单相正弦交流电路

单相正弦交流电路第1页/共150页2.1正弦交流电的三要素正弦交流电也称为正弦量，其数值是随时间按正弦规律变化的，它的数学表示方法有三角函数形式及波形图。三角形式的正弦电压函数式如下其波形如图2-1－1所示由于正弦交流电的大小和方向都随时间变化而变化，而利用电路定律分析电路时，必须知道电压或电流的方向。第2页/共150页因此规定：若正弦电压u作用于图2-1-2电路上，首先设定电压的正方向，并用实箭头表示，而用“+”、“-”与“

”、“

”表示正负半周的实际极性。其关系为：当u正半周时，即u>0，正方向与实际极性相同，如图2-1-2中“+”、“-”表示正半周的实际极性；当u负半周时，u<0，正方向与实际极性相反，如图2-1-2中“

”、“

”表示负半周的实际极性。第3页/共150页2.1.1周期、频率与角频率：表示正弦量变化的快慢1.周期T：正弦量变化一次所需的时间，即为正弦量的周期，单位为秒（S），如图2-1-1所示;2.频率f：正弦量每秒内变化的次数，称为正弦量的频率，其单位为1/秒，即赫兹（Hz）。一个正弦量可用三个参数来描述它的特征，即周期（频率）、幅值（有效值）及相位（初相位），这三个量称为正弦量的三要素，下面分别介绍这三个量。第4页/共150页3.角频率ω：正弦量每秒内变化的角弧度，称为正弦量的角频率，其单位为弧度/秒（rad/s）。注意：在我国生产的正弦交流电的频率为50Hz，称为工频。不同的国家，工频电压的频率也不相同。上面三个量的关系为例2-1-1已知正弦电流为，试求其周期、频率及角频率。解：由电流的表达式可知，ω＝3140rad/s，则第5页/共150页1.瞬时值：即是正弦量在每一时刻的值，用小写字母表示，如电压u

、电流i与电动势e。2.幅值（最大值）：正弦量的最大瞬时值，称为它的幅值，用大写字母与小写字母m做下标来表示，如电压的幅值Um、电流的幅值Im与电动势的幅值Em。2.1.2幅值与有效值：表示正弦量的大小3.有效值正弦量的瞬时值和幅值都是表示正弦量的大小。但在实际测量正弦量的大小时，测量仪表测量的不是瞬时值，也不是幅值，而是有效值，因为仪表的刻度是按有效值刻度的。那么有效值是怎么定义的呢？第6页/共150页注：正弦量的有效值用大写字母表示，如电压、电流与电动势的有效值用U、I和E表示。设正弦电流为i＝Imsin（ωt＋ψ），则其有效值为正弦量的有效值是根据电流的热效应定义的，其大小为正弦量的均方根值，若设某正弦量为f（t），则有效值为第7页/共150页解：①由已知可知ω＝314rad/s，可得即正弦量电流i

的有效值I是其幅值Im（最大值）的例2-1-2已知正弦电压为，试求①其频率和周期；②幅值和有效值；③当t＝1/600秒时的电压瞬时值。同理正弦电压u

与正弦电动势e

的有效值U、E

与最大值Um、Em的关系为第8页/共150页有效值为③当t＝1/600秒时，电压瞬时值为②幅值为第9页/共150页2.1.3相位、初相位及相位差1.相位（相位角）：正弦量的表达式中正弦符号后面的部分。如正弦电压的表达式为则其相位为（ωt＋45o)。2.初相位（初相角）：t＝0(计时时刻）时的相位（相位角），称为正弦量的初相位，用ψ表示。注：相位决定正弦量在任一时间t的瞬时值，而初相位则决定正弦量在t=0时的初始值。ψ>0时正弦量的初始值为正；ψ<0时正弦量的初始值为负。如其初相角为45o第10页/共150页例2-1-3已知u=12sin(314t-300)V,i=3sin(314t+600)A。试画出这两个正弦量的波形，并求它们在t=0时的值。解：这两个正弦量的波形图如图2-1-3所示；在t＝0时第11页/共150页a.当>0，即ψ1>

ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u比电流i

的幅值先来到，我们称u超前i，其角度为，如图2-1-4所示。3.相位差对于两个或两个以上同频率的正弦量，它们之间的相位之差或初相位之差称为正弦量的相位差。

如设u=Umsin(ωt+ψ1),i=Imsin(ωt+ψ2)，则与的相位差为第12页/共150页b.当<0，即ψ1<ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u比电流i

的幅值后来到，我们称u滞后i，其角度为，如图2-1-5所示。c.当＝0，即ψ1＝ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u与电流i

的幅值同时来到，我们称u与i同相位，如图2-1-6所示。第13页/共150页注意：只有同频率的正弦量（两个以上）才可以比较它们的相位，而且在正弦交流电路中，各处的信号不仅有大小的关系，还有相位的不同。比较相位的超前与滞后，可判断电路的性质，故相位差的概念是很重要的。d.当＝π，即ψ1－ψ2＝π，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u的正幅值与电流i

的负幅值同时来到，我们称u与i反相位，如图2-1-7所示。第14页/共150页解：三个正弦量的波形图如图2-1-8所示例2-1-4已知三个正弦量为u=100sin(ωt＋450)Vi1=20sin(ωt)A

，i2=40sin(ωt-450)A,试画出它们的波形，求出它们之间的相位差，并比较它们的相位关系。u的初相位为i1的初相位为i2的初相位为第15页/共150页u与i2的相位差为：u与i1的相位差为：i1与i2的相位差为：由相位差及波形图可知u超前i1，其角度为1=450；u超前i2，其角度为2=900;i1超前i2，其角度为3=450。则它们之间的相位差为第16页/共150页2.2正弦量的相量表示法一个正弦交流量的三要素可以用波形表示出来，也可以用正弦函数表示出来。在分析和计算复杂正弦交流电路时，利用画波形图的方法，虽然直观，但繁琐且不精确；利用正弦函数对电路进行分析和计算时，三角函数的变换更令人望而却步。而正弦交流量的三要素也可以用另一种形式表述出来，那就是数学中的复数，在电工学中被称为相量。第17页/共150页假如在图2-2-1的虚平面内,OA为一有向线段，其长度为Um，与实轴的夹角即辐角为ψ；它在虚轴上的投影为Uo，即线段AB长度；且此有向线段OA在虚平面内以角速度ω逆时针方向旋转。

1.有向线段：2.2.1有向线段及其复数表示第18页/共150页则在任意时刻此有向线段在虚轴上的投影为若现有一正弦量u，其幅值为Um，角速度为ω，初相位角为ψ，用三角函数表示为u＝Umsin（ωt＋ψ），则有向线段OA就具有正弦量u的三个要素，因此可以用有向线段OA表示正弦量u。第19页/共150页根据数学理论，有向线段可以用复数表示，其形式为代数式复数的辐角2.有向线段的复数表示其中OB=Umcosψ实部BA=Umsinψ虚部复数的模第20页/共150页指数式极坐标式注意：在复数的运算中，加、减法运算可使用复数的代数形式，而乘、除法可使用其指数形式。复数还可以用下面的形式表示，即为第21页/共150页例2-2-1在虚平面内标出下列有向线段，并变成指数式和极坐标式。①OA＝2+j2;②OB＝6-j8;③OC＝－4-j3。解：虚平面内的各有向线段如图2-2-2所示。第22页/共150页2.2.2正弦量的相量表示由于正弦量可以用复平面的有向线段表示，而有向线段又可以用复数表示，故正弦量也可以用复数表示。为了和数学中的复数相区别，将电工学中表示正弦量的复数称为相量。1.正弦量相量的概念2.正弦量的相量表示形式正弦量的相量是用大写字母上面加点表示，如正弦量u＝Umsin（ωt＋ψ）V，其最大值相量的代数式为：由上式可知：正弦量的最大值相量，其模为正弦量幅值Um，辐角为初相位角ψ。为了区别电工中电流的表示i第23页/共150页与有向线段的表示法相同，除了代数形式外，还可以表示成指数式和极坐标式，即由于在分析和计算正弦交流电路中常用到正弦量的有效值，故我们常常把有效值相量称为正弦量的相量，其模为正弦量的有效值，辐角仍为正弦量的初相角，如上面电压u＝Umsin（ωt＋ψ）V的相量为

