复合函数定义域详细讲义练习详细解答

复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y经过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],此中u称为中间变量。二，对高中复合函数的通解法——综合剖析法1、解复合函数题的重点之一是写出复合过程例1：指出以下函数的复合过程。22（1）y=√2-x(2)y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cos√1-x解：(１)y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。3）∵y=sin3x=(sinx)-3y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。2、解复合函数题的重点之二是正确理解复合函数的定义。看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。经典误会１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误会２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]1≤x+3﹤2-2≤x﹤-1-4≤2x﹤-2-9≤2x-5﹤-7f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：经过以上两例误会可得，解高中复合函数题会犯错主要原由是对复合函数的概念的理解含糊其词，从定义域中找出“y”经过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],此中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而致使错误。而从定义中能够看出u只是是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的∵１≤x1﹤2∴4≤u1﹤5∴4≤u2﹤5∴4≤2x2-5﹤5∴2≤x2﹤5f(2x-5)的定义域为[２、5]结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不能够直接成立关系的，在解题时，必定是同层考虑，不行异层考虑，若异层考虑则会出现经典误会１与２的状况。三、高中复合函数的题型（不包含抽象函数）题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[１、２],求f（2x-5）的定义域。（下转3页）题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。注：通解法——综合剖析法的重点两步：第一步：写出复合函数的复合过程。第二步：找出复合函数定义域所真实指代的字母（最为关键）下边用综合剖析法解四个题型题型一：单对单：例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。（因为要同层考虑，且u与x的取值范围同样，故可这样变形）f(x)是由y=f(u),u=x1合而成的。

复第2步：找出复合函数定义域的真实对应∴

∵f(x)的定义域为-1≤x1﹤4

[-1

、4]即-1≤u﹤4又∵u=x22∴-1≤x22﹤4(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)∴-2﹤x2﹤2∴f(x2)的定义域为(-2,2)结论：本题中的自变量x1,x2经过u联系起来，故可求解。题型三：单对多：例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.第2步：找出复合函数定义域的真实对应：∵0≤x1≤10≤u≤10≤2x2-1≤1x2≤1f(2x-1)的定义域为[，1]结论：由本题的解答过程能够推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(x)]的定义域。下转4页题型四：多对单：如：例5：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。f(x)

是由

f(u),u=x2

复合而成的。第2步：找出复合函数定义域对应的真实值：∵0≤x1≤10≤2x1≤2-1≤2x1-1≤1-1≤u≤1-1≤x2≤1f(x)的定义域为[-1、1]结论：由本题的解答过程能够推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。小结：经过察看题型一、题型三、题型四的解法能够看出，解题的重点在于经过u这个桥梁将x1与x2联系起来解题。题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。分析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知f(x)的定义域可求出y=f[g(x)]的定义域”已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域能够推出f(x)与y=f[g(x)]能够互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定义域，故这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u所充任的作用同样。因此，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，详细步骤以下：第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。第二步：求桥梁f(x)的定义域：∵1≤x≤2∴4≤x+3≤5∴4≤u≤5设：函数y3=(u),u=x下转4页y3=f(x)的定义域为[4、5]第三步：经过桥梁f(x)从而求出y2=f(2x-5):f(x)是由y3=f(u),u=x复合而成的∵4≤x≤5∴4≤u≤5∴4≤2x-5≤5∴≤x2≤5f(2x-5)的定义域为：[5]小结：实质上，本题也能够u为桥梁求出f(2x-5),详参按例四、将以上解答过程有机转变为高中的标准解答模式。

2的解法。如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1]，求函数y=f(x2+1)的定义域。解：∵函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x)0≤x2+1≤1-1≤x2≤0x=0∴定义域为{0}小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。例8：已知y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。解：由题意：0≤x≤1（即略去第二步，先找出定义域的真实对象）。-1≤2x-1≤1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)1,

视2x-1为一个整体（即u与u的互换）则2x-1相对于f(x)中的x(即u与u的互换，f(x)由y=f(u),u=x复合而成，∴-1≤x≤1)∴函数f(x)的定义域为[-1、1]

