2019版数学（文）教师用书：第八章 第三节 圆的方程 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三节圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹)标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2（r＞0）圆心：（a，b），半径:eq\a\vs4\al（r)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞圆心：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(—\f（D,2），\f（E，2)))，半径：eq\f（1,2）eq\r（D2＋E2－4F）2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆（x－a）2＋(y－b）2＝r2的位置关系:(1）若M（x0，y0）在圆外，则(x0－a）2＋(y0－b）2＞r2。（2)若M(x0，y0)在圆上,则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2。(3）若M（x0，y0)在圆内，则（x0－a）2＋(y0－b)2＜r2.1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2）方程（x－a)2＋（y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b），半径为t的一个圆．(）(3）方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4）若点M（x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al(2,0）＋Dx0＋Ey0＋F〉0。(）答案：（1)√（2)×(3）×(4）√2．（2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4）C.eq\r(3) D．2解析：选A因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4），所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝eq\f（|a＋4－1｜,\r（a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4，3）。3．（教材习题改编）圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1，4),则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为（a,b),则a＝eq\f(－1＋1,2)＝0，b＝eq\f(2＋4,2)＝3,故圆心C(0,3）．半径r＝eq\f（1,2）|AB｜＝eq\f(1,2)eq\r(［1－－1］2＋4－22）＝eq\r（2）。∴圆C的标准方程为x2＋（y－3)2＝2。答案：x2＋（y－3)2＝24．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________解析:方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（a，2)））2＋(y＋a）2＝－eq\f（3,4)a2－a＋1，因为该方程表示圆,所以－eq\f（3,4)a2－a＋1>0,即3a2＋4a－4〈0，所以－2〈a〈eq\f（2，3）.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－2，\f（2,3））)5．若点(1，1）在圆（x－a）2＋(y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆（x－a）2＋(y＋a）2＝4的内部,所以（1－a)2＋（1＋a）2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1。答案：(－1，1)eq\a\vs4\al（考点一求圆的方程）eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)圆的方程的求法是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度为中高档题.［典题领悟]（2017·全国卷Ⅲ）已知抛物线C:y2＝2x，过点（2,0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。eq\o（,,\s\do4(❶）)（1)证明：坐标原点O在圆M上；eq\o（，,\s\do4(❷）)（2)设圆M过点P（4，－2),求直线l与圆M的方程.eq\o(,，\s\do4（❸））［学审题］①由此条件可知,直线AB的方程可设为x＝my＋2。如果设为点斜式，则需讨论斜率的存在性；②若坐标原点O在圆M上，则OA⊥OB；③由此可知PA⊥PB，|MO|＝｜MP｜.解：(1）证明：设A（x1,y1)，B(x2,y2），l：x＝my＋2。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，，y2＝2x））可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4。又x1＝eq\f（y\o\al（2，1），2），x2＝eq\f(y\o\al（2，2),2），故x1x2＝eq\f(y1y22，4）＝4.因此OA与OB的斜率之积为eq\f(y1,x1）·eq\f（y2，x2)＝eq\f(－4，4）＝－1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．（2)法一：由（1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m（y1＋y2)＋4＝2m故圆心M的坐标为（m2＋2，m），圆M的半径r＝eq\r(m2＋22＋m2）.由于圆M过点P(4，－2），因此eq\o(AP,\s\up7（→））·eq\o（BP，\s\up7(→））＝0，故(x1－4)（x2－4）＋(y1＋2）(y2＋2)＝0，即x1x2－4（x1＋x2）＋y1y2＋2(y1＋y2）＋20＝0。由(1)可知y1y2＝－4,x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f（1,2).当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为（3，1）,圆M的半径为eq\r(10)，圆M的方程为（x－3)2＋(y－1）2＝10.当m＝－eq\f（1,2)时,直线l的方程为2x＋y－4＝0,圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（9，4），－\f(1，2))）,圆M的半径为eq\f(\r（85),4），圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（9,4)）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1，2)）)2＝eq\f(85，16)。法二：由（1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2）＋4＝2m故圆心M的坐标为（m2＋2，m）．又圆M过坐标原点O和点P（4,－2），∴｜MO|＝|MP|，即(m2＋2)2＋m2＝（m2－2）2＋(m＋2）2，整理得2m2－m－1＝解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0,圆心M的坐标为(3，1），圆M的半径为eq\r(10），圆M的方程为(x－3)2＋（y－1）2＝10.