插值法与最小二乘法2Zu课件

第三章插值法与最小二乘法数值计算方法本章主要内容

插值法Lagrange插值插值误差分段插值法

Newton插值多项式三次样条插值法数据拟合最小二乘法§4三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/

许多实际工程技术中一般对精度要求非常高，

（1）要求近似曲线在节点连续；（收敛性）；（2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。

分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。

问题背景

在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数为，弯矩为，样条曲线的曲率为由力学知识：当时（即“小挠度”的情况）上述微分方程简化为：是线性函数因此，“样条曲线”可近似认为是三次多项式.二、三次样条插值函数定义及求法

设在区间上给定一个分割，定义在上的函数如果满足下列条件：(1)在每个小区间内是三次多项式,(2)在整个区间上，为二阶连续可导函数，即在每个节点处则称为三次样条插值函数.假设现在已知函数在节点处的函数值：如果三次样条函数满足则称为插值于的三次样条函数，简称三次样条插值函数。如何求的三次样条插值函数:4n个未知数3n-1个条件代入插值条件：在整个区间上，的表达式为：未知数n+1个的计算方法(利用导数的连续性)：由由写成方程组的形式：上述方程组称为的M连续方程.n-1个方程n+1个未知数三弯矩方程组M连续方程的求解：需要补充附加条件3、边界条件/*boundaryconditions*/已知端点的斜率：已知端点的二阶导数：设是以为周期的周期函数，对附加周期性条件：

即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。M连续方程在各类边界条件下的求解方法对于第一类边界条件由得对于第二类边界条件类似地可以得到方程组（三对角）：上述两种情况得到的方程组，可以写成统一形式：其中时为第二类边界条件时为第一类边界条件对于第三类边界条件得到方程其中注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于f在许多插值节点的导数值。f(x)H(x)S(x)性质（误差估计）设函数，是区间的一个分割，是关于的带有Ⅰ型(斜率边界)或Ⅱ型(二阶导数边界)边界条件的插值函数，则有误差估计其中

是分割比，并且系数与是最优估计。

性质说明：三次样条插值函数本身连同它的一、二、三阶导数分别收敛到及其相应导数，具有强收敛性。0123

02361

0例1已知函数在的数据表：解：求在区间上的三次样条插值函数。

三次样条插值函数实例考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:§5最小二乘法结论:纤维强度随拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分布在一条直线附近，因此可以认为强度S与拉伸倍数t的关系近似满足线性关系。

根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠近这些点的直线,其方程都可表示为：5-1最小二乘法的基本概念(1)(2)其中:a,

b

待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种度量标准来衡量最靠近所有数据点的直线.计算值

S(ti)

与测量数据

si之差为:其大小依赖于

a,

b

的选取.问:如何衡量直线与数据点偏离程度?(3)注:(1)式是一条直线，但现实生活中的函数关系并不都是线性关系，因此下面将问题推广到一般情况.一般使用误差的加权平方和作为误差的度量标准。

用ωi

表示测量数据

(ti,

si)

的重度,称为权系数,表示在不同点

(ti,si)

处的数据比重不同.作为衡量

S(t)

与数据点

(ti,

si)

(i=0,1,…,m)偏离大小的度量标准.使最小的

S(t)

最接近,以此为依据可确定(1)式中的确定系数

a,

b.问:如何确定直线方程的系数

a与

b?(4)(5)(6)

定义1设

为给定一组数据,为各点的权系数

,要求在函数类中,求一函数使误差的加权平方和最小,即最小平方误差其中：为Φ中任意函数，称为拟合函数.

