北师大版九年级数学上思维特训(五)含答案：配方法妙用

思想特训(五)配方法的妙用1．配方法是把一个多项式经过适合变形配成完整平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵巧运用，能够获得多种配方形式：2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；②a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝a＋b2＋3212222222b；③a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＝2[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]．2．配方的方法技巧：配方的目标是出现完整平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完整平方式．常用以下三种形式：(1)由a2＋b2配上2ab，(2)由2ab配上a2＋b2，(3)由a2±2ab配上b2.同一个式子能够有不一样的配方法和配方结果．种类一完整平方式1．若22表示一个完整平方式，则k的值为( )4x＋kxy＋yA．4B．±4C．±8D．82．已知9x2＋18(n－1)x＋18n是完整平方式，求常数n的值．2213．若x－6x＋1＝0，求x＋x2－1的值．222111abc的值．4．已知a，b，c为整数，且知足a＋b＋c＋3<ab＋3b＋2c，求(＋＋)abc种类二最大(小)值5．已知多项式p＝a2＋2b2＋2a＋4b＋5，则p的最小值是( )A．1B．2C．3D．46．多项式－x2－1x＋1获得最大值时，x的值为( )241111A．－4B．－2C.2D.47．不论x取何值，二次三项式－3x2＋12x－11的值都不超出________．8．对对于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)当x为什么值时，x2＋4x＋9有最小值？最小值是多少？9．先阅读理解下边的例题，再按要求解答以下问题：例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4.(1)求代数式m2＋m＋4的最小值；(2)求代数式4－x2＋2x的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图5－S－1，设AB＝xm，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？图5－S－1种类三非负数的和为010．已知a，b，c知足a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17，则a＋b＋c的值等于( )A．2B．3C．4D．511．已知4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值．12．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．13．已知代数式(x－a)(x－b)－(x－b)(c－x)＋(a－x)(c－x)是一个完整平方式，试问以a，b，c为三边长的三角形是什么三角形？详解详析1．B[分析]若4x2＋kxy＋y2表示一个完整平方式，则能够配成(2x±y)2的形式，则k＝±4.2．解：依据题意，得18(n－1)＝±2×3×18n.化简，得n－1＝±2n.两边平方，得n2－2n＋1＝2n，解得n＝2±3.3．解：∵x2－6x＋1＝0，∴x－6＋1＝0，x∴x＋1＝6，x211两边平方，得x＋2·x·＋2＝36，xx1x＋x2＝36－2＝34，x2＋x12－1＝34－1＝33.4．解：由a，b，c均为整数，a2＋b2＋c2＋3<ab＋3b＋2c，得a2＋b2＋c2＋3≤ab＋3b＋2c－1，4a2＋4b2＋4c2＋12≤4ab＋12b＋8c－4，(4a2－4ab＋b2)＋(3b2－12b＋12)＋(4c2－8c＋4)≤0，(2a－b)2＋3(b2－4b＋4)＋4(c2－2c＋1)≤0，(2a－b)2＋3(b－2)2＋4(c－1)2≤0，2a－b＝0，b－2＝0，c－1＝0，解得a＝1，b＝2，c＝1，11＋1abc25＋c＝4.∴ab5．B2222[分析]p＝a＋2b＋2a＋4b＋5＝(a＋1)＋2(b＋1)＋2≥2.应选B.6．A21x＋112＋5[分析]－x－＝－(x＋)，2441612125≤5，∵－(x＋)≤0，∴－(x＋)＋164416∴当x＝－1211获得最大值．4时，多项式－x－x＋24应选A.7．1[分析]∵－3x2＋12x－11＝－3(x2－4x＋4)＋12－11＝－3(x－2)2＋1≤1，∴不论x取何值，二次三项式－3x2＋12x－11的值都不超出1.8．解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，2m＝4，m2＋n＝9，解得m＝2，n＝5.(2)∵m＝2，n＝5，x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，x2＋4x＋9有最小值，最小值是5.21215.9．解：(1)m＋m＋4＝(m＋)＋42∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＋15≥15，2244215则代数式m＋m＋4的最小值是.(2)4－x2＋2x＝－(x－1)2＋5.∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2＋5≤5，则代数式4－x2＋2x的最大值为5.(3)由题意，得花园的面积是2＋20x，x(20－2x)＝－2x∵－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，－2(x－5)2≤0，∴－2(x－5)2＋50≤50，∴－2x2＋20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2.10．B[分析]由a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17得a2＋2b＋b2－2c＋c2－6a＋11＝0，(a－3)2＋(b＋1)2＋(c－1)2＝0，a＝3，b＝－1，c＝1，a＋b＋c＝3.应选B.2－4x＋1＋3y－2＝0，即(2x－1)2＋3y－2＝0.11．解：4x(2x－1)2≥0，3y－2≥0，2x－1＝0且3y－2＝0，∴x＝12，y＝23，则x＋y＝1＋2＝7.23612．解：由已知条件可把原式变形为(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0，∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，即a＝3，b＝4，c＝5，故△ABC为直角三角形．13．解：原式＝x2－(a＋b)x＋ab＋x2－(b＋c)x＋bc＋x2－(a＋c)x＋ac＝3x2－(2a＋2b＋2c)x＋abbc＋ac，∵结