注意：（1）只有正弦交流量才可以用相量来表示；（2）正弦量的相量形式只表示它，而不等于它，即；（3）||应取小于1800。第24页/共150页例2-2-2写出下面正弦量的有效值相量的所有形式。解：第25页/共150页第26页/共150页例2-2-3写出下面相量的正弦量的函数形式。解：先将i1的有效值相量转换成指数式故：第27页/共150页若正弦电压u的有效值相量为：则：当A>0,B>0时，ψ在第一象限；当A<0,B>0时，ψ在第二象限；当A<0,B<0时，ψ在第三象限；当A>0,B<0时，ψ在第四象限。注意：由相量的代数式化为指数式时其初相角所在的象限。

2.2.3相量图在同一虚平面内，对于同频率正弦量，将它们相量的初始位置以有向线段的形式画出来，这样的图称为相量图。各相量与实轴的夹角为初相角，其长度为相量的模。第28页/共150页注意：（1）只有同频率的正弦量才可以画在同一相量图上；（2）在相量图上，不仅可以比较同频率正弦量的大小关系，还可以比较它们的相位。按逆时针方向，在前面的相量，其相位超前（但<1800）。解：相量图如图2-2-3所示。例2-2-4画出下列相量的相量图。第29页/共150页2.2.4虚数单位j

的意义－－－旋转90o算子由于设有一相量则此相量与±j

相乘时，有由上式可以看出，当一个相量乘以±j

后，产生的新相量的模与原相量相同，但辐角却逆时针或顺时针旋转了900，如图所示。第30页/共150页与数学的虚数单位相同。在数学中虚数单位用

i表示，这与电工学中表示电流的符号

i

相冲突，故在电工中用j

表示。若+j乘以+j，则相当于虚轴逆时针旋转了900，为实轴的反方向，即第31页/共150页在计算正弦交流电路时，利用三角函数计算很繁琐；用正弦波形虽可以将几个正弦量的相互关系在图形上清晰表示出来，但作图不方便，且结果不准确。而相量运算是将三角函数运算变成代数运算，并同时求出正弦量的大小和相位，是分析正弦交流电路的主要运算方法。另外相量图也是分析正弦电路的辅助方法。表示正弦量有三种方法：三角函数式，波形图和相量形式第32页/共150页例2-2-5已知两正弦电流，试用三种方法计算。解：1.三角函数式：第33页/共150页3.相量计算：故：2.作波形图：如图2-2-4所示第34页/共150页故：4.作相量图：如图2-2-5所示，由图可得：第35页/共150页2.3单一元件的正弦交流电路在正弦交流电路中，不仅有电阻元件，还有电感元件和电容元件，其两端的电压与电流不仅有大小的关系，还有相位的关系，除此之外，还有功率问题。因此在讨论复杂的正弦交流电路之前，先讨论单一元件的正弦交流电路。2.3.1纯电阻元件的正弦交流电路1.有效值的关系一、电压与电流的关系对于线性电阻元件，若在其两端加一正弦交流电压uR，如图2-3-1中,则会产生电流iR。设电流，为参考正弦量，即第36页/共150页由欧姆定律得则：或以上说明电阻两端的电压与电流为同频率的正弦量，电阻两端电压有效值与电流有效值之比等于电阻R，且电压的初相角ψRu＝0。第37页/共150页从上面的分析可以看出，电阻元件两端的电压与电流之间的相位差为零，即说明纯电阻两端的电压与电流同相位，其相量图如图2-3-2所示。3.相量形式将电压与电流写成相量形式，即则：或者2.相位关系第38页/共150页二、功率说明电阻两端电压相量与电流相量符合欧姆定律，即为欧姆定律的相量式，如图2-3-3所示。a.瞬时功率pR