当m＝－eq\f（1，2)时，直线l的方程为2x＋y－4＝0,圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq\f（\r（85），4)，圆M的方程为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（9，4)）)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＋\f（1,2)）)2＝eq\f(85,16)。［解题师说］1．求圆的方程的2种方法(1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2)待定系数法：①若已知条件与圆心（a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b,r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心的方法求圆的标准方程，其关键是确定圆心,确定圆心的主要方法有：(1）当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；（2）当题目条件中出现直线与圆相交,可考虑圆心在弦的垂直平分线上；(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．［冲关演练］1．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为（1,－4）．所以半径r＝eq\r(3－12＋－2＋42)＝2eq\r（2)，故所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋4)2＝8.答案:(x－1）2＋(y＋4）2＝82．一个圆经过椭圆eq\f(x2，16)＋eq\f（y2，4）＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．解析:由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0）．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点（0,2)，(0，－2），（4，0）三点．设圆的标准方程为（x－m）2＋y2＝r2（0<m<4，r〉0)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋4＝r2，，4－m2＝r2，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f（3，2），，r2＝\f（25,4)。)）所以圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(3，2))）2＋y2＝eq\f(25,4).答案：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（3，2)))2＋y2＝eq\f（25,4)3．(2018·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r（7)，则该圆的方程为________________．解析:法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a）又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a｜,又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r（7），圆心(3a，a）到直线y＝x的距离d＝eq\f（|2a｜，\r（2）)＝eq\r(2)|a｜，∴d2＋(eq\r（7）)2＝r2，即2a2＋7＝9a2,∴a＝±1。故所求圆的方程为（x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3）2＋(y＋1)2＝9.法二:设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2,则圆心（a，b)到直线y＝x的距离为eq\f（｜a－b｜，\r（2）)，∴r2＝eq\f（a－b2，2)＋7，即2r2＝(a－b）2＋14.①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上,∴a－3b＝0，③联立①②③，解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝3,,b＝1,，r2＝9））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－3,，b＝－1,,r2＝9.）)故所求圆的方程为（x－3)2＋(y－1)2＝9或（x＋3）2＋（y＋1)2＝9。答案:(x－3）2＋(y－1）2＝9或(x＋3)2＋（y＋1）2＝9eq\a\vs4\al（考点二与圆有关的轨迹问题)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研）以圆为载体的轨迹方程的求法常出现在高考试题中，题型既有选择题、填空题,有时也出现在解答题中,难度适中，属于中低档题.[典题领悟］设定点M(－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图，设P(x,y），N(x0，y0），则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，2），\f（y，2）)），线段MN的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x0－3,2）,\f（y0＋4，2）)）。因为平行四边形的对角线互相平分，所以eq\f（x,2）＝eq\f(x0－3,2），eq\f（y，2）＝eq\f(y0＋4,2），整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3,，y0＝y－4。)）又点N（x＋3,y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3）2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以（－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线,所以应除去两点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(9，5），\f（12，5)））和eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（21,5),\f(28,5)）).[解题师说］1．掌握“3方法”2．明确“5步骤”3．关注1个易错点此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)[冲关演练]在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r（2），在y轴上截得线段长为2eq\r（3).（1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r（2），2)，求圆P的方程．解：(1)设P(x,y），圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3。故P点的轨迹方程为y2－x2＝1。（2）设P（x0，y0）．由已知得eq\f(｜x0－y0｜,\r(2)）＝eq\f（\r(2),2)。又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(｜x0－y0|＝1，,y\o\al（2，0)－x\o\al（2,0)＝1.)）