高三数学二轮专题复习22 圆锥曲线的弦长问题

解析几何-圆锥曲线的弦长问题专题综述在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是圆锥曲线中常见的一类题型,而圆锥曲线的一般弦，中点弦，焦点弦，这三种弦长问题的探究更是高考的热点，我们关注的重点。专题探究探究1：一般弦长问题求解直线与圆锥曲线相交的一般弦长，根据具体情况，通常要分类讨论.①当直线的斜率不存在时：求出点的坐标，进而求出弦长.②当直线斜率存在时：设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于点Ax1,yAB=答题模板：联立法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）

第一步:设点Ax1,y1,Bx2②当直线斜率存在时，设直线l方程:y=kx+m,(这里的k为已知量，当给定条件为过已知定点时,设点斜式)③第三步:联立方程组y=kx+mx2a第四步:判别式∆>0（对于涉及到求取值范围的题型，该步骤为关键步骤），

第五步:韦达定理：x1+x2=-2ka2m(2021新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2求椭圆C的方程；设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M【审题视点】 充要条件的证明中充分性和必要性的条件和结论分别是什么？三点共线用什么来体现？【思维引导】必要性：由三点共线及直线与曲线相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线MN:y=kx+b,kb<0，由直线与曲线相切得b【规范解析】由离心率公式，寻求a,b,c的关系即可（1）由题意，椭圆半焦距c=2且e=由离心率公式，寻求a,b,c的关系即可又b2=a2-c2=1，所以椭圆方程为x23+y2=1；（2）证明：由(1)得，曲线为x2+y2=1(x>0)，当直线MN必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线MN:y=kx-即kx-y-2由直线MN与曲线x2+y联立直线和椭圆方程，求得弦长，证明必要性解得k=±1联立直线和椭圆方程，求得弦长，证明必要性联立y=±x-2x23+y2所以MN=所以必要性成立；充分性：设直线MN:y=kx+b,kb<0即kx-y+b=0由直线MN与曲线x2+y2所以b2=可得1+3kΔ=12(3联立直线和椭圆方程,由弦长值解得参数,联立直线和椭圆方程,由弦长值解得参数,证明充分性所以MN=1+化简得3k2-12=0，所以所以直线MN:y=x-2或y=-x+2，所以直线MN过点F(2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，【探究总结】有关直线与抛物线、椭圆、双曲线相交的一般弦长问题，一般利用根与系数关系采用“设而不求，整体代入”的解法，但要注意直线斜率是否存在的讨论，也要根据条件确认怎样设直线方程便于求解结果。(2021山东青岛市期中考试)已知椭圆C的焦点在x轴上，左顶点为A(-2,0)，离心率为32．

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．探究2：中点弦问题（1）椭圆中点弦结论（以焦点在x轴的椭圆方程x2如图，在椭圆C中，E为弦AB的中点，则kOE注：若焦点在y轴上的椭圆x2b2+（2）双曲线中点弦结论（以焦点在x轴的双曲线x2a如图所示，E为弦AB的中点，则kOE注：若焦点在轴上的双曲线y2a2-（3）抛物线中点弦结论如图，在抛物线y2=2pxp≠0中，若直线l点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN则kMN∙y注：在抛物线x2=2pyp≠0中，若直线l点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线l即：k答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）第一步:设直线与椭圆交点为Ax1,y1,Bx第二步:两式相减得x1第三步:利用kAB=y2-化简可得y2+y(2021江苏省宿迁市)已知双曲线C:x2a2-y2(1)求双曲线C的方程． (2)过点P1,1是否存在直线l，使直线l与双曲线C交于R,T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求出直线l【审题视点】如何解决已知弦的中点求弦所在的方程问题？【思维引导】这是一道探索性题目，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或联立法。【规范解析】（1）由离心率e=3，得c由离心率公式，寻求a,b,c的关系即可又双曲线C由离心率公式，寻求a,b,c的关系即可则c-a=3由①②，解得c=3,a=1，则∴双曲线C的方程为x2（2）假设存在过点P1,1的直线l，使直线l与双曲线C交于R,T两点，且点P是线段RT的中点，显然直线l的斜率存在，设Rx1,利用点差法求得斜率和中点坐标间的关系两式作差，得x1利用点差法求得斜率和中点坐标间的关系即y1-y2x则x1∴直线l的斜率k=y则直线l的方程为y-1=2x-1，即y=2x-1，检验直线与圆锥曲线是否相交代入双曲线C的方程x2-y检验直线与圆锥曲线是否相交Δ=16-24=-8<0∴过点P1,1不存在直线l，使直线l与双曲线C交于R,T且点P是线段RT的中点．【探究总结】与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，解圆锥曲线中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数关系、中点坐标公式及参数法求解。(2021江苏苏州联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C：y2=2px(p>0)．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