等于电压瞬时值与电流瞬时值的乘积,即由上式可以看出，瞬时功率是以2ω角频率变化的，而且由于,故瞬时功率pR≥0，即电阻为取用电能的元件第39页/共150页图2-3-4为电阻两端电压、电流及瞬时功率的波形图。b.平均功率PR（有功功率）瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率或有功功率。即注：功率的单位为瓦特（W）、千瓦特（KW）等。上式与直流电路电阻元件功率的计算公式相同，但注意这里电压UR和电流IR不是直流值，而是交流电压与电流的有效值。第40页/共150页一、电压与电流之间的关系1.瞬时值的关系在图2-3-5中，若忽略线圈的电阻，则L为不带铁芯的纯电感线圈。2.3.2纯电感元件的正弦交流电路若加正弦电压，即则会产生同频率的正弦电流iL。由电磁感应定律可知，交变的电流产生交变的磁通；而交变的磁通又产生感应电动势，且由电磁感应定律可知，感应电动势与磁通的关系为其中负号说明感应电动势的变化与磁链Ψ＝NΦ的变化相反。第41页/共150页或注：电感的单位为亨利（H）或毫亨利（mH）对于无铁芯的电感线圈元件，其磁链与电流成正比，其系数即为电感参数L，简称为电感，即将

代入得：对于图2-3-5，根据kVL定律可得则：这就是正弦交流电路中纯电感元件两端的电压瞬时值和电流瞬时值的关系，即电感元件两端的电压与电流的变化量成正比。第42页/共150页设电流iL为参考正弦量，即2.有效值的关系其初相角为ψLi＝0则可得电感两端的电压为其中：或第43页/共150页电感两端的电压与电流为同频率的正弦量，其初相角ψLu＝900，电感元件两端电压有效值与电流有效值之比等于感抗XL。其中XL＝ωL＝2πfL

，其单位也是欧姆（Ω），其大小与频率有关。当f＝0即为直流时，XL＝0，电感元件相当于短路；当f增加时，XL

也随之增大。由上面分析可以看出：第44页/共150页从上面可以得出，电感元件两端的电压与电流之间的相位差为900，且电压超前电流900角，即其相量图如图2-3-6所示。3.相位关系第45页/共150页3.相量形式注：电工学中规定：若电压超前电流，相位差>0；若电压滞后电流，相位差<0。故对于纯电感元件的正弦交流电路，其L=900>0,

说明电压超前电流900用相量的形式表示电感元件两端的电压与电流，即则：或者：第46页/共150页此式也可以称为电感元件的欧姆定律相量式，只是用jXL代替电阻R。其电路如图2-3-7所示。二、功率a.瞬时功率pL:由上式可以看出，电感元件的瞬时功率是一个角频率为2ω的正弦量第47页/共150页从图中可以看出，在电流的第一个1/4周期内，由于PL>0，故电感相当于负载元件，取用电能，即将电能转化成磁能存储在电感元件中。而在电流的第二个1/4周期内，由于PL<0，故相当于电源元件，发出电能，即将存储的磁能转化为电能释放出来。如图2-3-8为纯电感元件的电压、电流与瞬时功率的波形b.平均功率PL（有功功率）：上式说明纯电感元件是不消耗电能的。第48页/共150页虽然电感元件不消耗电能，但却与电源有能量交换的过程，此过程的大小规模用瞬时功率的幅值来度量，称为储能元件的无功功率，即其单位为乏（Var）或千乏（Kvar）

c.无功功率QL:第49页/共150页解：对于电阻电路，其电流与电压同频率且同相位，其最大值的关系为例2-3-1交流电压u＝311sin（314t－60o），作用在20Ω的电阻上，试写出电流的瞬时值函数式、相量，画出相量图，并求其平均功率。故电流的瞬时值函数式为电流相量为：第50页/共150页其平均功率为其相量图如图2-3-9所示例2-3-2在纯电感元件的正弦交流电路中，L＝100mH，f为工频，（1)已知，求电压u；（2)已知，求电流，并画出相量图。解：（1)感抗XL为电压有效值为第51页/共150页(2)由已知可得：其相量图如图2-3-10所示。对于纯电感电路，电压超前电流900角，故第52页/共150页2.3.4纯电容元件的正弦交流电路一、电压与电流之间的关系1.瞬时值的关系若uC