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0－y0＝1，,y\o\al(2，0）－x\o\al(2，0)＝1，））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.））此时,圆P的半径r＝eq\r（3）。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y\o\al（2，0）－x\o\al（2,0）＝1,))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此时，圆P的半径r＝eq\r（3）.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋（y＋1)2＝3。eq\a\vs4\al(考点三与圆有关的最值问题）eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源)与圆有关的最值问题是命题的热点内容，重在考查数形结合与转化思想。，常见的命题角度有：,1斜率μ＝\f（y－b，x－a)型最值问题;，2截距μ＝ax＋by型最值问题；，3距离μ＝x－a2＋y－b2型最值问题.［题点全练］角度(一）斜率μ＝eq\f（y－b，x－a）型最值问题1．已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求eq\f（y,x)的最大值和最小值．解：原方程可化为（x－2）2＋y2＝3,表示以（2,0)为圆心,eq\r(3）为半径的圆．eq\f（y，x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k,即y＝kx。当直线y＝kx与圆相切时（如图)，斜率k取最大值或最小值,此时eq\f(｜2k－0|,\r(k2＋1）)＝eq\r(3）,解得k＝±eq\r（3).所以eq\f（y,x)的最大值为eq\r（3），最小值为－eq\r(3)。[题型技法]形如μ＝eq\f（y－b,x－a）型的最值问题，可转化过定点（a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题eq\f（y，x)＝eq\f（y－0，x－0)表示过坐标圆点的直线的斜率．角度(二)截距μ＝ax＋by型最值问题2．已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时eq\f(|2－0＋b｜,\r(2））＝eq\r（3）,解得b＝－2±eq\r(6)。所以y－x的最大值为－2＋eq\r（6)，最小值为－2－eq\r（6）。［题型技法］形如μ＝ax＋by型的最值问题,常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问题．另外,此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x－2）2＋y2＝3，故可令eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2＝\r（3)cosθ，，y＝\r（3）sinθ，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosθ＋2，,y＝\r（3）sinθ，)）从而y－x＝eq\r（3)sinθ－eq\r（3）cosθ－2＝eq\r(6)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，4））)－2，进而求出y－x的最大值和最小值．角度（三)距离μ＝(x－a)2＋(y－b）2型最值问题3．已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02）＝2，所以x2＋y2的最大值是（2＋eq\r(3）)2＝7＋4eq\r（3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r（3）)2＝7－4eq\r(3)。[题型技法］形如μ＝(x－a)2＋(y－b）2型的最值问题,可转化为动点(x，y）与定点(a，b）的距离的平方求最值．如本题中x2＋y2＝(x－0)2＋（y－0）2，从而转化为动点（x，y）与坐标原点的距离的平方．［题“根”探求］看个性角度（一）是求μ＝eq\f(y－b,x－a）型最值问题；角度(二）是将角度一中的eq\f(y,x)变换为y－x，即求μ＝ax＋by型最值问题；角度（三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题找共性求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：［冲关演练］1．（2018·厦门模拟)已知两点A（0，－3),B（4,0）,若点P是圆C:x2＋y2－2y＝0上的动点,则△ABP的面积的最小值为(）A．6 B.eq\f(11,2)C．8 D.eq\f（21，2）解析:选Bx2＋y2－2y＝0可化为x2＋（y－1）2＝1,则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为eq\f（x，4)＋eq\f（y，－3）＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝eq\f（16,5)，又｜AB|＝eq\r(32＋42)＝5，∴△ABP的面积的最小值为eq\f（1,2)×5×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（16,5)－1)）＝eq\f(11,2）。2．已知实数x，y满足（x－2）2＋(y－1）2＝1，则z＝eq\f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．解析:由题意，得eq\f(y＋1,x）表示过点A（0,－1）和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点（x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0,则eq\f(|2k－2|，\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4±\r（7），3)，所以zmax＝eq\f(4＋\r(7）,3）,zmin＝eq\f（4－\r（7），3)。答案:eq\f（4＋\r(7),3）eq\f(4－\r(7)，3)（一）普通高中适用作业A级—-基础小题练熟练快1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．（x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋（y－1)2＝1C．x2＋（y－1）2＝1D．（x－1)2＋(y－1)2＝2解析:选B由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，x＋y＝2,))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1,,y＝1,)）即所求圆的圆心坐标为(1,1），又由该圆过点（1,0），得其半径为1，故圆的方程为（x－1）2＋(y－1）2＝1。2．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(）A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选D因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋（y－3)2＝9，若圆(x＋1）2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3）,所以－1＋3m＋4＝0,解得m＝－3．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点（a，b）到原点的距离为（)A．1 B．2C.eq\r(2) D．