数值计算第三章答案讲课稿

数值计算第三章答案精品资料3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f（x）和g（x）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x)(a,b均为常数)亦准确成立.因此，求积公式（3.4）具有m次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于 m次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立.证明：对于f(x),g(x)机械求积公式都成立bf(x)dxabaf(x)dxa同理可得b

nbAkf(xk)g(x)dxk0anAkaf(xk)k0bnbg(x)dxAkbg(xk)a0knn

nAkg(xk)k 0n[af(x)bg(x)]dxAkaf(xk)Akbg(xk)Ak[af(x)bg(xk)]ak0k0k0对于线性组合af(x)bg(x)机械求积公式也成立机械求积公式具有m次代数精度根据定义可知：对于小于等于m次的多项式f(x)xj(j0,1,m)成立对1,x,x2,x3,,xm的线性组合亦准确成立，对xm1不准确成立对于任意小于等于m次的多项式准确成立对1,x,x2,x3,,xm的线性组合亦准确成立若对xm1也能准确成立，则对1,x,x2,x3,,xm,xm1的线性组合亦准确成立，即对任意(m1)次多多项式都能准确成立，与题设矛盾对xm1不能成立3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson公式则具有3次代数精度。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2精品资料解：根据代数精度定义 知：b(ba)f(ab)中矩形公式：f(x)dxa2ab当f(x)时bba;(bba;左边右边a2b2a2abb22当f(x)时bf(x)dx;(ba)f(a左边右边xa22)2;当f(x)x2时f(x)dxb3a3(ba)f(ab)3ab22ba3;左边右边ba324中矩形公式具有次代数精度1公式：b(ba)ab）f(x)dx（f(a)4f()62a当时b(ba)ab）左边右边f(x)f(x)dxba;（f(a)4f()ba;a62当时bb2a2(ba)ab）b2a2左边右边f(x)f(x)dx;（f(a)4f();a2622仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3精品资料当2时bb3a3(ba)ab）b3a3左边右边f(x)xf(x)dx;（f(a)4f();3623a当3bb4a4(ba)ab）b4a4左边右边f(x)x时f(x)dx;（f(a)4f();4624a55当f(x)x4时f(x)dxba;ba55b55a5a4b2a2b3ab42a3b2(ba)ab）（f(a)4f();6242左边右边，公式具有次代数精度Simpon33.3已知数据表x1.11.31.5ex3.00423.66934.4817试分别用Simpson法与复合梯形法计算积分1.5.exdx1.1解：法：x(1.51.1)1.51.11.5edx[f(1.1)4f()f(1.1)]Simpon1.162(3.004243.66934.4817)1.4775415复合梯形法：由题意知 n 21.521.11.51.11.5xedx[f(1.1)2f()f(1.1)]1.1220.1（3.004223.6693）4.48173.4若f''(x)0,证明用梯形求积公式计算积分bf(x)dx所得结果比准确值a大，并说明几何意义.（3''b证明：设为的准确值，T1为梯形求积公式，则I-T1-baf()[a,b]Iaf(x)dx12''ba0,f(x)0IT1即梯形求积公式得到的结果比准确值大0IT1几何意义：f''(x)0被积函数为严格凸函数，梯形插值函数为连接的直线，(a,f(a)),(b,f(b))T1为该直线与被积函数曲线围成的曲面面积13.5分别用复合梯形法和复合 Simpson法计算积分 exdx，怎样取n才能保证计0算结算结果有6位有效数字.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4精品资料（ba211x）''解：设I为的准确值，|-(f(b)-f(a))||(e-1)|0edx|I-Tn|12n2212n1ba433'11解得|I-Sn||-180(2n)(f(b)-f(a))||18016n4(e-1)|0.000005n1169T170(f(0)f(1)2f(xk))1.178282170k11313S4(f(0)f(1)4f(xk2f(xk))1.17828464)k02k1x31,0x3.6设f(x)1.0010.3(x0.1)0.3(x0.1)22(x0.1)3,0.1x1.0090.15(x0.2)0.9(x0.2)22(x0.2)3,0.2x

0.000005 解得n 17040.10.2;0.3.分别用复合梯形法（n=6）和复合Simpson法（n=3）计算积分0.3f(x)dx，并0估计误差.解：Th[f(a)25f(x)f(b)]k62k10.3[f(0)2(f(0.05)f(0.1)f(0.15)f(0.2)f(0.25)f(0.3)]120.3[12(1.0001251.0011.00351.0091.019)1.035]120.30250625h[f(a)4221)S3f(xk1)2f(xkf(b)]6k02k120.34(f(0.05)f(0.15)f(0.25))2(f(0.1)f(0.2))f(0.3][f(0)180.3[14(1.0001251.00351.019)2(1.0011.009)1.035]180.302425IT6h2'(b)f'(a)]0.320]0.00008125[f12[0.391236IS61(h)4[f3(b)f3(a)]1(0.3)4[126]0180218063.7导出中矩形公式的余项.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5精品资料bf(x)dx(ba)f(ab)解：中矩形公式：a2Rf(x)dx(ba)f(ab)b2aabbbaf(x)dxf(2)dxa[f(x)f(abb)]dxa2[f'(aab)1f''()(xab)2]dxbb)(xa2222f'(ab)bab)dx1f''()(xab)2dx2(x222a1f''()(ba)3243.8.（略）3.9设（3.6）是Gauss公式，证明它的求积系数恒大于零，求积系数之和等于 2.证明：1n1nxxjf(x)dxAkf(xk);其中Akdx是Gauss公式1k11j1xkxjjk上式的代数精度为2n11n上式对于f(x)1准确成立即1dxxAk21k13.101f(x)dx5f(3)8f(0)5f(3)是Gauss求积公式.1)证明1959952)用3点Gauss求积公式计算积分1ex2dx.0仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6精品资料证明：1）：当f(x)当f(x)x时当f(x)x2时当f(x)x3时当f(x)x4时当f(x)x5时当f(x)x6时

1时f(x)dx2;5f(3)8f(0)5f(3)2;左边右边119599510;538530;左边右边f(x)dxf()f(0)f()195995f(x)dx2;2;5f(3)8f(0)5f(3)左边右边113959953f(x)dx0;5f(3)8f(0)5f(3)0;左边右边11959952;2;f(x)dx5f(3)8f(0)5f(3)左边右边11595995510;5f(38f(0)530;左边右边f(x)dx)f()1959952;6;左边右边f(x)dx5f(3)8f(0)5f(3)1179599525f(x)dx5f(3)8f(0)5f(3)的代数精度为511959953)3)为Gauss公式节点n3且5231f(x)dx5f(8f(0)5f(1195995111121521(t)）：xdxe22dt20129