体与无限总体两类。有限总体：总体中含有限可列个产品，如螺钉、钢板等。

无限总体：总体中含有的产品无法数清，如液体、气体、粉末产品等。24三月2023《质量管理学》－第二章13(1)Sample(子样):亦称样本,即以随机方式从总体中抽出来的一部分产品,以n表示。(2)Stochastic(Random)Sampling(随机抽样)：使总体中的每个产品以相同概率被抽取的抽样方式。从理论上理解随机抽样是比较容易的，但实际上做起来却并不容易。下面是几种常用的随机抽样方法，这些方法只具有相对的随机性，而不具备完全随机性。

24三月2023《质量管理学》－第二章14a、单纯随机抽样(SimpleSampling):先将抽样的对象（如产品）按顺序编号，然后用抽签法或随机数表决定抽样的先后次序。b、机械随机抽样（MechanicalSampling）：按照固定的(时间)间隔（如每隔十分钟）或按照固定的产品(空间)间隔（如每隔20个产品）抽取一个产品。24三月2023《质量管理学》－第二章15c、整群随机抽样(ProportionalSampling)：该种方法不是每次抽取单个产品，而是按一定的时间间隔，抽取一定比例的产品(例如每隔20小时抽取5%的产品等等)，将这些产品作为一个样本看待，样本的质量特性即为该群产品的质量特性值的平均值。由于机器性能的波动，原材料的差异等原因，质量的分布是不均匀的，因此，该种抽样方法的误差相对来说比较大。但操作较为方便。24三月2023《质量管理学》－第二章16d、分层随机抽样(ClassifiedSampling)在抽样以前，先按产品加工的设备、操作者或其他情况将所有待检产品分成几组，然后按比例从各组中抽取样品，将这些样品放在一起组成一个样本，这种随机抽样的方式可使样本具有较好的代表性。以上四种抽样方法都不是完全的随机抽样方法，与完全随机抽样相比，都存在误差。24三月2023《质量管理学》－第二章174、几个重要的统计特征值

数学期望：E(X)=μ数据的概率平均值方差：D(X)＝σ2其开方表示数据的离散程度

;下面是几个用来估计总体数学期望E(X)和方差D(X)的统计特征值：

24三月2023《质量管理学》－第二章18(1)子样的平均值

（AverageofSample）

上面用来估计总体的平均值（数学期望）μ

=(x1+x2+……+xn)/n24三月2023《质量管理学》－第二章19将样本按大小顺序排列，取中间位置的数为中位数，记为。当样本数据个数为奇数时，处于正中位置的那个数即为中位数，当样本数据个数为偶数时，取处于正中位置的那两个数的平均值为。（2）样本的中位值（MedianofSample）

24三月2023《质量管理学》－第二章20两个例子例1、1.2，1.1，1.4，1.5，1.3；1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.3,例2、1.0,1.1,1.4,1.2,1.1,.0,1.2,1.3中位数的作用：在抽样中，常用来估计总体的μ，虽然精度差些，但因其方便，所以在生产现场用得较多。24三月2023《质量管理学》－第二章21（3）样本的方差

(VarianceofSample)

无偏估计（UnbiasedEstimation）极大似然估计（MaximumLikelihoodEstimation）24三月2023《质量管理学》－第二章22第二个表达式不是无偏估计，因：上述二个表达式代表样本的方差，它们都可用来估计总体的方差σ2，当样本量比较小时,上述二个表达式得出的结果的差别可能比较大，但实践证明当样本量n>30时,上述二个表达式求出的结果的差异是很小的.24三月2023《质量管理学》－第二章23（4）极差（Range）以R表示

设样本为，则R表示数据的分散程度,通过一定的变换，可以用来估计总体的σ

24三月2023《质量管理学》－第二章24（5）变异系数

随机变量的量纲不同时标准差之间的比较，如称中药其单位为“克”，称大米的单位为“千克”，度量布匹的单位是“米”等。24三月2023《质量管理学》－第二章25

二、统计方法（StatisticalMethods）在本章主要介绍以下几种方法：排列图(ParetoDiagram)因果分析图(Cause-and-EffectDiagram)分层法(ClassifiedMethod)统计表分析(statisticaltable)直方图(Histogram)相关和回归分析(RelatedandRegressiveAnalysis)控制图法(第三章介绍)24三月2023《质量管理学》－第二章261、排列图（ParetoDiagram）意大利经济学家Pareto和Lorenz在研究社会财富与人口的关系时，发现社会财富与人口的多少不是成正比关系而是近似对数关系，原因是在社会财富的分配中，少数富有者占有了社会财富的大部分，而多数人只占有其中的小部分，形成所谓“关键的少数，次要的多数。”美国的J.M.Juran将其引进QC中用以寻找关键因素。24三月2023《质量管理学》－第二章27作图步骤1.