①求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p)；②求p的取值范围．探究3：与离心率问题有关的参数问题常用结论：1.过圆锥曲线焦点F做直线交曲线于A,B两点,则AB的最小值为通径.在椭圆和双曲线中,通径=2b2a,在抛物线中,通径=2p.在椭圆中,AB有最大值为2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.抛物线的焦点弦公式过抛物线y2=2pxx>0焦点F的弦AB，若点Ax1,y1,Bx2,y2，过A、B的直线倾斜角为α,(2019全国新课标Ⅰ卷理科)已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求|AB|【审题视点】抛物线的焦点弦性质很多，求其弦长尽量不用弦长公式,用抛物线定义可能更简便；向量关系怎么转化？【思维引导】抛物线的焦点弦长问题，可使用公式AB=x【规范解析】根据抛物线中焦点弦公式，结合根与系数的关系可确定直线方程解：（1）设直线l：y=32x+t，Ax1,y1，B根据抛物线中焦点弦公式，结合根与系数的关系可确定直线方程可知：Δ>0，

由韦达定理可知x1+x解得t=-78，

所以直线l的方程为y=32x-78．

（2）将向量关系转化为坐标关系，联立直线与抛物线方程由根与系数关系求出点的坐标，利用两点间距离公式求出弦长由AP=3PB，可得y1将向量关系转化为坐标关系，联立直线与抛物线方程由根与系数关系求出点的坐标，利用两点间距离公式求出弦长代入抛物线C方程得，x1=3,x2=13，即【探究总结】圆锥曲线焦点弦问题通常可以利用圆锥曲线的统一定义、焦半径公式、根与系数的关系等求解,解法的多样性使得题目扑朔迷离，所以认真分析题干，选择合适的解法会事半功倍.(2021湖北省襄阳市)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)．

（1）证明：k<-12；

（2）设F为C的右焦点,P为C专题升华解析几何的本质是用代数方法解决几何问题,而代数方法归根结底又离不开代数运算,而运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。在解决圆锥曲线的弦长问题时，除了掌握必要的圆锥曲线方程、性质及相关解析几何知识外，更需要熟悉常见问题（中点弦、焦点弦）的模型求解,注重常见技巧(数形结合、设而不求、点差法、定义法等)的总结与灵活运用。【答案详解】变式训练1【解析】(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．

由题意左顶点为A(-2,0)，得a=2，离心率为：e=ca=32．解得c=3，

所以b2=a2-c2消去y，得5x2+8tx+4t2-1=0，则x1+x=2因为0≤t2<5，所以当t=0变式训练2【解析】(1)∵l：x-y-2=0，∴l与x轴的交点坐标(2,0)，

即抛物线的焦点坐标(2,0)．∴p2=2，∴p=4，∴抛物线C：y2=8x．

(2)证明：①则：y12=2px1y22=2px2，即：∴kPQ=-1，即y1+y2=-2p，∴∴线段PQ的中点坐标为(2-p,-p)；

②因为PQ中点坐标(2-p,-p)．∴y1+y2即关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0有两个不相等的实数根，

∴△>0变式训练3【解析】(