-1≤u≤总结：综合剖析法分了３个步骤①写出复合函数的复合过程。②找出复合函数定义域所指的代数。③找出解题中的桥梁（u或f(x)可为桥梁）浅析复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设u

g(x)

是A到

B的函数，

y

f(u)是

B'到

C'上的函数，且

B

B'

，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么yf(g(x))就是A到C上的函数。此函数称为由外函数yf(x)和内函数ug(x)复合而成的复合函数。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数yf(g(x))中x的取值范围。⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。f(g(x))与g(f(x))表示不一样的复合函数。例1．设函数f(x)2x3,g(x)3x5，求f(g(x)),g(f(x))．⑷若f(x)的定义域为M'，则复合函数f(g(x))中，g(x)M．注意：g(x)的值域MM'．例2：⑴若函数f(x)的定义域是[0，1]，求f(12x)的定义域；⑵若f(2x1)的定义域是[-1，1]，求函数f(x)的定义域；⑶已知f(x3)定义域是4,5，求f(2x3)定义域．重点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴函数f(12x)是由A到B上的函数u12x与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数．函数f(x)的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数u12x的值域为[0，1]．∴012x1，∴12x0，即0x1，2∴函数f(12x)的定义域[0，1]．2⑵函数f(2x1)是由A到B上的函数u2x1与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数．f(2x1)的定义域是[-1，1]，A=[-1,1]，即-1x1，∴32x11,即u2x1的值域是[-3，1]，∴yf(x)的定义域是[-3，1]．重点2：若已知f(x)的定义域为A，则f[g(x)]的定义域就是不等式g(x)A的x的集合；若已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域就是函数g(x)(xA)的值域。⑶函数f(x3)是由A到B上的函数ux3与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数．f(x3)的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即4x5，∴1x38即ux3的值域B=[-1，8）又f(2x3)是由A'到B'上的函数u'2x3与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数，而BB',从而u'2x3的值域B'[1,8)12x3822x11,11∴1x2f(2x3)的定义域是[1，11）．2例3：已知函数f(x)定义域是（a,b），求F(x)f(3x1)f(3x1)的定义域．a1b1解：由题，a3x1b，x313，a3x1bab13x3a1b1，即bab2当33时，F(x)不表示函数；aba1b1当33，即ab2时，F(x)表示函数，ab其定义域为(a1,b1)．33说明：①已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域的方法：已知

f(x)的定义域为

(a，b)

，求

f(g(x))的定义域。其实是已知中间变量的

u的取值范围，即u

(a，b)，g(x)

(a，b)。经过解不等式

a

g(x)

b求得

x的范围，即为f(g(x))的定义域。②已知f(g(x))的定义域为(a,b)，求f(x)的定义域的方法：若已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求f(x)的定义域。其实是已知复合函数f(g(x))直接变量x的取值范围，即x(a，b)。先利用axb求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域,即便函数f(x)的分析式形式所要求定义域真包含g(x)的值域，也应以g(x)的值域做为所求f(x)的定义域，因为要保证所求外含数f(x)与已知条件下所要求的外含数是同一函数，不然所求外含数f(x)将失掉解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数f(g(x))的外函数f(x)，假如外函数f(x)的定义域不等于内函数g(x)的值域，那么f(x)就确立不了f(g(x))的最值或值域。例4：已知函数f(x)x1x,(x1)求f(x)的值域。剖析：令u(x)x1，(x1)；则有()u2u1，(u0)gu复合函数f(x)是由u(x)x1与gu)u2u1复合而成，而g(u)u2u1(u0)(，的值域即f(x)的值域，但g(u)u2u1的自己定义域为R,其值域则不等于复合函数f(x)的值域了。例5：已知函数f(x23)lgx2，求函数f(x)的分析式，定义域及奇偶性。x26剖析：因为f(x23)lgx2定义域为{x|x6或x6}x26令ux23，u3；则f(u)lgu3，且u3u3因此f(x)lgx3,x3，定义域不对于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。x31．在等比数列an中，已知a19，an1，q2833

