线性代数行列式的展开计算演示文稿

线性代数行列式的展开计算演示文稿当前1页，总共55页。（优选）线性代数行列式的展开计算当前2页，总共55页。决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解当前3页，总共55页。第三节行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结当前4页，总共55页。例如一、余子式与代数余子式当前5页，总共55页。启示:三阶行列式可按第一行“展开”.对式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第一列“展开”.当前6页，总共55页。余子式和代数余子式Aij

叫做元素aij

的代数余子式.定义

在n

阶行列式中,把元素aij

所在的第i

行和第

j

列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;Aij=(–1)i+jMij,记当前7页，总共55页。在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如当前8页，总共55页。当前9页，总共55页。引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如当前10页，总共55页。定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.当前11页，总共55页。证明当前12页，总共55页。例1计算行列式解按第二行展开，得当前13页，总共55页。例2试按第三列展开计算行列式解将按第三列展开,则有其中当前14页，总共55页。解其中所以当前15页，总共55页。例3当前16页，总共55页。当前17页，总共55页。例4计算行列式解当前18页，总共55页。当前19页，总共55页。例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1当前20页，总共55页。证明对

n作归纳法.当n=2时，结论成立.设对于n

–1阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看

n阶的情形.在n阶范德蒙德行列式中，第n行减去第n

–1行的a1倍，第n

–1行减去第

n

–2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有当前21页，总共55页。按第1列展开，并把列的公因子(ai

–

a1)提出，得当前22页，总共55页。上式右端行列式是n

–1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(ai

–

aj)因子的乘积，其中2≤

j<i

≤

n.故证毕当前23页，总共55页。例6计算解当前24页，总共55页。推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn

=0,i

j

,或

a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.当前25页，总共55页。有关于代数余子式的重要性质：或其中当前26页，总共55页。例取第一行元素当前27页，总共55页。思考第四行各元素余子式之和为分析以表示中元素的余子式，则有当前28页，总共55页。1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结当前29页，总共55页。1.

直接用定义公式计算;

2.

利用性质化为三角行列式;

3.

利用展开式定理降阶.到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:当前30页，总共55页。行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1

主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3

主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.当前31页，总共55页。

下面举几个n阶行列式计算的例子.

例设证明递推关系式

Dn

=nDn-1-

n-1n-1Dn-2(n>2).当前32页，总共55页。按Dn的第n列展开,得证明当前33页，总共55页。展开,即为上式中n

的代数余子式是与Dn

同类型的n-1阶行列式Dn-1

,而对n-1

的余子式按第n-1行当前34页，总共55页。

n-1Dn-2

,

至此我们得到Dn

=nDn-1-n-1n-1Dn-2

.

证毕关系式在计算数学中常被引用.Dn

是常见的n

阶三对角行列式,所证的递推当前35页，总共55页。

例计算n

阶行列式当前36页，总共55页。=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,在这里i

=2,i

=i

=1(

i=1,2,···,n),由果可得

Dn=2Dn-1

-

Dn-2.适当移项可得关于Dn

的递推关系式Dn

-

Dn-1=Dn-1

-

Dn-2=Dn-2

-

Dn-3=···=D2

-

D1.因

D2=4-1=3,D1=2,D2

-

D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···

的结解当前37页，总共55页。第四节Cramer法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、Cramer法则三、小结当前38页，总共55页。设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念当前39页，总共55页。二、Cramer法则定理1如果线性方程组的系数行列式不等于零，即当前40页，总共55页。其中Di是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为当前41页，总共55页。例1用Cramer法则解方程组解:当前42页，总共55页。当前43页，总共55页。89-50当前44页，总共55页。当前45页，总共55页。程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.当前46页，总共55页。但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.当前47页，总共55页。

定理1

如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理.式D

0,则(1)一定有解,且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件定理1的逆否定理为:定理1′如果线性方程组(1)无解或有无穷个不同的解,则它的系数行列式必为零.的系数行列当前48页，总共55页。全为零时,线性方程组(1)叫做齐次线性方程组.线性方程组b1

,

b2

,

···

,

bn不全为零时,线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组;当b1

,

b2

,

···

,

bn

右端的常数项当前49页，总共55页。对于齐次线性方程组(2)x1=x2=···=xn=0一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解.当前50页，总共55页。

定理2′如果齐次线性方程组(2)有非零如果一组不全为零的数是做齐次线性方程组(2)的非零解.

齐次线性方程组(2)一定有零解,但不一定有非零解.对于齐次线性方程组(2)有以下定理.

定理2

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D

0,则齐次线性方程组(2)没有非零解.解,则它的系数行列式必为零.的解,则