为正弦交流电压，则电容器极板上的电荷是变化的。而电流则是电荷的变化率，即

如图2-3-11为纯电容元件的正弦交流电路第53页/共150页上式代入到其中C的单位为法拉（F），微法（μF）及皮法（pF）由于纯电容元件极板上的电荷与两端电压成正比，其系数为电容器参数C，即得1F＝106μF＝1012pF第54页/共150页2.有效值的关系上式即为电容器两端电压与电流的瞬时值的关系,即电容器中的电流是和电压的变化率成正比的。注意：以上元件无论是电阻元件、电感元件还是电容元件，其两端的电压与电流的正方向都取关联方向设电容元件两端电压为参考正弦量，即也就是电压的初相角，则第55页/共150页或由上式可知：（1)电容元件的电流与两端电压为同频率的正弦量，初相角为ψCi＝90o；（2)电容元件两端的电压与电流有效值之比等于容抗。其中其中容抗Xc为其单位为欧姆（Ω），表示电容元件对正弦交变电流的阻碍作用。当为直流时，即f＝0，电容相当于开路；当频率增加时，容抗减小。第56页/共150页在相位上，电容元件两端电压与电流的相位差为说明电压滞后电流900角，其相量图如图2-3-12所示。3.相位关系第57页/共150页若电流为则电压为4.相量形式那么电压相量和电流相量的比为或者第58页/共150页1.瞬时功率pC:若已知电流iC为参考正弦量，即二、功率上式也可以称为电容元件的欧姆定律相量式，只是用－jXc代替电阻R。其电路如图2-3-13所示。则电压uC为第59页/共150页故瞬时功率为由上式可以看出，电容元件的瞬时功率也是一个角频率为2ω的正弦量，如图2-3-14为电容元件的电压、电流与瞬时功率的波形。第60页/共150页从图中可以看出在电流的第一个1/4周期内，由于pC<0，故相当于电源元件，发出电能，它将存储的电场能转化成电能释放出来（与电感元件相反）。而在电流的第二个1/4周期内，由于pC>0，故相当于负载元件，取用电能，即将电能转化为电场能存储在电容元件中。2.平均功率PC（有功功率）上式说明纯电容元件也是不消耗电能的。第61页/共150页虽然电容元件不消耗电能，但也与电源有能量交换的过程，此过程的规模用瞬时功率的幅值来度量，但与电感元件的能量交换过程相反，故规定电容元件的无功功率为负值，即其单位为乏（Var）或千乏（Kvar）。3.无功功率QC第62页/共150页例2-3-3把一个25μF的电容接到频率为50Hz，电压的有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少？解：当f=50Hz时当f=5000Hz时由此可见，当电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。第63页/共150页解：（1)由已知可得：例2-3-4对于纯电容元件的正弦交流电路中，电容C＝4μF，f=50Hz,(1)已知，求电流i;（2)已知，求电压u，并画出相量图。则电流i为第64页/共150页其相量图如图2-3-15所示（2）已知电流则第65页/共150页2.4RLC串联的正弦交流电路的分析与计算纯电感元件只是忽略了线圈的电阻R；纯电容元件只是认为其电阻R无穷大。上节讨论了单一元件的正弦交流电路，是理想化的模型。但在实际中，电感元件、电容元件的实际电路如图2-4-1所示第66页/共150页在这一节中，讨论电阻元件、电感元件与电容元件三者串联的正弦交流电路，分析其电压与电流的关系及功率等。2.4.1电压与电流的关系1.瞬时值的关系如图2-4-2中为RLC串联电路两端加一正弦电压u，则产生正弦电流i。由于各元件通过的电流相同，故取电流i作为参考正弦量，i＝0o，即第67页/共150页由基尔霍夫电压定律（KVL）可得则各元件的瞬时电压为则：即同频率的正弦量相加，其结果仍为同频率的正弦量第68页/共150页2.相量图：若i为参考正弦量，即初相角ψi＝0o