收集数据；2.

将数据分层整理；3.

计算各项目的频率、累计频率；4.

画出两个纵坐标和一个横坐标；5.

依次在横坐标上画出直方块；6.

找出各项目的累计百分点，并从原点开始连接各点，画出帕累托曲线。24三月2023《质量管理学》－第二章28应用

分析项目主要缺陷；分析造成不合格品的主要工序原因；

分析产生不合格品的关键工序；

分析各种不合格品的主次地位；

分析经济损失的主次因素；

用于对比采用措施前后的效果等。24三月2023《质量管理学》－第二章29排列图例频数累计频率A类B类C类100%0ⅠⅡⅢⅣ24三月2023《质量管理学》－第二章30图例说明A类因素：累计频率在80%左右的因素——主要因素B类因素：累计频率在80%~90%的因素——次要因素C类因素：累计频率在90%~100%的因素——一般因素24三月2023《质量管理学》－第二章31例：某厂车床加工曲轴主轴颈的不合格品统计如表：

原因数量频率%累计频率%Ⅰ轴颈刀痕153件71.871.8Ⅱ开档大29件13.685.4Ⅲ轴颈小25件11.897.2

Ⅳ弯曲6件2.8总计213件100100

24三月2023《质量管理学》－第二章32图例频数累计频率85.471.897.2ABC100%213

0ⅠⅡⅢⅣ24三月2023《质量管理学》－第二章33注意:

①一般情况下，主要原因的数量不宜过多，一般不超过3个以免分散注意力。②左侧纵坐标可以是金额、件数、时间等,选择的依据是,不良品件数要与价值成正比,亦即要把造成损失大的项目放在前面。③有时能找出很多影响产品质量的因素，这时可将那些相对不重要的因素归并成一类，标以“其他”类。④通过画排列图，找出主要因素，解决以后，必然能将质量提高一大步，而后循此方法,最终能使质量达到十分完美的境界。24三月2023《质量管理学》－第二章342、因果分析图（Cause-and-EffectDiagram）

（1）来源：日本质量专家石川馨。（2）特点：以结果为特性，以原因为因素，用箭头联系起来，表示因果关系。（3）作图步骤:Step1明确问题的结果(特性)，绘出主干线和鱼刺图；Step2明确4M1E因素，并绘出分支线；Step3

分析、寻找影响质量的中原因、小原因等，并绘出分支线；Step4找出影响质量的关键因素。24三月2023《质量管理学》－第二章35因果分析图示例

ExtrudedQuality导出质量结果MaterialMachineManEnvironmentMethods中原因小原因24三月2023《质量管理学》－第二章36说明实施方法：通过对生产现场人员(工人、技术员等)收集到的信息，按左面分类，同时必须将这些原因细化到可采取措施的程度。国内有人将因果图与排列图结合起来用，成为因果排列概率图，可用定量方法来解决因素重要性的顺序。

24三月2023《质量管理学》－第二章37例某复印机的复印质量未达到预定的标准，希望通过因果图找出复印机复印不清楚的原因，以便采取针对性措施加以解决。解：1、画出自左向右的大箭头。2、找出可能的原因种类（中箭头）。3、在每类原因中细分深层原因，…