4解析：选B由半径r＝eq\f（1,2）eq\r(D2＋E2－4F）＝eq\f(1,2）eq\r（4a2＋4b2）＝2，得eq\r（a2＋b2）＝2。∴点(a，b)到原点的距离d＝eq\r(a2＋b2)＝2，故选B.4．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A．(x－2)2＋(y＋1）2＝1 B．（x－2)2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2）2＝4 D．（x＋2）2＋（y－1)2＝1解析:选A设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（x1＋4，2),，y＝\f（y1－2，2)，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝2x－4，,y1＝2y＋2，））代入x2＋y2＝4，得(2x－4）2＋（2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1）2＝1.5．(2018·成都高新区月考)已知圆C经过点A（1,1)和B(2，－2），且圆心C在直线l:x－y＋1＝0上，则该圆的面积是（）A．5π B．13πC．17π D．25π解析：选D法一：设圆心为(a,a＋1)，半径为r(r〉0）,则圆的标准方程为(x－a)2＋（y－a－1)2＝r2,又圆经过点A(1,1）和点B(2，－2），故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－a2＝r2，,2－a2＋－3－a2＝r2,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－3，，r＝5，)）故该圆的面积是25π.法二:由题意可知圆心C在AB的中垂线y＋eq\f(1，2）＝eq\f（1，3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2)))，即x－3y－3＝0上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－3y－3＝0，，x－y＋1＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－3，,y＝－2，)）故圆心C为(－3，－2)，半径r＝|AC｜＝5，圆的面积是25π.6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点,且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为(）A．(x＋1)2＋y2＝2 B．（x＋1)2＋y2＝8C．(x－1）2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1，0）．根据题意,圆C的圆心坐标为(－1，0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝eq\f（|－1＋0＋3｜，\r（12＋12))＝eq\r(2），则圆的方程为(x＋1）2＋y2＝2.7．（2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切,则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0，1），即圆心为(0,1），设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r〉0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切,所以r＝d＝eq\f（｜－1＋3|,\r(2）)＝eq\r(2）,故该圆的标准方程是x2＋(y－1）2＝2.答案：x2＋（y－1）2＝28．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________解析:圆C的标准方程为(x＋a）2＋（y－2a）2＝4，所以圆心为（－a，2a），半径r＝2，故由题意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〈0,，|－a|〉2,，|2a｜〉2，））解得a〈－2，故实数a的取值范围为（－∞，－2)．答案:（－∞，－2）9．（2018·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M（0，eq\r（5）)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f（4\r（5）,5），则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0,所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f（2a，\r(5）)＝eq\f(4\r(5），5）,解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(4＋5）＝3，所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9。答案：(x－2)2＋y2＝910．在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________解析：因为直线mx－y－2m－1＝0（m∈R)恒过点(2,－1)，所以当点（2，－1)为切点时，半径最大,此时半径r＝eq\r（2）,故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。答案:（x－1)2＋y2＝2B级--中档题目练通抓牢1．(2018·南昌检测)圆心在y轴上,且过点（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程为（）A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：选B根据题意，设圆心坐标为（0，r），半径为r，则32＋（r－1)2＝r2,解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0。2．(2018·银川模拟)方程|y｜－1＝eq\r(1－x－12)表示的曲线是(）A．一个椭圆 B．一个圆C．两个圆 D．两个半圆解析:选D由题意知|y｜－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1）2＋（y－1）2＝1(y≥1）,其表示以(1，1）为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时,原方程可化为（x－1）2＋(y＋1）2＝1(y≤－1），其表示以(1，－1）为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程｜y｜－1＝eq\r（1－x－12)表示的曲线是两个半圆，选D。3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切,圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为（）A．（x＋1）2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．（x－1)2＋（y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D由题意知x－y＝0和x－y－4＝0平行,且它们之间的距离为eq\f(|4|,\r（2))＝2eq\r(2），所以r＝eq\r(2)。又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为（0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2），所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1）2＝2。