三种迭代法雅克比、高斯赛贝尔、超松弛求解方程组实验报告

大连民族学院数学实验报告课程：数值剖析与软件实验题目:分别用Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法求解线性方程组系别：理学院专业：数学与应用数学姓名：赵英翠班级：数学101指导教师：牛大田达成学期：2012年4月14日实验目的：熟习matlab上机环境，掌握matlab有关知识；掌握求解线性方程组的三种迭代法：Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法；比较三种迭代法的差别；实验内容：（问题、数学模型、要求、重点词）1.分别运用Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法求解以下线性方程组4100x15.841410x25.50141x37.330014x43.35取初始点x(0)(0,0,0,0)T,精度要求106；SOR迭代法中废弛因子。1.052.求解上述方程组正确解，与上述三种方法的结果进行比较。重点词：Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法线性方程组实验方法和步骤（包含数值公式、算法步骤、程序）：利用Jacobi迭代法求解：编制名为majacobi.m的文件，内容以下：functionx=majacobi(A,b,x0,ep,N)n=length(b);ifnargin>5,Warning('传达的参数个数错误');endifnargin<5,N=500;endifnargin<4,ep=1e-6;endifnargin<3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;whilek<Nfori=1:nx(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);endifnorm(x-x0,inf)<ep,break;endx0=x;k=k+1;endifk==N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp(['迭代次数k=',num2str(k)])2.利用Gauss-Seidel迭代法求解：编制名为maseidel.m的文件，内容以下：functionx=maseidel(A,b,x0,ep,N)n=length(b);ifnargin<5,N=500;endifnargin<4,ep=1e-6;endifnargin<3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;whilek<Nfori=1:nifi==1x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1);elseifi==nx(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1))/A(n,n);elsex(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);endendendifnorm(x-x0,inf)<ep,break;endx0=x;k=k+1;endifk==N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp(['迭代次数k=',num2str(k)])利用SOR迭代法求解：编制名为masor.m的文件，内容以下：functionx=masor(A,b,omega,x0,ep,N)n=length(b);ifnargin<6,N=500;endifnargin<5,ep=1e-6;endifnargin<4,x0=zeros(n,1);endifnargin<3,omega=1.5;endx=zeros(n,1);k=0;whilek<Nfori=1:nifi==1x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1);elseifi==nx1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1))/A(n,n);elsex1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);endendx(i)=(1-omega)*x0(i)+omega*x1(i);endifnorm(x0-x,inf)<ep,break;endk=k+1;x0=x;endifk==N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp(['迭代次数k=',num2str(k)])利用matlab求解方程组的正确解在matlab指令窗口中输入：A=[4,-1,0,0;-14-10;0-14-1;00-14];B=[5.84-5.57.333.35]';X=A\B实验数据和剖析：利用Jacobi迭代法求解：在MATLAB命令窗口履行程序masorm.m:>>clear;clcA=[4,-1,0,0;-14-10;0-14-1;00-14];B=[5.84-5.57.333.35]';x=majacobi(A,B)获得计算结果：迭代次数k=17x=1.3264-0.53452.03551.3464利用Gauss-Seidel迭代法求解：在MATLAB命令窗口履行程序maseidel.m:>>clear;clc>>A=[4,-1,0,0;-14-10;0-14-1;00-14];>>B=[5.84-5.57.333.35]';>>x=maseidel(A,B)获得计算结果：迭代次数k=9x=1.3264-0.53452.03551.34643.利用SOR迭代法求解：在MATLAB命令窗口履行程序：>>clear;clcA=[4,-1,0,0;-14-10;0-14-1;00-14];B=[5.84-5.57.333.35]';>>x=masor(A,B,1.05)获得计算结果：迭代次数k=6x=1.3264-0.53452.03551.34644.利用matlab求解方程组的正确解获得计算构造X=1.3264-0.53452.03551.3464经过以上数据测试能够剖析出以下几点：Jacobi、Gauss-Seidel、SOR三种迭代法对应的迭代次数是渐渐减少的，也就是说三种方法在迭代的速度上是逐一增添的；2.三种迭代法计算获得的解与严格计算方程组后的精准解在结果所示精度下是同样的，说明三种迭代法的求解精度是不低的。实验的启迪：经过本次试验，我掌握了用Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法求