。由上节内容可知，电阻两端电压与电流同相位，电感两端电压超前电流90o角，电容两端电压滞后电流90o角。其相量图如2-4-3所示。从上面可知u与i的频率相同，它们的相位差为。第69页/共150页3.有效值的关系由图2-4-3相量图可得注意：而则即：第70页/共150页R为电阻，X＝XL－XC称为电抗。上式说明RLC串联电路两端电压有效值U与电流有效值I之比等于电路的阻抗，即其中称为RLC串联电路的阻抗，与电阻的单位相同，也是欧姆（Ω）第71页/共150页由图2-4-3相量图可得由上式可知，电压与电流之间的相位差是由电路的参数决定的。4.相位关系第72页/共150页*当X>0即XL>XC时，电压超前电流角，如图2-4-4所示，电路为电感性质。*当X<0即XL<XC时，电压滞后电流角，如图2-4-5所示，电路为电容性质。第73页/共150页这是一种特殊情况，由于发生在RLC串联电路，故被称之为串联谐振。此时，且因为相位相反，故互相抵消，。当X＝0即XL＝XC时,＝0，电压与电流同相位，如图2-4-6所示，电路为电阻性质第74页/共150页由于电流

i为参考正弦量，即其相量为且它们为同频率的正弦量，故可写成5.相量形式而即第75页/共150页也就是说RLC串联电路两端电压与电流的相量之比等于Z

图2-4-7为相量表示的RLC串联电路。其中Z称为RLC串联电路的复数阻抗，单位为欧姆（Ω），是一个纯复数，而不是相量，故不能写成。第76页/共150页辐角为是电路的阻抗，它等于电路两端电压与电流有效值之比它确定了电路两端电压与电流的相位之差，也确定了电路的性质。复数阻抗Z的模为第77页/共150页总结：*>0，说明电压超前电流角，电路为电感性质；<0，说明电压滞后电流角，电路为电容性质；＝0，说明电压与电流同相位，电路为电阻性质。第78页/共150页例2-4-1在RLC串联电路中，试计算下列各题，并说明电路的性质。解：由于Z的辐角＝45o>0，故电压超前电流，是感性电路。则：R＝10Ω，X＝0,由于Z的辐角为＝0，故此电路为阻性电路。第79页/共150页则：R＝0，X＝－20Ω,由于Z的辐角为＝-90o<0,故此电路为容性电路。例2-4-2如图2-4-8交流两端网络，已知，，试写出电压与电流的相量，并求其阻抗、复数阻抗，判断电路的性质。解：电压与电流的相量为第80页/共150页由于复数阻抗Z的辐角为＝150o>0，故电路为感性复数阻抗为2.4.2功率阻抗为1.瞬时功率即瞬时功率是以2ω角频率变化的正弦量。第81页/共150页由于电感元件与电容元件不耗能，故电路的有功功率就是电阻所消耗的功率，即由上式可知，若电路中有几个电阻元件，不管储能元件有多少，电路所消耗的有功功率即为所有电阻所消耗的功率之和，即2.有功功率第82页/共150页由图2-4-3的相量图可得则：即电路的有功功率也是电路所消耗的功率，它等于电路两端电压与电流的有效值乘积再乘以cos，我们将cos称为电路的功率因数。第83页/共150页故cos是由电路的参数决定的，其值越小（越大），电路所得到的有功功率越少，因此要尽量减小，提高电路的功率因数，一般要求在0.9以上。3.无功功率由于电路有储能元件的存在，故电路与电源有能量交换，其交换的规模仍用无功功率表示。由于电压与电流的相位差为由于电感电压与电容电压相位相反，在通入同一电流时，其瞬时功率也是反相的，如图2-4-9所示第84页/共150页故当电感元件取用功率时，电容元件释放功率。因此RLC串联电路总的无功功率等于电感的无功功率与电容的无功功率之和（实际为差值），即第85页/共150页由图2-4-3的相量图可知4．视在功率将RLC电路两端电压u与电流i的有效值的乘积，称为视在功率，即其单位为伏安（VA），或千伏安（KVA），由于不是电路实际消耗的功率，故不用功率的单位－瓦特。视在功率一般表示某些电源设备的额定容量，说明该电源可能提供的最大功率。第86页/共150页由于故讨论：a.三个三角形：电压Δ、阻抗Δ和功率Δ1.电压Δ：如图2-4-9，可得：第87页/共150页2.阻抗Δ：如图2-4-10，可得：3.功率Δ：如图2-4-11，可得：第88页/共150页由P＝UIcos