4．已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为________________.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq\f（2π,3），设圆心(0，a)，半径为r,则rsineq\f（π，3)＝1，rcoseq\f（π，3)＝|a｜，解得r＝eq\f(2,\r(3）)，即r2＝eq\f(4,3）,｜a｜＝eq\f（\r(3）,3），即a＝±eq\f(\r（3),3），故圆C的方程为x2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y±\f(\r(3)，3）))2＝eq\f(4，3).答案：x2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（y±\f(\r（3）,3）)）2＝eq\f(4,3）5．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝（k－1）x＋2的倾斜角α＝________。解析:由题意可知，圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r（k2＋4－4k2)＝eq\f（1,2)eq\r(4－3k2）≤1，当半径r取最大值时,圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1,又α∈[0,π），故α＝eq\f(3π，4)。答案：eq\f（3π，4)6．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1,0）和B(3,4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且｜CD｜＝4eq\r(10）.（1)求直线CD的方程；（2)求圆P的方程．解：（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1），即x＋y－3＝0。(2)设圆心P（a，b）,则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又∵直径｜CD|＝4eq\r(10)，∴｜PA｜＝2eq\r(10)，∴（a＋1）2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－3，，b＝6)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝5，，b＝－2。))∴圆心P（－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋（y－6)2＝40或(x－5)2＋（y＋2）2＝40。7．已知过原点的动直线l与圆C1:x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B。(1)求圆C1的圆心坐标．（2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解:（1）把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．(2）设M(x,y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点，∴由圆的性质知:MC1⊥MO，∴eq\o（MC1，\s\up7（→））·eq\o（MO，\s\up7(→）)＝0.又∵eq\o(MC1,\s\up7（→))＝(3－x，－y)，eq\o(MO,\s\up7(→)）＝(－x，－y)，∴x2－3x＋y2＝0。易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx,当直线l与圆C1相切时，圆心到直线l的距离d＝eq\f(｜3m－0｜，\r(m2＋1)）＝2，解得m＝±eq\f(2\r（5),5)。把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝eq\f(5,3）.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为（3，0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点,M为AB的中点,∴eq\f（5,3)〈x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中eq\f(5,3）〈x≤3，其轨迹为一段圆弧．C级—-重难题目自主选做1．已知M（m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．（1）求m＋2n的最大值；（2）求eq\f(n－3，m＋2）的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7），半径r＝2eq\r（2），设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq\f（|2＋2×7－t｜,\r(12＋22））≤2eq\r(2)，解得16－2eq\r（10）≤t≤16＋2eq\r（10）,所以m＋2n的最大值为16＋2eq\r(10）.(2)记点Q（－2，3），因为eq\f（n－3，m＋2）表示直线MQ的斜率k,所以直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0。由直线MQ与圆C有公共点，得eq\f(｜2k－7＋2k＋3｜，\r（1＋k2)）≤2eq\r(2).可得2－eq\r（3)≤k≤2＋eq\r(3），所以eq\f（n－3,m＋2）的最大值为2＋eq\r(3），最小值为2－eq\r(3）.2．已知圆C的方程为x2＋（y－4）2＝1，直线l的方程为2x－y＝0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB，切点为A,B。（1）若∠APB＝60°，求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为（0，4)，|PC｜＝2，设P（a，2a），则eq\r(a2＋2a－42）＝2,解得a＝2或a＝eq\f（6，5)，所以点P的坐标为(2,4)或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(6，5)，\f(12，5）)).（2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋（y－4）（y－2b）＝0,整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0,即（x2＋y2－4y）－b(x＋2y－8)＝0.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝4）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（8,5)，,y＝\f(16，5)，)）所以该圆必经过定点（0,4)和eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（8,5），\f(16，5）)).(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．以M（1,0）为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是（)A．（x－1）2＋y2＝8 B．(x＋1）2＋y2＝8C．(x－1）2＋y2＝16 D．（x＋1）2＋y2＝16解析:选A因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M（1,0）到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r,即r＝eq\f（|1－0＋3|，\r（2））＝2eq\r（2）。