【全国校级联考】浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考数学试题

衢州五校联盟高三联考数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（ ）A．B．C．D．2.双曲线的渐近线方程是（ ）A．B．C．D．3.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模数为（ ）A．2B．C．5D．4.函数（）的图象大致为（ ）A． B． C.D．5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.（，）的最大值为．12.若，满足，的最小值为；的最大值为．13.若，则，．14.元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有种不同取法．（用数字作答）15.在锐角中，内角，，的对边分别为，，且，则．16.在中，，，且，则的取值范围是．17.已知函数（），若存在三个互不相等的实数，，使得成立，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中，分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点，，两点的横坐标分别为1和4，且.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.19.（本题满分15分）如图，的外接圆的半径为，圆所在的平面，，，，且，.（1）证明：平面平面；（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知等比数列满足条件，，，数列满足，（，）（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，，求的前项和.21.（本题满分15分）如图，过抛物线（）上一点，作两条直线分别交抛物线于点，，若与的斜率满足.（1）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值；（2）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数有两个极值点，（）.（1）求的取值范围；（2）证明：.衢州五校联盟高三联考数学参考答案一、选择题题号12345678910答案ACDACBDCAB10.因为，令，在，∴，故.设，，则，∴在上单调递增，∴，即，.令，则，∴，故.综上，选B．11.，-212.4,313.15,3214.9015.，16.17.17.解：若存在三个互不相等的实数，，使得成立，等价为方程存在三个不相等的实根，当时，，所以，解得，所以当时，，只有一个根；所以当时，方程存在两个不相等的实根，即，，设，，所以，令，解得，当时，解得，在上单调递增；当时，解得，在上单调递减.又，，因为存在两个不相等的实根，所以.故答案为.18.解：（1）由图可知，所以，又因为，，所以，又因为（），因为，所以.所以函数，令，，解得，，所以函数的单调递增区间Wie（）（2）因为，，所以.又因为，所以.所以.19.（1）证明：∵平面，，∴平面，∴.∵，，∴.∵的半径为，∴是直径，∴.又∵平面，∴，故平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：方法1：假设点存在，过点作于，连结作于，连结，∵平面平面，∴平面，∴为与平面所成的角.设，计算易得，，故.由，解得（舍去），，故，从而满足条件的点存在，且.方法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，易知平面的法向量为，假设点存在，设，则，再设，，∴，即，从而.设直线与平面所成的角为，则，解得或，其中应舍去，而，故满足条件的点存在，且点的坐标为.20.解：（1）设的通项公式为，，由已知，，得，由已知，即，解得，，所以的通项公式为.因为，（，），累加可得.（2）当时，，，当时，①，②，由①-②得到，，，综上，，.③，④，由③-④得到，所以.21.（1）证明：由抛物线（）过点，得，即.设，，因为，所以.因为，，代入上式得到，通分整理得，设直线的斜率为，由，，得（）.由于，将其代入上式得.（2）解：设直线的方程为，由，得，因为，所以，且，，所以.又点到直线的距离为，所以.令，其中，则由，当时，，所以单调递减；当，，所以单调递增，故的最大值为，故的面积的最大值为.22.解：（1），设，则.当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值.因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，所以，