8 重要的函数模型大盘点

课本上没有，考试却常见的函数模型大盘点一．导数6朵“金花”还有诸如下列的很多函数，我们先做梳理，后续再慢慢展开：1.（2017年全国3卷）.2.（2018年全国1卷）.3.（2017年全国2卷）.4.（2014年山东文科）.5.（2016四川卷）.6.（2016全国2卷文科）.7.（2016年山东理科）.8.（2014年全国大纲卷）.9.（2014年全国大纲卷）.10.（2014湖南理科）二．双勾函数1.对勾函数的定义：形如的函数，叫做对勾函数．2.对勾函数的图象与性质（1）定义域（2）值域当时，（当且仅当，即时取等号）．[来源:学_科_网]当时，（当且仅当，即时取等号）．则：函数的值域为．（3）奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．（4）单调性函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．（5）渐近线当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限．当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方.双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线．三．分式函数（1）型.对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.型.对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.型.形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.型.形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：①：换元→分离常数→反比例函数模型.②：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.③：同时除以分子：→②的模型.④：分离常数→③的模型.共同点：让分式的分子变为常数上述函数多出现在二次函数恒成立或者存在性问题中，利用分离参数法，经常会得到上述分式函数.四．指数型函数假设且.（1）.为偶函数（2）.为奇函数（3）.为奇函数（4）.可转化为（2）或（3）五．对数型函数（1）.都是奇函数.（2）.是奇函数.（3）.(且)是偶函数.典例分析例1.求函数的值域解析：设.于是问题转化为求的值域，由对勾函数当时取等号，即.例2.设，函数．（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知．（i）判断并证明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围．例3.已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.例4．讨论函数的零点个数.解析：，即.令，则得.所以在上单调递减，在上单调递增.的图像如图所示.①当时，无零点；②当时，1个零点；③当时，2个零点；④当时，1个零点．例5．讨论函数的零点个数.解析：即.令，则得.所以在上单调递增，在上单调递减.的图像如图所示.①当时，无零点；②当时，1个零点；③当时，2个零点；④当时，1个零点．例6．讨论函数的零点个数.解析：，即.令，则得.所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，①当时，2个零点；②当时，1个零点；③当时，无零点；④当时，1个零点．例8．讨论函数的零点个数.解析：，即.令，则得.所以在上单调递减，在上单调递增，的图像如图所示①当时，无零点；②当时，1个零点；③当时，2个零点；④当时，1个零点．例9．讨论函数的零点个数.解析：，即.令，则得.在上单调递减，在上单调单调递减，在上单调递增.的图像如图所示.=1\*GB3①当时，个零点；=2\*GB3②当时，无零点；=3\*GB3③当时，个零点；=4\*GB3④当时，个零点.例10．讨论函数的零点个数.解析：，即.令，则得.则在上单调递增，在上单调递减.的图像如图所示.=1\*GB3①当时，无零点；=2\*GB3②当时，个零点；=3\*GB3③当时，个零点；=4\*GB3④当时，个零点.例题解析：例2.解析：（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为．（i）结论：函数为上的单调增函数．证明：设对任意的，，且，因为，所以即因为，所以，，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而．又由知，，所以，因为，由（i）知，函数为上的单调增函数．因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根．令，所以方程有两个互异正根．所以，解得.例3.解析：（1）∵为偶函数，∴对任意，有，∴对恒成立.∴对恒成立，∴对恒成立，∴（2）由题意知有实数根，即：有解。令，则函数的图像与直线有交点。∵，∴∴的取值范围是。（3