，逐类细分，并用长短不一，粗细各异的箭头来表示。24三月2023《质量管理学》－第二章38例解：复印不清楚因果分析图复印纸药液原稿环境复印法操作人员使用时间感光度保管时间保管方法纸质量新旧度保管时间液量污染书写强弱清晰度颜色深浅稿纸质量强度卷曲度透明度手不洁房间不洁干燥时间精神不集中压稿方法交错量操作速度灯泡亮度水平灯泡不洁复印机滚筒转动不灵活24三月2023《质量管理学》－第二章393、分层法(ClassifiedMethod)质量管理中的数据分层,就是将数据按照其使用的目的、性质、来源和影响等因素等进行分类,如把性质相同、在同一生产条件下收集到的质量特性数据归并在一起。它经常与其它的方法一起使用。分层的目的是为有利于查找产生质量问题的原因。在分层时要注意：数据分层与收集数据的目的要紧密相联。目的不同分层的方法与粗细程度也会不同。分层要合理，要按不同的层次进行组合分层，以便使问题暴露的更清楚。24三月2023《质量管理学》－第二章40质量特性数据常用的几类分层方法按不同的时间分，如按班次；按操作人员分，如按人员的不同级别；按使用设备分，如不同的机器型号；按操作方法分,如按切削用量、温度、压力；按原材料分,如供料单位、进料时间、批次等;其他分层，如检验手段、使用条件、气候条件等。24三月2023《质量管理学》－第二章414、统计表分析(statisticaltable)统计分析表也叫调查表，是用于收集数据的规范化表格。即把产品可能出现的情况及其分类预先列成统计调查表，侧检查产品时只需要在相应的分类中进行统计，并从调查表中进行粗略的整理和简单的原因分析，为下一步的统计分析与判断质量状况创造良好的条件，在设计统计调查表时要注意便于人工记录,把文字部分尽量列入统计表中,统计者只需简单的描点和打勾，以不影响操作为宜。24三月2023《质量管理学》－第二章42例不良品项目调查表交验数合格数不良品不良品类型废品数次品数返修品废品类型次品类型返修品类型不良品率％项目数量日期年月日24三月2023《质量管理学》－第二章43例：某瓷厂的瓷检报告表品号送检总数合格品合格率瓷件损失原因分析废品数榨泥成型上釉装出窑烧窑铁点杂质开裂尺寸不合变形釉损碰损釉损表面缺陷碰损炸裂起泡生烧报告日期

年

月

日24三月2023《质量管理学》－第二章44缺陷位置（区位）调查表很多产品中都会存在“疵点”、“外伤”、“脏污”这类外观缺陷，一般采用缺陷位置调查表比较好。此种调查表多是画成产品示意图或展示图。每当发生缺陷时，将其发生的位置标记在图上。例如，电视机显示管屏幕检测就是以屏幕中心画圆来划分不同区域的。24三月2023《质量管理学》－第二章45图示A区B区×××××缺陷符号：o为气泡，×为污点；检查员:

.品种:

.

序号:

.A：

.B：

.日期：

.

24三月2023《质量管理学》－第二章465、直方图（Histogram）(1)概念；(2)作法（a）收集数据；（b）确定组数K；（c）确定组距h；（d）确定组界值；（e）计算组中值；（f）统计频数；（g）列出频数分布表；（h）计算平均值及标准偏差；（i）绘直方图与分布密度正态曲线（拟合）。……….24三月2023《质量管理学》－第二章47（3）作用整理质量特性数据，从中找出其分布规律，预测工序能力，估计产品的不合格品率。例：

a、收集数据：至少取100个左右（为计算方便，一般将数据简化，这里取尾数），找出其中的最大值La和最小值Sm。

下面表格中的数据为螺栓尺寸实测值。24三月2023《质量管理学》－第二章482230352218222519287.9251930302526312315287.9223122243030292723187.9293527252925232222207.9202720382022222024187.9301825302329232728257.9231525352625272526307.9252222303024272525307.9183818282530272513257.9302522292030232518307.93824三月2023《质量管理学》－第二章49b、数据分组

分组原则有：1、经验分组法，参考下表，本例取K＝9；2、使用Sturges经验公式:数据量（n）适当的分组数（k）<505~750~1006~10100~2507~12250以上10~2524三月2023《质量管理学》－第二章50c、计算组距步骤a中找出的最大值为7.938，最小值为7.913

注：h最好为奇数(其优点以后可见)

,24三月2023《质量管理学》－第二章51d、计算第一组的上下限计算公式为:

本例：24三月2023《质量管理学》－第二章52d’、计算其他各组的上下限

第二组的下限=第一组的上限第二组的上限=第二组的下限+h……

24三月2023《质量管理学》－第二章53e、计算各组的中心值xi

计算公式为：

………………计算每一个分组内数字出现的频数fi。24三月2023《质量管理学》－第二章54f、

频数表

10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145组距∑987654321组号频数fi24三月2023《质量管理学》－第二章55零件尺寸频数（件）252015105g、直方图为了作图方便，将横坐标数据做变换：Xi=(组的上下限－7.9)×100001316192225283134375024三月2023《质量管理学》－第二章56h、计算简化中心值ui

