知识讲解随机的概率

随机的概正确理解A出现的频率的意义要点一、随机的概不可 确定：必然与不可能统称为相对于条件S的确定，简称确定随 要点二、随机的频率与概在相同条件S下重复n次试验，观察某一A是否出现，称n次试验中A出现的次数nAA出现的频数，称A出现的比例

nA n nnAPAn任一A的概率范围为0≤P(A)≤1，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概[01]包含：A发生件B一定发生，称A包含于B(或B包含A)；若两A与B对立，则A与B必为互斥，而若A与B互斥，则不一定是对立若某的发生是A发生或B发生，则此称为A与B的并注：当A和B互斥时，A+B的概率满足加法P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+A)=P(A)+P(A若某的发生是A发生和B同时发生，则此称为A与B的交“对”是一种题思想若某个概率不易解，而对立的概率易求，应从其对的率入手解，以高解决题效率.“对”思想广开来数学中“正则任一A的概率P(A)有：0≤P(A)必然B的概率不可能C的概率121

朝上2

（1）2

，大多数次抛硬币时，大约有211

11次来说，其出现正面的概率仍为2【总结升华】随机在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的，【变式1】某射手靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能9次99

越接 n例2．做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下：设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原，向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？ 1000 1000

． f1f2f1f3（2）150004999，4998，…，也有可能是5001，50025000．12当试验次数不断地增加时，向上的频痒就会逐渐地稳定在常数0.5上，即三次试验中，向上0.5．

依赖于试验次数n频率nA，

fAnA 2说明了概率与每次试验无关，它是客观存在的一个确定的数．1】如图所示，AL1L2100位从A地到达火车站的人，结果如下：L16L20444050分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内【答案（1）0.44（2）略（3）甲应选择L1；乙应选择L1L20A1，A2L1L240分钟内赶到火车站；B1，B2L150（A）=0.+0.20.3=0.，（A）=.1+0.4=0.，（1）＞P（2L1；（1）=01+0.+0.3+02=0.8，（2）=01+0.0.4=0.9，（）＞（1类型三：随 的关，C为“至多订一种报纸D为“不订甲报E为“一种报纸也不订判断下列是不是互斥；如果是，再判断它们是不是对立：，C（）BE3）BD（4）BC（5）C【答案（1）不是互斥（2）对立（3）不是互斥（4）不是互斥（5）不是互故A与C不是互斥．互斥；由于B发生会导致E一定不发生，且E发生会导致B一定不发生，故B与E还是对立．D有可能同时发生，故B与D不是互斥B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报“只订乙报订甲、乙两种报C“至多““C不是互斥．由（4）的分析，E“一种报纸也不订”仅仅是C中的一种可能情况，C与可能同时发生，故C与E不是互斥【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义，互斥：不能同时发生的两个叫做互斥；对立：不能同时发生，但必有一个发生的两个叫做对立.【变式1】判断下列给出的条件，是否为互斥，是否为对立，并说明理由.从40张牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张.是互斥，但不是对立理由：从40张牌中任意抽取1张“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互既是互斥，又是对立“，“甲分得1号球”与“乙分得1号球”是( (A)互斥但非对立(B)对立相互独立(D)以上都不【答案】类型四：随机概率的应例4．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持．高一（2）班的、和小利实力相当，又都争着要去，班决定用抽签的方式决定，机灵的给出主意，要先抽，说先—二三四五六甲112233乙231312丙323121【总结升华】抽签中每一个被抽到的概率均是相同的，实际上在任何一个抽奖活动中，面1A、BA3等份，分别标上1，2，3B43，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了AB，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不【答案】BA34566789

类型五：互斥与对立的概5（2015至至 17xy1231008x，yA1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟 将频率视为概率可得P(A)P(A1)P(A2) 【课堂：与概率400482例2107A“107（2）设“低于7环”为E，则E为“射中7环或8环或9环或10环．由于“射中7环8910环”彼此互斥．P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97。P（E）=1P(E，，，例6．玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设A为“取出（2，，，【解析】由于A、B、C、D彼此为互斥，因此可通过两种角度解决此问题．解法一：视其为互斥，进而求概率． B)P(A)P(B) P( C)P(A)P(B)P(C) B)1 D)1P(C)P(C) D，P( C)1P(C)1 11 【总结升华】求复杂的概率通常有两种方法一是将所求转化成彼此互斥的的和；．举一反三【变式1（2015春西城区期末）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处目标得1分，在B，C 目标均得2分， 目标不得分；某同学在A 33

B，C4

4（2）分别求出得分为0分，2分，3分，4分的情况，根据互斥的概率的加法得到8

（2）【解析（1）设该同学在A处目标为A，在B处目标为B，在C处目标C，A，B，C相互独立 依题意P(A) ，P(B)P(C) 则该同学得（4分）PABC)PA)P(B)P(C)（2）该同学得0分的概率为P(ABC) 1 1 得（2分）的概率为P(ABCABC) 4

) 得（3分）的概率为P(ABC) 1313得（4分）的概率为P(ABC) 8则该同学得分少于（5分）的概率为P(ABC)P(ABCABC)P(ABC)P(ABC) 【变式2】某省是高中新课程实验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及9

5

【答案