(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程、数形结合思想学案理新人

第2讲或究运动中[典型例题]设不等式2x－1〉m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立,则x的取值范围为________．(x2－1)m－(2x－1)<0在m∈[－2，2]上恒成立，则错误!!故x的取值范围为(错误!，错误!)．一般地，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果,确定一个变量，创设新的函 [对点训练]exxxfxex所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数,且f(0)＝0,f(x)〉0，从而ea－1>a>ae。2．关于x的不等式x＋错误!－1－a2＋2a>0在x∈(2,＋∞)上恒成立，则a＝________．解析：关于x的不等式x＋错误!－1－a2＋2a〉0在x∈(2,＋∞)上恒成立?函数f(x)＝x＋错误!在x∈(2,＋∞)上的值域为(a2－2a＋1,＋∞)．因为函数f(x)＝x＋错误!在(2,＋∞)上为增函数，所以f(x)〉2＋错误!＝4，即f(x)在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞),所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.[典型例题]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列． (1)若a1＝2，且a2，a3,a4＋1成等比数列,求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝错误!＋错误!＋…＋错误!,若对nNbnkk最小值．又因为{an}是正项等差数列,故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n。(2)因为Sn＝n(n＋1),则错误!＝错误!＝错误!－错误!.所以bn＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝错误!.令f(x)＝2x＋错误!(x≥1)，则f′(x)＝2－错误!>0恒成立,所以f(x)在[1，＋∞)所以当x＝1时,f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝错误!，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使则须使k≥(bn)max＝6，所以实数k的最小值为错误!。错误!(1)本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用n (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下:①由其表达式判断单调[对点训练]a6－a5＝1.又S5＝错误!＝0，所以a1＝－2，故Sn＝－2n＋错误!＝错误!，即nSn＝错误!，令f(n)＝错误!(n〉0且n∈Z),则f′(n)＝n2－5n，令f′(n)>0，得n〉错误!，令f′(n)〈0，得0<n〈错误!，所0以f(n)在10上单调递减，在错误!上单调递增．又n为正整数，所以当n＝3时，f(n)取得3答案:－92．设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q〉0,a1＋a2＝4,a3－a2＝6。 (1)求数列{an}的通项公式；解：(1)因为a1＋a2＝4，a3－a2＝6，所以an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.中的应用 [典型例题] (1)若方程cos2x－sinx＋a＝0在x∈错误!上有解，则a的取值范围是________． 足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1,x,y均为实数,则|c－xa－yb|的最小值为________．错误!，由x∈错误!可得sinx∈错误!,易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－tsinx由x∈错误!，可得t∈(0,1]．依题意得1－t2－t＋a＝0，即方程t2＋t－1－a＝0在t∈(0，1]上有解，设f(t)＝t2因此，f(t)＝0在(0，1]上有解等价于错误!(2)由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，所以|c－xa－yb|的最小值为2。 (1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进 (2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题再利用函数与方程思想进行分析与处理,这是解决此类问题的一种比较常 [对点训练]1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为 ()解析：选A．法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ,1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1。法二:a＋b＝(2λ＋2,2)，a－b＝(－2，0)．由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.解析：在△ADC中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos45°＝2＋DC2－22·DC·错误!＝2＋22在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos135°＝BD2＋2＋2错误!·BD·错误!＝2＋BD2＋解得BD＝2＋错误!(BD＝2－错误!舍去)．函数与方程思想在解析几何中的应用 [典型例题]ab (2)设点A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点O【解】(1)由题设得错误!解得错误!所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1. 联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.＝错误!×2×|y1|＋错误!×2×|y2|＝|y1－y2|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!(其中t＝错误!，t≥1)．错误!值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解,这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基[对点训练]kx(k>0)．满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝错误!.由错误!＝6错误!知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝错误!(6x2＋x1)＝错误!x2＝错误!。由D在AB上知x0＋2kx0＝2,得x0＝错误!。2化简得24k－25k＋6＝0，2解得k＝错误!或k＝错误!。以形助数(数题形以数辅形(形题数解)解)想密性来阐明形的某些解决问题的数形”，使复杂，有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律 [典型例题] (2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈(－2，0]时，f(x)＝错误!错误!－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在x所以f(x)max＝8.(2)因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称,又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的函数,则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2，6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根,故选C．错误!用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个范围是() [对点训练]f(x)＝错误!(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值C．(0,1)D．(－∞,1]解析:选A．画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0f(x)在R有两个零点，所以时,f(x)有一个零点，需00<a≤1，故选A．2．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．当x≠0时，方程错误!＝kx2可化为k＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0),y＝错误!,原题可以转化为两函数有三个非零交x2＋4x所以k的取值范围为错误!.的应用 [典型例题]设函数f(x)＝错误!，则满足f(x＋1)〈f(2x)的x的取值范围是()【解析】当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数,则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知，要使f(x＋1)〈f(2x)，则需错误!或错误!所以x〈0，故选错误!数的图象，根据不等式中量的特点个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题 [对点训练]若不等式|x－2a|≥错误!x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：作出y＝|x－2a|和y＝错误!x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤错误!.122[典型例题]使△APF的周长最小,此时点P的坐标为________．【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图,设抛物则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋ABAF因为A(－2，4),所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0),代入x2＝8y，得y0＝错误!，故使△APF的周长最小的点P的坐标为错误!。错误!(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值-— [对点训练]1．设双曲线C:错误!－错误!＝1(a〉0,b>0)的左焦点为F,直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点,|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为()解析：选A．根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5，如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A,则易知OA为△PFF2的中位FdPF合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝错误!＝5。故选A．2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两