计算过程如下：将频数fi最大的一栏的中心值记为a(取其他中心值为a亦可，但取频数最大的一栏的中心值为a可简化计算)计算ui的公式如下：

例：第一组的简化中心值

24三月2023《质量管理学》－第二章57i、计算fiui

和fiui2将所计算出的数据填入表中相应的位置，就得到了下面表格的内容：24三月2023《质量管理学》－第二章5830086416279603017170018-1864-3218-632-8fiui2fiui043210-1-2-3-4ui10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145组距∑987654321组号频数fi24三月2023《质量管理学》－第二章59j、计算结合本例数据有下面的计算值24三月2023《质量管理学》－第二章60k、计算标准差s24三月2023《质量管理学》－第二章61直方图与相对应的正态分布曲线为了作图方便，将横坐标数据做变换：Xi=(组的上下限－7.9)×1000零件尺寸频数（件）252015105n=100=7.92545S=0.00519M=7.925=|7.925-7.92524|=0.00024013161922252831343750ε24三月2023《质量管理学》－第二章62(3)直方图的分析a对称型symmetrya、正常b折齿型Sawb、不正常b可能是由于测量方法或读数的问题或是分组不当

24三月2023《质量管理学》－第二章63c、c、左、右陡壁型deviation不正常;双侧公差，全数检验，剔除不合格品；24三月2023《质量管理学》－第二章64d、孤岛型（Island

）d、不正常在生产过程中存在某种异常情况,如加工条件变动等.

d孤岛型Island24三月2023《质量管理学》－第二章65e、双峰型（Double-peak）

e不正常，可能是两种不同的材料或两种不同的加工条件的零件混在一起的结果

e、双峰型Double-peak24三月2023《质量管理学》－第二章66f、扁平型（Flat-peak

）f、不正常，往往是生产过程中某种缓慢的倾向在起作用，如工具的磨损，操作者的疲劳等等影响

。f、扁平型Flat-peak24三月2023《质量管理学》－第二章67（4）直方图的用途

报告质量情况

质量分析

调查工序能力和设备能力

工序控制判断总体质量分布情况24三月2023《质量管理学》－第二章68（5）直方图与公差的比较a、与公差中心重合，实际尺寸分布与公差界限间有一定空隙这是：——理想状态BT，公差平均值24三月2023《质量管理学》－第二章69b、分布在公差范围内，分布宽度B也正常，但因分布中心偏向左边，若工序稍有波动，随时都有超差、出现不合格品的可能。TB24三月2023《质量管理学》－第二章70c、分布在公差范围内，但分布宽度太大，极易出现超差现象,工序能力较差,应设法改进工序,缩小分布范围。TB24三月2023《质量管理学》－第二章71d、对一般加工要求的产品来说,可考虑降低加工精度（如机床的精度）,对要求较高的产品可考虑缩小公差范围。TB24三月2023《质量管理学》－第二章72e、分布宽度正常，但分布中心过于偏左，已有部分产品超过公差的范围成了不合格品，应采取措施纠正工序中的异常因素。TB24三月2023《质量管理学》－第二章73f、分布中心无偏移,但分布范围过大以致两面超差,可用改变加工工艺或修改公差标准来纠正。TB24三月2023《质量管理学》－第二章746、相关分析和回归分析散布图（相关图）相关分析回归方程相关系数及其检验符号检验法24三月2023《质量管理学》－第二章75(1）散布图（相关图）变量之间的关系分类：确定性关系：如电流、电阻、电压之间的关系可写成V=RI；矩形边长与面积的关系等。不完全确定关系（相关关系）：如在一定的淬火范围内，随淬火温度的提高，钢的硬度增加，但由于影响淬火钢硬度的随机因素很多,使得硬度与温度之间的关系不是很确定，即它们之间很难用一个函数关系来描述。24三月2023《质量管理学》－第二章76为了研究的方便，人们设法用函数关系来研究上述不完全确定的变量关系，这样就会因选择的函数不同而使求得的理论值有一定的误差，这种研究变量之间函数关系及其误差的方法称回归分析，研究变量之间的相关程度称为相关分析。24三月2023《质量管理学》－第二章77散布图的作法：a、收集数据。b、画直角坐标。一般情况下，可以横坐标表示原因，纵坐标表示结果。c、在直角坐标体系上打点：有二个重合的点可在该点上画一个圈，有三个重合的点可在该点上画二个圈，以此类推。24三月2023《质量管理学》－第二章78X（原因）Y（结果）·····有二个重合的点可在该点上打一个圈，有三个重合的点可在该点上打二个圈，以此类推。24三月2023《质量管理学》－第二章79(2)相关分析

