演示文稿高斯公式和斯托克斯公式

演示文稿高斯公式和斯托克斯公式当前1页，总共50页。（优选）高斯公式和斯托克斯公式当前2页，总共50页。一、高斯公式定理11.7

高斯公式11.6高斯公式和斯托克斯公式当前3页，总共50页。。证明11.6高斯公式和斯托克斯公式当前4页，总共50页。根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法11.6高斯公式和斯托克斯公式当前5页，总共50页。。11.6高斯公式和斯托克斯公式当前6页，总共50页。。同理------------------高斯公式合并以上三式得：11.6高斯公式和斯托克斯公式当前7页，总共50页。。Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知11.6高斯公式和斯托克斯公式当前8页，总共50页。例1解.故11.6高斯公式和斯托克斯公式当前9页，总共50页。例2解11.6高斯公式和斯托克斯公式当前10页，总共50页。。(利用柱面坐标得)11.6高斯公式和斯托克斯公式当前11页，总共50页。使用Guass公式时应注意:11.6高斯公式和斯托克斯公式当前12页，总共50页。例311.6高斯公式和斯托克斯公式当前13页，总共50页。解曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式空间曲面在面上的投影域为11.6高斯公式和斯托克斯公式当前14页，总共50页。。11.6高斯公式和斯托克斯公式当前15页，总共50页。。故所求积分为11.6高斯公式和斯托克斯公式当前16页，总共50页。定理11.8设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与

的正向符合右手法则,二、斯托克斯公式

(斯托克斯公式)

在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,在包含则有11.6高斯公式和斯托克斯公式当前17页，总共50页。证明是有向曲面的正向边界曲线右手法则如图11.6高斯公式和斯托克斯公式当前18页，总共50页。思路：曲面积分二重积分曲线积分1211.6高斯公式和斯托克斯公式当前19页，总共50页。。111.6高斯公式和斯托克斯公式当前20页，总共50页。根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线11.6高斯公式和斯托克斯公式当前21页，总共50页。同理可证：故有结论成立.11.6高斯公式和斯托克斯公式当前22页，总共50页。便于记忆形式：另一种形式11.6高斯公式和斯托克斯公式当前23页，总共50页。Stokes公式的实质:

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形11.6高斯公式和斯托克斯公式当前24页，总共50页。例4解11.6高斯公式和斯托克斯公式当前25页，总共50页。11.6高斯公式和斯托克斯公式当前26页，总共50页。例5解按斯托克斯公式,有11.6高斯公式和斯托克斯公式当前27页，总共50页。。11.6高斯公式和斯托克斯公式当前28页，总共50页。三、通量与散度1.通量:11.6高斯公式和斯托克斯公式当前29页，总共50页。

上侧的磁通量，其中为上半球面例6设磁场中磁感应强度求其通过解所求的磁通量为设取下侧，11.6高斯公式和斯托克斯公式当前30页，总共50页。

则由高斯公式得11.6高斯公式和斯托克斯公式当前31页，总共50页。2.散度:11.6高斯公式和斯托克斯公式当前32页，总共50页。散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,11.6高斯公式和斯托克斯公式当前33页，总共50页。高斯公式可写成11.6高斯公式和斯托克斯公式当前34页，总共50页。例7求向量场在下列各点处的散度，其中解则故11.6高斯公式和斯托克斯公式当前35页，总共50页。四、环流量与旋度1.环流量11.6高斯公式和斯托克斯公式当前36页，总共50页。2.旋度:利用stokes公式,有11.6高斯公式和斯托克斯公式当前37页，总共50页。。11.6高斯公式和斯托克斯公式当前38页，总共50页。

斯托克斯公式的又一种形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式当前39页，总共50页。斯托克斯公式的向量形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式当前40页，总共50页。Stokes公式的物理解释:11.6高斯公式和斯托克斯公式当前41页，总共50页。例8求向量场的旋度及其沿闭曲线的环流量，其中为球面和平面的交线，从轴正向看

为逆时针方向。解由旋度的定义11.6高斯公式和斯托克斯公式当前42页，总共50页。向量场沿闭曲线的环流量为其中为所围的平面区域且取上侧，投影区域为，于是所求的环流量为在面上的11.6高斯公式和斯托克斯公式当前43页，总共50页。内容小结1.高斯公式及其应用应用:(1)计算曲面积分

(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:

11.6高斯公式和斯托克斯公式当前44页，总共50页。2、斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的充要条件在内与路径无关在内处处有设P,Q,R

在内具有一阶连续偏导数,则11.6高斯公式和斯托克斯公式当前45页，总共50页。3.*通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续

偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为

G内任意点处的散度为(n为的单位法向量）

11.6高斯公式和斯托克斯公式当前46页，总共50页。4.*旋度设

梯度:散度:旋度:则11.6高斯公式和斯托克斯公式当前47页，总共50页。思考与练习？所围立体,