定积分的应用

8111100081111000第章

定分应§1

平面图形的面积1．求由抛线x2与22围图形的面积。解

设所围图形面积为S。如图10-1y2解方程组，得两曲线两交点坐标为A(-1,1则积分区间为[y1]。图形面积2)dxdx)]dx312.求由曲线yln与直线,10,围图形的面积。10解

设所围图形总面积为()lnx)1110

1110

lnx)

101

110

3.抛物y2x圆x2分成两部分求这两部分面积之比解设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积则:

s

(8y2)2

cos

8433

,s2

43

.12

26

.4.

求内摆线xa

3

ta

3

t(所围图形的面积解设所围图形的全部面积为S.取积分变量为t由在第一象限的部分.

2

变到0时就得到曲线s4

2

y(t)

a

22

sin

3t2()dt12

0

sin

4

t(1

2

ta(

353)426

25.

求心形ra(1

(0)所围图形的面积

220xx220xx解设所围图形的面积为积分变量为当由变,即得到曲线在x轴上方部分.由极坐标系下面积的积分表达式有:sa2cos220[sin24

(1cos

.6.

求三叶形曲ra

a所围图形的面积.解

设三叶玫瑰线围成的区域面积为取积分变量变到

时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.如图s

6asin660026(12]04

2

sin

2

.§2由平行截面面积求体积1.如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.解设垂直与x轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V.按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为2y10016由相似三角形边长比的关系知hX所h510x2x又21x4x12所以

x41dx=-4100

22)2)50(1)2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积(1)sinx

绕x轴

0222aarr0222aarr解

0

2

xdx

2

0

12(1cosx)[xx]2

.(2)(tsint),cost)(0),0,绕轴解

vt2d[(t)]20at2t3t)

t)3

3

dt

.0（3）ra(1

(0)，绕极轴；解为

racos(0)为心脏线方程，其极轴（x轴）之上部分的参数方程

xy(1sin

.v

dx

2

dx

.

(sin

3

y2（4）绕y轴。a22解

y2a22

得y1

x

，

2

2(1aba2

2

.h3.已知球半径为验证高为h球缺体v2(r).(hr)3解设球缺体积为半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有v2rr

(r

)dxr

1xx3

rr

h(r)3

。§3平面曲线的弧长与曲率1.求下列曲线的弧长。（1）y

32

,0x

398911dt[ln(t)]2)398911dt[ln(t)]2)32r3解由于

32

)

32

12

,由曲线的弧长公式有s

31x2)2dx)204274

81027

.（2）x解令x

2

，则

2

),0由参数方程下弧长公式s(2u2u2(令2

021t22122

.（3x3ty3t(a0,0

：解x

tsinty

sin

2

tt

,s

2

3asintcost(sin2tcos2t)dtasint6a20

.(4)xatsint),y(sint0,0

);解

x

tt)

,y(sintt)],s

x

yatdt2

a.(5)ra

3

(a0,0解

sa

00

2a023(1d32

2sin

2

cos

2

d

0

sin

2

（6）r

0)(0

.解

r

)

s(a))[ln(2s(a))[ln(2由极坐标下弧长公式1ln(2)](1)2.求下列各曲线在指定点处的曲率:4,在

2

.解

因为

448,y,y,x2x3所以

x

x

.由曲率公式,线在(曲率为:k

yx

2

]

32

32

.(2)

xyx在点1,0);解因为

x

1

x

,y

x

,所以

k

(12)

24

.(3)

sint),t)(a在t

2

的.x

t

t

t

x

t

at

t

a

,

t

t

t

;y

t

t

t

.由曲率公式有k

(

22

)

32

.

(4)a

t

t(a0)在

4

的.x

cos

tsintx

(cos

t2sin

t)y

a2tcosty

sin

t

t)

t

4

324

a

t

4

32a4

t

4

324

ay

4

2

所以k

x(

)

32(224232[(a2a)]4

a

.5定积分在物理中的某些应用1有一等腰梯形闸门,上下两条底边长和6cm,高计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.解如图,点的坐标(0,5)