可得由上式可知，电源输出的功率与功率因数有关；另外当电源有功功率和电压一定时，电路电流是和电路的功率因数成反比的。所以功率因数的提高，有利于发电设备容量的充分利用，有利于电路功率损耗的减少。b.功率因数cos的提高功率因数低的原因是由于感性负载的存在（如电动机等）。按照供电规则，高压供电的工业企业的平均功率因数不低于0.95,其它单位不低于0.9.提高功率因数的常用方法是在感性负载两端并联电容器（设置在用户端或变电所中）。第89页/共150页其相量图如图2-4-13所示。对于图2-4-12所示的电感线圈，有第90页/共150页现在为了提高功率因数，在电感线圈两端并联一电容器，如图2-4-14所示。但由于电容元件不消耗有功功率，故并联电容后电路的有功功率不变，为其相量图如图2-4-15所示。由图可知，并联后功率因数角2<1,减小了，即电路的功率因数提高了。第91页/共150页可见，并联电容后无功功率减小了。电路的无功功率为电容值选取的大小决定补偿后的功率因数。对于图2-4-16过补偿谐振第92页/共150页对于（c）图，由于补偿前后有功功率不变，即由于第93页/共150页其中：ω为电源电压角频率；U为电源电压有效值；P为电路的有功功率，其值在并联补偿电容器前、后不变。1为补偿前感性负载的功率因数角，2为补偿后电路的功率因数角。由此可知，若有功功率与电压不变，则cos越高，电流越小，故并联电容器后，电路的电流比并联前变小了。故：第94页/共150页解：①当闭合并入电容后例2-4-3在图2-4-17所示电路中，电源电压u为工频正弦电压。在S未闭合前，电压表的读数为220V，两个电流表A与A1的读数均为10A，功率表的读数为900W。今维持电源电压不变，①试问S闭合并入电容C＝100μF后，各电表的读数应如何变化？试求此时它们的读数；②计算并联电容前后电路的功率因数。由于电源电压不变，且电容元件不消耗有功功率，故线圈的电流、电路的功率都不变，即电压表的读数仍为220V，电流表A1的读数仍为10A，功率表的读数仍为900W第95页/共150页由有功功率公式可知而电路总的电流减少，即电流表A的读数下降。则并联电容之前电路的功率因数为：功率因数角为第96页/共150页并入电容后其电路如图2-4-18所示，电容支路的电流为电路的相量图如图2-4-19所示由电路相量可得并联电容后电流表A的读数为4.65A第97页/共150页并联电容后，有功功率、电路两端的电压均不变，则由有功功率的公式可得②并联电容前电路的功率因数为第98页/共150页2.4.3复数阻抗串联的正弦交流电路在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的串联，图2-4-20为两个复数阻抗串联的电路。其中Z1和Z2可以是电阻，或是电感元件和电容元件，也可以是RLC串联。由于则即其中Z为两个复数阻抗串联的等效复数阻抗，它等于两个串联复数阻抗之和。第99页/共150页注意：等效阻抗之和不等于两个串联阻抗之和，即由上面的式子可得：上面两式与电阻的分压公式相同，但在这里电压与电流用相量表示，电阻用复数阻抗表示。第100页/共150页解：①用户取用的电流为例2-4-4某用户负载ZL的等值电阻为RL＝10Ω，感抗XL＝10.2Ω，额定电压UN为220V。配电所到用户的输电线电阻r0=0.5Ω，感抗XL0＝1Ω，电路如图2-4-21所示。试问：①在保证用户电压为额定值时，配电所电源电压US应为多少？线路损失功率△P1等于多少？②若用户拟将功率因数cos2提高到0.98,应并联多大电容器？配电所电源电压应为多少？线路损失功率△P2为多少？