2019版文科数学大第八章 立体几何8.3 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义。2。了解可以作为推理依据的公理和定理.3。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角,题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力。1．四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（平行直线,相交直线)）,异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点)）（2）异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围：eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）)）。3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识拓展1．唯一性定理(1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a,就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√）（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)（3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC。(×）（4）经过两条相交直线，有且只有一个平面．（√）(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)（6）若a，b是两条直线，α,β是两个平面，且a⊂α,b⊂β，则a,b是异面直线．（×）题组二教材改编2．［P52B组T1(2)]如图所示，已知M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为________．答案60°解析连接AD1，AC,因为M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1∥MN,故∠AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于AC＝AD1＝D1C，故∠AD1C＝60°,则MN与CD1所成的角为60°.3．[P45例2]如图,在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则（1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1）AC＝BD（2）AC＝BD且AC⊥BD解析（1)∵四边形EFGH为菱形,∴EF＝EH,故AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形,∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF綊eq\f(1,2）AC，EH綊eq\f（1,2）BD，∴AC＝BD且AC⊥BD。题组三易错自纠4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析A项，设过点P的直线为n,若n与l,m都平行,则l，m平行，与l，m异面矛盾,A错;B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；C项，如图所示,在正方体ABCD—A′B′C′D′中，设AD为直线l，A′B′为直线m,若点P在P1点,显然无法作出直线与两直线都相交，C错;D项，若P在P2点,则直线CC′及D′P2均与l,m异面,D错．5．下列命题正确的有________．（填序号）①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行;③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．答案①⑤解析①正确；②错误，直线l与平面α相交时，仍有无数个点不在平面α内；③错误，直线l与平面α内过该交点的直线不是异面直线；④错误，另一条直线可能在该平面内；⑤正确．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD,EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中,显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交,CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用典例如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：（1）E，C，D1,F四点共面；（2)CE，D1F,DA三线共点．证明（1)如图,连接EF，CD1，A1B。∵E，F分别是AB，AA1的中点,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面．（2）∵EF∥CD1，EF<CD1,∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1。又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA,∴CE，D1F,DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明（1）证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点）确定一个平面,然后再证其余的线（或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．（2）证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上．（3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E，F分别为D1C1，C1B1的中点,AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：（1)D，B，F,E四点共面；（2）若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q,R三点共线．证明如图．（1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1。在正方体AC1中，B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF，DB确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2）在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β。∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ。又A1C∩β＝R,∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q,R三点共线．

题型二判断空间两直线的位置关系典例（1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1,l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析方法一由于l与直线l1,l2分别共面，故直线l与l1,l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2,l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．（2)(2017·唐山一中月考）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号)答案②④解析在图①中，直线GH∥MN；在图②中,G，H,N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH,因此直线GH与MN异面;在图③中,连接GM，GM∥HN,因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN,G∉MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形（梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练（1）（2016·山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知a，b，c为三条不重合的直线,已知下列结论:①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c,则a⊥c。其中正确的个数为（)A．0B．1C．2D．3答案B解析在空间中，若a⊥b,a⊥c,则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．题型三求异面直线所成的角典例（2018·南宁模拟）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f（1，5) B.eq\f(2，5）C。eq\f（3,5） D.eq\f(4，5）答案D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1,AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2），A1B＝BC1＝eq\r（5）,故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r（5)×\r（5))＝eq\f（4，5）,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f（4,5).

引申探究将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(9，10)”，试求eq\f(AA1,AB）的值．解设eq\f（AA1,AB)＝t，则AA1＝tAB。∵AB＝1，∴AA1＝t。∵A1C1＝eq\r(2),A1B＝eq\r(t2＋1)＝BC1，∴cos∠A1BC1＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r（t2＋1）×\r(t2＋1)）＝eq\f（9，10).∴t＝3，即eq\f(AA1，AB）＝3。思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法（1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角;（2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3）三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角．跟踪训练在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是棱B1B，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为（）A.eq\f（\r（14），7) B。eq\f(5，7）C。eq\f(\r（10)，5） D.eq\f（2\r（5），5）答案D解析如图,过E点作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，所以平面EMN∥平面ABCD,EG∥BF，异面直线BF与D1E所成的角，转化为∠D1EG，不妨设正方体的棱长为2，GE＝eq\r（5)，D1G＝eq\r(2)，D1E＝3,在△D1GE中,由余弦定理cos∠D1EG＝eq\f(9＋5－2,2×3×\r（5））＝eq\f(2\r(5),5），故选D。

构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线,α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β；②若m∥α,n∥β，m⊥n,则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n。其中所有正确的命题是________．（填序号）思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后利用模型直观地对问题作出判断,这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α，β互相垂直，如图(1）所示，故①正确；对于②,平面α，β可能垂直，如图（2)所示，故②不正确;对于③,平面α，β可能垂直,如图(3）所示，故③不正确；对于④,由m⊥α，α∥β可得m⊥β,因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g,如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n,故④正确．答案①④1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1,EF，BC都相交的直线（)A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条答案D解析在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1,EF，BC都相交．3．(2017·济南模拟）a，b,c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(）A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a,b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b,b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a,b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面;若a，b相交，b,c相交，则a，c相交、平行或异面;若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.4．(2017·福州质检)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如图，延长CA到点D,使得AD＝AC，连接DA1，BD,则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C。5．下列命题中，正确的是(）A．若a,b是两条直线,α，β是两个平面，且a⊂α,b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线,且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α,点P∈α,则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案D解析对于A，当α∥β，a,b分别为第三个平面γ与α，β的交线时,由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a,b确定的平面为α,显然a⊂α，故B错误．对于C,当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.6．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线;②若点A，B，C，D共面，点A,B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面,直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3答案B解析①显然是正确的；②中若A,B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．7．给出下列命题,其中正确的命题为________．(填序号）①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A,B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．答案①③8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线；④MN∥CD。以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM,所以不正确；③EF与MN是异面直线,所以正确；④MN与CD异面，并且垂直,所以不正确，则正确的是①③。9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．10。如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案eq\r（2）解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq\r（2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq\r(2）.11.(2018·石家庄调研）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．证明如图，连接BD，B1D1,则BD∩AC＝O,∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D,则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1，H，O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r（2）,DA⊥AC,DA⊥AB，若DA＝1,且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF,∵在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD。∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．在Rt△EAB中，AB＝AC＝1,AE＝eq\f(1，2）AD＝eq\f(1,2），∴BE＝eq\f（\r(5),2)。在Rt△EAF中，AF＝eq\f（1，2)AC＝eq\f(1，2)，AE＝eq\f（1,2)，∴EF＝eq\f（\r（2)，2)。在Rt△BAF中,AB＝1,AF＝eq\f（1，2）,∴BF＝eq\f(\r（5)，2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f（\f(1,2）EF，BE）＝eq\f(\f（\r（2),4),\f（\r（5)，2)）＝eq\f（\r(10)，10).∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10)。13．(2018·长春质检）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2,l2⊥l3，l3⊥l4,则下列结论一定正确的是（)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D解析如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC,l3＝DA。若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4,此时l1∥l4，可以排除选项A和C。若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．14.（2017·郑州质检)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中,下列四个命题中不正确的是________．（填序号)①BM是定值;②点M在