A、Strongly-positiver=1·······B、Weakly-positive0<r<1·········24三月2023《质量管理学》－第二章80·d、Weakly-negative-1<r<0·······c、non-related········r=024三月2023《质量管理学》－第二章81e、Strongly-negativer=－1·f、nonlinear··················24三月2023《质量管理学》－第二章82散布图的异常点处理:在散点图上出现异常点,可能是由于测量,记录错误.或外部条件发生变化所引起的,此时必须查明原因,去掉这些异常点后才能估计x与y之间的回归关系,在原因不明的情况下,不要盲目去掉它们.···························xy24三月2023《质量管理学》－第二章83要注意分层观察：如图所示,从整体看似乎没有相关性,若分层观察时有明显的相关性（如右上图）。相反，从整体看似乎相关，但是分层后就不相关了（如右下图）.☆●●●●●●●●★★★★★★★★★★★★★★☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆●●●●☆☆☆☆☆☆☆☆☆★★★★★★★★★★★★★★★●●●●●●●●●●xyxy24三月2023《质量管理学》－第二章84

（3）回归方程

1）作图法例：根据下表所列实测数据求出温度与硬度之间的回归直线与回归方程。

附224三月2023《质量管理学》－第二章85No.温度x0c硬度Y（HRC）No.温度x0c硬度Y（HRC）18404516860542880481788055391057188905748604819840485850492082040685051218404678605022850448890522387049990053248805310910572586046119205826890541291059278705313920582889055148304429820431586050309004824三月2023《质量管理学》－第二章86步骤：（a）把数据点在坐标纸上画出散布图。（b）判断变量x，y之间的相关情况。（c）散布图上引中线使它左右的点子数相等。（d）画中线,使右侧的点子左右均分；画中线,使左侧的点子左右均分。以最靠近直线两侧点的中间点(中位数)定位。24三月2023《质量管理学》－第二章87（e）画中线使得右侧的点上下均分，与的交点u1(900,56)；画中线，使得左侧的点上下均分，与的交点u2（860,49.3）（f）过u1u2作一直线，即为回归线。（g）设回归方程为：将u1(900,56)，u2(860,49.3)代入上述方程解得：所求回归方程为：

24三月2023《质量管理学》－第二章88

860900u2（860，49.3）u1（900，56）5649.2524三月2023《质量管理学》－第二章892）最小二乘法

Xδi(xi,)(xi,yi)yyi24三月2023《质量管理学》－第二章90用最小二乘法求回归方程的系数用最小二乘法可以求所有的回归方程的系数，下面以线性方程为例：

设回归方程为其中a,b称为回归系数

令：24三月2023《质量管理学》－第二章91显然，要使为最好的拟合直线，应使Q为最小，

24三月2023《质量管理学》－第二章92其中：24三月2023《质量管理学》－第二章93例：

某钢厂某号平炉10炉钢液含碳量和精炼时间记录如下：

炉次12345678910含碳量x(%)0.91.01.21.41.51.61.71.81.92.0精练时间y(分)10010513014517017519019022023524三月2023《质量管理学》－第二章94作散布图含碳量x％y精练时间(分)10020030021.91.81.71.61.51.41.31.21.110.90.80.7…0.20.10●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●24三月2023《质量管理学》－第二章95炉次含碳量x（%）精炼时间y(分)x2y2xy10.91000.81100009021.01051.001102510531.21301.441690015641.41451.962102520351.51702.252890025561.61752.563062528071.71902.893610032381.81903.243610034291.92203.6148400418102.02354.0055225470∑15.0166023.76294300264224三月2023《质量管理学》－第二章9624三月2023《质量管理学》－第二章9724三月2023《质量管理学》－第二章98回归方程的应用另外，回归方程还具有预测与控制的功能。回归方程来自有限个样本点，对于其它的未知样本点可以进行预测（或控制）。在本例中，当含碳量要求为2.2％时，可以估计此时需要精练的时间是：

Y=-15＋120.635x=-15+120.635×2.2=250(分)24三月2023《质量管理学》－第二章99回归方程的应用反过来，还可以预测当精练时间为300分钟时的含碳量为：

x=(y+15)/120.635=315/120.635=2.6(%)24三月2023《质量管理学》－第二章100(4)相关系数及其检验

表示两随机变量相关程度的量可用相关系数表示，其表达式如下：

24三月2023《质量管理学》－第二章101当从总体中抽取一个样本，计算