称按条件(6)求函数

s*(x)的方法为数据拟合的最小二乘法,简称最小二乘法.数据点数-1基函数个数-1最小二乘解拟合条件问：确定拟合函数

s(x)

后,如何求拟合系数,使得满足拟合条件？5-2法方程组（正规方程组）由可知为拟合系数的函数.因此,可设平方误差为:求最小二乘解的问题

取极小值的问题由多元函数取极值的必要条件移项整理得：(7)交换求和号顺序得：得：即显然(7)式是一个关于的n+1阶线性方程组.定义向量：定义内积：(9)(8)方程组(7)便可化为:(10)这是一个系数为,常数项为的线性方程组.将其表示为矩阵形式：(11)称为函数系在离散点的法方程组.并且其系数矩阵为对称正定矩阵.坡度矩阵,Hilbert矩阵kj由于为函数类Φ的基,因此它们必然线性无关,所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解：即：的最小值.是可以证明,是所对应的最小二乘解.为均方差.称为最小二乘解的平方误差.可以证明:(12)平方误差的内积表示形式:故有

作为一种简单的情况,常使用多项式Pn(x)作为(xi,yi)(i=0,1,…,m)的拟合函数,这是最常见的最小二乘拟合.此时,拟合函数S(x)的基函数为:(13)相应的拟合函数为:函数类为多项式类时的法方程组基函数之间的内积为：此时，法方程组为：(14)n较大时,属于病态问题问：如何解决上述问题？以正交多项式为基函数,简化法方程组.例2

测得数据如下：试用最小二乘法求最佳数据拟合函数.i01234560.00.20.40.60.81.01.20.91.92.83.34.05.76.5解：1)在坐标平面上描点，

从散点图可以看出函数关系近似线性关系，所以选择线性函数：其基函数为作为拟合函数,2)根据散点的分布情况，选择基函数.（难点）3)建立法方程组根据内积公式:计算下列各值：取得法方程组：4)解法方程组,求拟合函数系数因此,为所有的最小二乘解.求得线性函数两系数:5)求拟合误差最小二乘拟合的一般步骤:描点(若给定拟合函数形式,这一步骤可以省略);根据数据点的分布情况,确定拟合函数,进一步确定拟合函数的基函数;建立法方程组(涉及到一些内积运算);求解法方程组(推荐使用Gauss列主元消去法),得拟合函数的系数;写出拟合函数;求拟合误差:最小平方误差.非线性最小二乘问题

当用非多项式函数(例如:指数函数类或幂函数类等)拟合给定的一组数据时,拟合函数是关于待定参数的非线性函数.若按最小二乘准则:用极值原理建立的法方程组将是关于待定参数的非线性方程组.称这类数据拟合问题为非线性最小二乘拟合.

简单的非线性最小二乘拟合问题求解方法:转化为线性最小二乘问题求解.1786年(9岁),发现1到100自然数之和是5050；1795年(18岁),进入哥廷根大学,发明最小二乘法；1796年,仅用尺规作出正17边形；1879年(22岁),证明代数学基本定理,获博士学位；1801年(24岁),出版《算术研究》,精确计算谷神星(最大的小行星)的轨迹；1816年左右发现了欧氏几何的原理；1828年出版《关于曲面的一般研究》,系统地阐述了空间曲面的微分几何学；1833年,和韦伯共同发明了有线电报；…

…最小二乘法发明者——高斯

高斯在数学、天文学、力学、测地学、磁学、光学、水工学和电动学等方面均有杰出贡献.Gauss(1777～1855)

Lagrange插值法

（高次插值多项式数值不稳定，龙格现象；每增加一个插值节点，插值多项式就得重新构造）

分段低次插值法

（收敛性和精度能得到保证；具有局部性；在节点处有尖点，不可导）

Newton插值法

（增加插值节点时，只需增加部分计算工作量，原来的计算结果仍可用。）小结

三次样条插值法

（能保证在节点处的连续性和光滑性，收敛性.）小结

最小二乘法

总体上偏差最小，不要求：

作业4：

教材P61-62:

3-21,3-23，3-26（1）、（2）.第七周星期三晚上7:30-9:30，

理科楼312（学习委员）。上机实验题二题目：插值法与最小二乘法

教材P623-27，3-28，3-29；

要求：1.写出上机报告；2.