特征值特征向量的应用

..值向量的应用1）1）求方阵的高次幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵 A可以对角化,即存在可逆矩阵P使P1APdiag(,,

).其中

1 2, ,是 A的全部特征值.

nAPP1，则对任意正整数k有1 2 nAk（PPk=（PP1PP1

PP=PkP1.所以可通过A的相似对角阵来求An 。例1作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有 30万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:在这 30万就业人员中,目前约有 15万人从事农业,9万人从事工业,6万人经商;(2)在从农人员中,每年约有 20%改为从工,10%改为经商;(3)在从工人员中,每年约有 20%改为从农,10%改为经商;(4)在从商人员中,每年约有 10%改为从农,10%改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3维向量Xi 表示第i年后从事这三种职业的人员总数,则已知15X = ,而欲求 X,X并考察在 n →∞时X 的发展趋势,引进3阶矩阵o 9 1 2 n6 6

]用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a23

=0.1表明每年有 10%的从工人员改去经商。于是有07A=0201

020701

0101,由矩阵乘法得 08129 1173X1 =ATX0=AX0=199 ,X2=AX1=A2X0 = 72

1023804 所以 Xn =AXn1=AnX0要分析 Xn 就要计算 A的 n次幂 An ,可先将 A对角化 070201即A=020701=(1-)(0.7-)(0.5- )0.10108特征值为 1

2

=0.53分别求出对应的特征向量 q,q,q 并令 Q=[q,q,q ,则有 =BQ11 2 3 1 2 3从 而 有 An =QBQ 1

1,再 由 Xn =An X 0 ， = 0

007

0 0 ,B1n00

00.7n0

0005

n

1 0 0

1 0

0 00

05可知 n→∞时 Bn将趋于 0 0

0,故知 An 将趋于 Q0 0

0Q

,因而 Xn 将0

0

0

0趋于一确定常量 X*,因而

n1

亦必趋于 X*,由 Xn

n11

知 X*必满足 tX=,故 *是矩阵 A属于特征值 =1的特征向量,X*=

t=

,t+t+t11 1

=3=30,t=10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等,均为 10万人。 2求方阵 A的多项式的行列式的值 设 阶方阵 A可对角化，即存在可逆矩阵 P

kPkP

,其中 diag(,

, ,)，

,

, ,是 A的全部特征值 .因此对方阵 A的多项式 1 2 n 1 2 nf(A)a m

aAaE，1 0有f(A)即

P(am

aaE)P1.1 0f(A)aAm aAaE(am aaE)P1m 1 0 m 1 0am aaE(f(f(,f(m 1 0 1 2 nf()f() f().1 2 n例 1设 n阶实对称矩阵 A满足 A2=,且 A的秩为 ,试求行列式的值。 解:设 AX=,X≠ 0是对应于特征值 的特征向量,因为 A2 =A,则X=AX=A2=

,从而有(

- =0,因为 X≠ 0所以 (,即 或 0,又因为 A是实对称矩阵,所以 A相似于对角矩阵,A的秩为 ,故存在可逆矩 阵 P,使 得 P

Er

0=B,其 中 E

是 r阶 单 位 矩 阵 ,从 而2EA=

PP1

PBP1

0 0=2EB

r=2nr33由特征值与特征向量反求矩阵 若矩阵 A可对角化,即存在可逆矩阵 P使 P1A=B,其中 B为对角矩阵,则 A=P1例 1设 3阶实对称矩阵 A的特征值为

==1,对应于 的特征向量 为 P =11 1

,求矩阵 。

1 2 3 1解:因为 A是实对称矩阵,所以 A可以对角化,即 A有三个线性无关的特征向量,x设对应于 ==1的特征向量为 x1

,它应与特征向量 P 正交 x2 3 2 1x3,,P1

]=0X+X1

+X=0,该齐次方程组的基础解系为P3

1,=0,02 0 0 =32 P 1 ,它们即是对应于=1=32 1 0 1 0 1 0 0取P=P ,P ,P =1 0 1,B=0

1 01 2

1

1

0 1P1A=B,于是0 1

01

0

1/

1/2 1 0 0A

1=1 0

10

1 01 0

0 =0 0

11

1

0 1

0

1/

1/2

0

04判断矩阵是否相似4判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似2A =010

0 02 0,0 3

2=020

1 02 10 3

2=030

0 12 00 3:矩阵A 1

,A 的特征值都是=2(二重12312

=3A

已是对角阵,所以21只需判断A ,A 是否可对角化212 32先考查A2

,,对于特征值=2,2-A

=02系为α

1=1

,由于=2是的二重特征值,却只对应于一个特征向,故A 不01 1 20 可对角化或者说A 与 A 不相似。2 1再

,对于特征值=2,解齐次线性方程组-A131

=0得基础解系;3对于特征值2=3解齐次线性方程3-A3,=0,得基础解系由于A3,有三个线无关量,以A3,可对角化,即A3,与 A1 相似。55求特殊矩阵的特征值 例 1设 A为阶实对称矩阵,且 A2=2A,又 r(A)=r<n求(1)A的全部特征值;(2)行列 式的值。 解:(1)设 为 A的任一特征值,为 A的对应于特征值的特征向量,所以 A= ,有 A2=A

2

,又因为 A2=2A,所以 A2=2A =2 ,所以 2=2 ,由此可得 =2或 0因为 A是实对称矩阵,所以 A必能对角化即 A∽2

...2

,且 ,故 2的个数为 A的秩数,即 A的特征值为 r0 0个