，则n为（）A．2B．3C．4D．52．设an是公差为－2的等差数列，若a1a4a7a9750，则a3a6a9a99等于（）A．82B．－82C．132D．－1323．已知数列an中a11此后各项由公式anan1(n2)给出，则a4（）1n(n1)7744A．4B．－4C．7D．74．已知9,a1,a2,1成等差数列，9,b1,b2,b31成等比数列，则(a2a1)b2等于（）99C．8D．－8A．B．885．在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是（）45B．279D．9A．4C．426．等差数列an的前n项和为Sn，若a3a1710，则S19=（）A．190B．95C．170D．857．已知an是等比数列，对nN,an0恒成立，且a1a32a2a5a4a636，则a2a5等于（）A．36B．6C．－6D．68．已知等差数列an中，aaan的前n项和，则（）39，公差d0；Sn是数列A．S5S6B．S5S6C．S60D．S5S69．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A．2B．4C．8D．1610．已知数列{an}知足：anlogn1(n2)，定义使a1a2a3......ak为整数的数k(kN*)叫做希望数，则区间[1，2010]内全部希望数的和M（）A．2026B．2036C．2046D．204811．已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1>b1，a1、b1N+(nN+)，则数列{abn}的前10项的和等于（）A．65B．75C．85D．9512．等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am20，S2m138,则m（）A．38B．20C．10D．9二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在横线上．13．已知数列前4项为4,6,8,10，则其一个通项公式为_.14．已知1,a1,a2,4成等差数列，1,b1,b2,b3,4成等比数列，则a1a2______．b215．已知数列{an}的前n项的和Sn知足log2(Sn1)n,则an=．16．甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为a02，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并逝世1个，2小时后分裂成6个并逝世1个，3小时后分裂成10个并逝世1个，,记n小时后细胞的个数为an，则an=________(用n表示)．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a21，a55．1）求{an}的通项an；2）求{an}前n项和Sn的最小值．18．（本小题满分12分）已知{an}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列bn知足b11，bn1bn2an.（1）求数列bn的通项公式；（2）求证：bbb2.nn2n1参照答案一、选择题1．C；分析：等比数列an中，a19，an1，q2；∴ana1qn19(2)n11，∴22833833)n1)3，13,n4；((n332．B；分析：因为an是公差为－2的等差数列，∴a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)a1a4a7a97332d5013282；3．A；分析：因为anan111)(n2)，因此a2a111)111，n(n2(212a3a211111，a4a3111173(31)12234(414；11)44．D；分析：∵－9，a1，a2，－1成等差数列，因此a2a11(9)8；413∵9,b1,b2,b31成等比数列，因此b2(9)(1)3；∴(a2a1)b28；x9x,y，则x23y,2yx9；解得2，因此x455．A；分析：设中间两数为y；y27446．B；分析：S1919(a1a19)19(a3a17)2295；7．D；分析：nN,an0；a1a32a2a5a4a6(a2a5)236，∴a2a56；8．D；分析：∵d0，a3a9，∴a30,a90，且a3a90，∴a60，a50，a70；∴S5S6；9．C；分析：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有S偶qS奇，∴q＝170＝2；85又S2nS偶S奇a1(1q2n)851702n1255，∴2n＝8，故这个数列的项数为8；1q，∴210．A；分析：anlogn1(n2)，∴由a1a2ak为整数得log23log34log(k1)(k2)log2(k2)为整数，设为m，则k22m，∴k2m2；因为2112048，∴区间1，2010内全部希望数为222,232,242,,2102，其和M22223224221022026；11．C；分析：应用等差数列的通项公式得ana1n1,bnb1n1;abna1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3;∴数列{a}也是等差数列，且前10项和为10(413)85；b2n12．C；分析：因为n是等差数列，因此aa2a，由aaa20，得：2am－am2am1m1mm1m1m＝0，因此am＝2，又S2m138，即(2m1)(a1a2m1)＝38，2即（2m－1）×2＝38，解得m＝10．二、填空题13．an2(n1)；分析：该数列的前4项分别可写成：2(11),2(21),2(31),2(41)，因此数列的通项公式为an2(n1)；14．