中考数学压轴题破解策略专题25《全等三角形的存在性》

专全三形存性破策全等三角形的存在性问题的解题策略有：（）有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．（）两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例讲例如平面直角坐标系中物y＝＋4与轴一交点为－，0），与y的交点为C，对称是＝3对称轴与轴于点B．（）抛物线的表达式；（）点在x轴，在抛物线上是否存在点，使得△PBD≌PBC?若在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（）点M在y轴正半轴上，连结MA，过点M作MA的线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点、、顶点的三角形eq\o\ac(△,与)全？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（）题意可列方程组

b2

，

解得

，1

223122；122223122；1223所以抛物线的表达式为．2（）然OA＝，＝3，OC＝4．所以BCBA．若eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)≌△PBC，BD＝＝，PD所以为物线与x轴左交点或右交点，点，CD的垂直平分线上，①若点D为抛线与x轴左交点，即与点重．如图1，取的中点，作直线BE交抛物线于P（，），P（）两点．此时eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)D．由、两的坐标可得点E的坐为（－，）所以直线BE的表达式为．2联立方程组

1323xx

2612，解得，2

．所以点P，的标分别为4一26，

2

）．（＋26，）2②若D为抛线与x的右交点，则点的标（，）．如图2，取CD的中点F．作直线交抛物线于P（，），P（，）点此时eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)BC≌eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)BC≌eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)D由、两的标可得点F的标为，2）所以直线的达式为y＝x－．联立方程组

34

，解得

413413

，

414414所以点P的标分别－＋－＋41－1－41－－241，综上可得，满足题意的点P的标为4一26，

2

）4＋，）2（－1＋41，－8＋）（1－，8－）（）题意可设点（，m），（，n），且＞0，则＝＋，MN＋（m－，＝．而∠AMN＝ABN＝，所以△与△全等有两种可能：①当AM＝，＝时，可列方程组

，解得

125

（舍），所以此时点M的坐为（0，）②当AM＝，MN时可列方程组：·2

122221212BD，＝122221212BD，＝223，即点E的标为（233m解得，（）5n22所以此时点的标为（0，

）．综上可得，满足题意的点的标为（，）（，）例如，在平面直角坐标系xoy，为等腰直角三角形，＝90，A的坐标为40），点B在一象限．若点D线段上＝，点EF在的上，且满足△与△全等，求点E的标．图1解：由题可得＝，而OB＝＝22．以＝

图2＝，BD＝＝．3①当点FOA上，（ⅰ）若△DFO≌DFE点E在OA上．如图1．此时DF⊥，所以OFOD＝，以OE＝＝，点的标为（，）．2333（ⅱ）若△DFO≌DFE点F在AB上，如图2．此时ED＝＝BD，所以∠BED＝＝；所以∠BED＝，ED从而BE＝BD

2633

．过点E作EG于点G．则＝＝

AE＝，2所以OG＝2

2322，333

）．图3（ⅲ）若△DFO≌FDE点E在AB上，如图3．3

图4

288x288x此时DE∥，以＝．从AE＝＝

43

，过点作⊥于G，则＝＝

＝，2所以OG＝，即点E的坐标为（，）3②当点FAB上，只能有ODF≌△，图4．此时DF∥0A．且点E与点A重合，即点的标为（，）综上可得，端足条件的点E的标为（，）3（

234，）（，）或（，）．333进训1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

y

12

x-3x-8

与轴于点C．直线l；

y=-

43

x

与抛物线的对称轴交于点E．连结，探究；抛物线上是否存在一点，使得△△FCE．若存在，请写出点F坐；若不存在，请说明理由．O

xl答案：存在．点F坐标为（

17

，－4）（

3+17

，－4）2．如，在平面直角坐标系xOy中直线过（，）且与轴行．直线k过点与x轴平行线与l相于点P为线l上点比例数=（＞）的图象过点E且直线l相交点F（）点E与点P重合，求k的值（是存在点y轴上点M，使得以点MF顶点的三角形PEF全等？若存在，求点的标：若不存在，请说明理由．4

lly

yl

BE

l

2

PF

A

x

l

备用

l

1答案：（）＝3（）在．点E的坐为（，）或（，）83k【提示易得点如图1当k＜时能△MEF≌31点F作FH轴点，易证BME△HFM用表相关线段的长度，从而得BM＝，2再解△得＝

3，所以点的标为（，）；②如图，当k＞时只能有4△≌PFE过点F作⊥轴于点Q同①可得点E的坐为（y

83

，）l

E

FM

MH

F

l

B

EO

x

A

x图1

l

图23．图，抛物线

y2+bxc

经过A（，），B（3，），C（0，）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干，该抛物线的顶点为P连结PA，AD．线段与轴相交于点E．（）该抛物线的表达式；（平直角坐标系中是否存一点Q以为顶的三角形eq\o\ac(△,与)ADP等？若存在，求出点Q的标；若不存在，请说明理由．5

y

P

x答案：（）物线的表达式为

=

13+x+33（）在．点Q的坐为（

，）（

，－2）（

-

，）（，）【提示】（2）方法一：易求直：

y=

x+3

，从而点D的坐为（，）可得CD＝以QCD与全有两种情况Q坐标过两点间距离公式列出QC，，AP的．再分类讨论列方