高三数学二轮专题复习11 导数中的同构问题

函数与导数—导数中的同构问题专题综述同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.专题探究探究1：指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.答题思路：1.直接变形：（1）积型：（同左）；（同右）；（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取对数）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；(2021重庆市市辖区模拟)若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【审题视点】不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上，即能出现同构法中的“和差型”.【思维引导】由不等式的结构判断，通过将不等式变形为，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.指对数结构同时存在，指对数结构同时存在，若选择直接含参讨论较麻烦，通过配凑，符合和差型结构，构造函数判断单调性解：，，

化繁为简：根据同构后化繁为简：根据同构后的不等式，构造函数，判断单调性，转化为与的恒成立问题在上单调递增故即，

即即设，则，

令，则在上单调递减，在上单调递减故，故

故选【探究总结】不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论（专题1.3.8）及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.(2021山东省泰安市一模)已知.

（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围.探究2：双变量型含有同等地位的两个变量的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.(2021江西省萍乡市联考)已知函数，（1）求函数的定义域；（2）对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．【审题视点】第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.【思维引导】双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形，构造函数，由不等式得出函数的单调性.【规范解析】解：（1）由题意得，即，

①当时，，函数的定义域为；

②当时，，函数的定义域为且，

③当时，，函数的定义域为；（2）由题意得，，当时，双变量的不等式，注意变量分离，使不等式双变量的不等式，注意变量分离，使不等式两侧的结构一致，转化为新函数的单调性问题设，则对于函数单调性的判断，可以利用单调性性质、对于函数单调性的判断，可以利用单调性性质、复合函数单调性、导数，解题时要灵活选择方法设，

即函数在上是减函数，且，

，解得，

实数的取值范围为【探究总结】典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确.针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性.构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.(2021江苏省苏州市联考)已知函数，若对任意，，存在，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.探究3：同构放缩或同构换元共存型有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等.常见的放缩模型：（1）利用放缩：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（2）利用放缩：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.（3）利用放缩：=1\*GB3①；=2\*GB3②.（4）利用放缩：=1\*GB3①；=2\*GB3②.(2021河北省石家庄市联考)已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象经过点，求证：时，【审题视点】待证明的不等式中有，，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.【思维引导】第（2）问，求出，显化不等式，进行指对变形，换元简化函数.【规范解析】解：（1）由题意知，函数的定义域为

当时，，函数在上单调递增．

当时，，

令，即

①当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．

②当时，1.利用常见的同构变形结论，对待证不等式进行变形，换元使构造的函数较为简单；2.方法不唯一，也可直接构造函数，判断单调性，涉及隐零点问题（专题1.3.9）在区间上单调递减，在区间上单调递增．

1.利用常见的同构变形结论，对待证不等式进行变形，换元使构造的函数较为简单；2.方法不唯一，也可直接构造函数，判断单调性，涉及隐零点问题（专题1.3.9）则，设，则当时，设，则令，则不等式的证明问题转化为构造函数不等式的证明问题转化为构造函数求函数最值问题在区间上单调递增当时，恒成立．【探究总结】同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降函数研究的难度.但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为的结构，比较最值.(2021江苏省南京市模拟)已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若恒成立，求的取值范围．专题升华同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.=1\*GB3①方程中的应用：两式结构相同，转化为为方程的两根；如：若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是.思路：由单调递增为方程的两个根.=2\*GB3②不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；如：若，则的取值范围是.思路：，构造函数研究单调性.=3\*GB3③解析几何中的应用：如点的坐标满足相同的关系式，即则直线的方程为，或得出两点在同一条曲线上；=4\*GB3④数列中的应用：将递推公式变形为关于与的同构式，如，可以构造辅助数列解题.解题时，针对除变量外完全相同的结构式，要灵活的利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,从而找到解决问题的思路方法.同构法体现了发现、类比、化归等思想,是一种富有创造性的解决问题的方法.同构法为解题提供了突破口,从同构式中挖掘隐含条件,能让数学难题豁然开朗.【答案详解】变式训练1【解答】解：（1）由题意得，，，则，=1\*GB3①当时，，所以在，单调递增，，故在，上无零点；=2\*GB3②当时，，使得，在，上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上无零点=1\*romani）当即时，在，上无零点，=2\*romanii）当即时，在，上有一个零点，=3\*GB3③当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上所述：当时，在，上有一个零点；（2）由得，即，则有，令，，，函数在上递增，方程即为方程即有2个不同的正实根设，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以（1），当时，，当时，，当时，方程有2个不同的正实根综上所述：.变式训练2【解析】解：令，

由得

在递增，

，即恒成立，设，，，

则在上单调递增，

，故有，

，使得