③并联电容后用户一年为配电所节约电能多少度？（以每年365天，每天用电8小时计算）用户用电量有无变化？本题化工、纺织不讲第101页/共150页电源电压为第102页/共150页提高后的功率因数角为用户消耗的功率为②用户没并联电容前的功率因数为功率因数角为第103页/共150页则应并联的电容为此时线路总的电流为设用户电压为则第104页/共150页则此时配电所的电源电压为即此时线路的功率损耗为③并联电容后线路减少的功率损耗为每年为配电所节约电能为由于用户额定电压、电流和功率均不变，故用户的用电量无任何变化。第105页/共150页2.5RLC并联的正弦交流电路的分析与计算根据上一节的内容，在RLC串联的正弦交流电路中，由于各元件通入同一电流，故取电流作为参考相量；而在RLC并联的正弦交流电路中，各元件两端加同一电压，故取电压作为参考相量。2.5.1电压与电流的关系如图2-5-1所示为RLC并联的交流电路，设电压作为参考相量，即第106页/共150页则总的电流为则各支路电流为第107页/共150页则当其相量图如图2-5-2所示IL>IC电压超前电流为感性电路第108页/共150页其相量图如图2-5-3所示IL<IC电压滞后电流为容性电路当其相量图如图2-5-4所示IL＝IC电压与电流同相位为阻性电路当电路发生谐振。由于是在RLC并联电路，故称为并联谐振。第109页/共150页2.5.2功率在RLC并联电路中，其功率的计算公式与RLC串联电路是一样的，即有功功率、无功功率、视在功率为2.5.3复数阻抗的并联在实际工程中，电路可以是多个复数阻抗的并联，如图2-5-5为两个复数阻抗并联的电路。第110页/共150页而则即可写成由图2-5-5和基尔霍夫电流定律（KCL）得其中或写成第111页/共150页即两个复数阻抗的并联，其等效复数阻抗的倒数等于两个并联复数阻抗倒数之和。注：这两个式子与电阻的分流公式相似，但这里电压与电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。而且有第112页/共150页解：例2-5-1求图2-5-6所示电路的复数阻抗Zab，已知ω＝104rad/s。则第113页/共150页例2-5-2如图2-5-7所示电路中，已知，求，电路的有功功率P、无功功率Q和视在功率S。解：画出电路的相量图，如图2-5-8所示。故按教材P51顶的方法讲第114页/共150页故电流IC和IR为由于由相量图得第115页/共150页再由相量图得故相量为则第116页/共150页电压的初相角为则总电压和电流的相位差为＝63.4o-45o＝18.4o故电路的功率为第117页/共150页解：设电容两端电压为参考相量，则相量图如图2-5-12所示，由相量图得例2-5-4如图2-5-11所示电路，已知U＝100V，I1＝I2

=10A，u与i同相，试求：I、XC、R及XL。第118页/共150页2-6复杂的正弦交流电路的分析与计算在复杂的正弦交流电路中，电路的结构是多种多样的，元件也不是单一的。但电路的基本定律和直流电路的分析方法，仍适用于正弦交流电路，而且欧姆定律和基尔霍夫定律也有相量形式的表达式。只是注意在这里直流电路的电压、电流与电动势分别要用相量代替，电路参数要用复数阻抗代替，那么就可以用直流电路的分析方法如支路电流法、节点电压法、叠加原理、戴维南定理来分析和计算。下面通过例题来学习复杂正弦交流电路的分析与计算。第119页/共150页解：此题可利用电源等效变换、节点电压法、叠加原理及戴维南定理求解。例2-6-1

试求图2-6-1中的电流和电压。第120页/共150页(1)电源等效变换