5；分析：∵1,a1,a2,4成等差数列，∴aa145；∵1,b1,b2,b3,4成等比数列，∴2122144，又b21q20，∴b2a1a25b22；∴；b2215．2n1；分析：由log2(Sn1)n得Sn12n，∴Sn2n1，∴a1S1211，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1；an=2n1；16．2n1；分析：按律，a1413，a22315，a32519，⋯⋯，an12an1；∴an112(an1)，即n1是等比数列，其首2，公比2，故an12n，∴an=2n1．a（本也可由a1321，a25221，a39231，⋯⋯，猜想出an=2n1．）三、解答17．解：（1）an的公差d，由已知条件，a1d13，d2．a14d，解出a15因此ana1(n1)d2n5．⋯⋯⋯⋯6分（2）Snna1n(n1)dn24n(n2)24．因此n2，S取到最小4．2n⋯⋯⋯⋯12分18．解：（1）由已知得ann.从而bn1bn2n，即bn1bn2n.（⋯⋯⋯⋯2分）∴bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n1n22112n2n1.（⋯⋯⋯⋯6分）212（2）因bnbn2bn12(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n22n21)2n0，∴bnbn2bn12.（⋯⋯⋯⋯12分）19．解：（1）由已知得Sn3an3，∴当n2，Sn13an13；2222∴SnSn13an3an1，即an3an3an1，∴当n2，an3an1；2222∴数列{an}等比数列，且公比q3；（⋯⋯⋯⋯4分）又当n1，S13a13，即a13a13，∴a13；2222∴an3n.（⋯⋯⋯⋯6分）（2）∵log3anlog33nn，∴bn1111；log3anlog3an1n(n1)nn1（9分）∴bn的前n项和Tn(11)(11)(11)(11)11n.22334nn1n1n1（12分）1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=22=1，则a1=5，a2a1B.2C.2D.2A.22【分析】设公比为q,由已知得a1q2a1q82a1q42,即q22,又因为等比数列{an}的公比为正数，因此q2,故aa212,选B1q223.公差不为零的等差数列{a}的前n项和为S.若a是a与a的等比中项,S32,则S等于nn437810A.18B.24C.60D.90【分析】由a42a3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)得2a13d0,再由S88a156d32得90d22a17d8则d2,a13,因此S1010a160,.应选C24.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A．13B．35C．49D．63【分析】S77(a1a7)7(a2a6)7(311)49.应选C.222a2a1d3a11a716213.或由a6a15d11d,2因此S77(a1a7)7(113)49.应选C.225.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于A．1B5C.-2D33[分析]∵S363(a1a3)且a3a12da1=4d=2.应选C26.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,则公差d＝A.－2B.－1C.1D.2221【分析】a－2a＝a＋4d－2(a＋d)＝2d＝－1d＝－743327.（等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190【分析】设公差为d，则(1d)21(14d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100但是只就f(x)lgx3分析式而言，定义域是对于原点对称的，且f(x)f(x)，因此x3是奇函数。就本题而言f(u)就是外函数其定义域决定于内函数ux23，u3的值域，而不是外函数f(u)其分析式自己决定的定义域了。2．求有关复合函数的分析式，例6．①已知()x21,求f(x1)；fx②已知f(x1)(x1)21，求f(x)．例7．①已知f(x1)x1，求f(x)；x②已知f(x1)x21，求f(x1)．xx2重点

3：已知

f(x)

求复合函数

f[g(x)]的分析式，直接把

f(x)

中的

x换成

g(x)

即可。已知f[g(x)]求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在f[g(x)]中把对于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接把g(x)换成x而得f(x)。换元法就是先设g(x)t，从中解出x（即用t表示x），再把x（对于t的式子）直接代入f[g(x)]中消去x获得f(t)，最后把f(t)中的t直接换成x即得f(x)，这类代换按照了同一函数的原则。例8．①已知

f(x)

是一次函数，知足

3f(x

1)

2f(x

1)

2x

17，求

f(x)；②已知

3f(x)

2f(1)

4x

，求

f(x)

．x重点4：⑴当已知函数的种类求函数的分析式时，一般用待定系数法。⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法

求函数的分析式。已知f(x)知足某个等式，这个等式除

f(x)是未知量外，还出现其余未知量，如

f(

x)、f(1)等，一定依据已知等式再结构出其余等式构成方程组，经过解方程组求出f(x)。x二、练习：１．已知f(2x1)x22x，求f(221)