所以所求圆的方程为（x－1)2＋y2＝8。2．若圆C的半径为1，圆心C与点（2，0）关于点(1，0)对称,则圆C的标准方程为（）A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．（x－1）2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A因为圆心C与点（2，0）关于点(1，0)对称,故由中点坐标公式可得C（0,0),所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0（a〉0，b>0)把圆(x＋4）2＋(y＋1）2＝16分成面积相等的两部分，则eq\f（1,2a)＋eq\f（2,b)的最小值为（)A．10 B．8C．5 D．4解析:选B∵圆（x＋4)2＋(y＋1）2＝16的圆心坐标为(－4,－1），直线ax＋by＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点（－4，－1），∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴eq\f(1，2a）＋eq\f（2，b)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2a）＋\f(2，b)））(4a＋b）＝4＋eq\f（8a，b）＋eq\f（b，2a)≥4＋2eq\r（\f(8a，b）×\f（b,2a))＝8，当且仅当a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)时取“＝”，故选B.4．（2018·湖北七市（州）联考）关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1;③曲线C的长度l满足l>4eq\r（2）;④曲线C所围成图形的面积S满足π<S〈4.上述命题中，真命题的个数是(）A．4 B．3C．2 D．1解析：选A①将(x，－y)，（－x，y），(－x,－y)代入，方程不变，确定曲线C关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①正确．②x2＋y4＝1⇒0≤x2≤1，0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为eq\r（x2＋y2)≥1，故②正确；③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间,如图所示，其每一段弧长均大于eq\r(2),所以l〉4eq\r(2）,故③正确；④由③知,π×12〈S<2×2，即π〈S〈4，故④正确．选A。5．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为（）A．（x＋1)2＋（y－1）2＝2 B．（x＋1)2＋(y＋1）2＝2C．（x－1)2＋（y－1）2＝2 D．(x－1）2＋（y＋1)2＝2解析：选D由题意知x－y＝0和x－y－4＝0平行，且它们之间的距离为eq\f(｜4｜,\r（2)）＝2eq\r（2），所以r＝eq\r（2）.又因为x＋y＝0与x－y＝0,x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0），由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为（2，－2)，所以圆心坐标为(1,－1），圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。6．圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r（3),3）x对称的圆的方程是________．解析：圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a，b），则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（b－0，a－2）×\f（\r（3）,3)＝－1,,\f(b＋0,2)＝\f（\r（3）,3）×\f（a＋2,2），))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1,,b＝\r(3）,)）所以圆（x－2)2＋y2＝4的圆心关于直线y＝eq\f（\r(3),3)x对称的点的坐标为(1，eq\r（3））,从而所求圆的方程为（x－1）2＋(y－eq\r（3))2＝4。答案：(x－1)2＋(y－eq\r(3)）2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________解析:圆C的标准方程为(x＋a）2＋（y－2a）2＝4，所以圆心为（－a,2a）,半径r＝2,故由题意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,，|－a｜〉2，，｜2a|〉2，)）解得a〈－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．答案：（－∞，－2)8．已知平面区域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥0，,y≥0，，x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：（x－a）2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0），P（4,0），Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点（2,1)，半径r＝eq\f（｜PQ｜,2）＝eq\r(5），因此圆C的方程为（x－2）2＋(y－1）2＝5。答案：（x－2)2＋(y－1）2＝59．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标．（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解：（1)把圆C1的方程化为标准方程得（x－3)2＋y2＝4,∴圆C1的圆心坐标为C1（3,0）．(2）设M(x，y），∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点,∴由圆的性质知:MC1⊥MO，∴eq\o（MC1，\s\up7（→））·eq\o(MO，\s\up7(→))＝0.又∵eq\o(MC1,\s\up7(→)）＝（3－x，－y)，eq\o(MO，\s\up7（→)）＝（－x，－y)，∴x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时,圆心到直线l的距离d＝eq\f(|3m－0｜,\r(m2＋1)）＝2，解得m＝±eq\f（2\r(5)，5).把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝eq\f（5,3）。当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴eq\f(5,3）〈x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中eq\f(5,3）<x≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M(m，n）为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；（2）求eq\f（n－3,m＋2）的最大值和最小值．解:（1）因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C（2，7)，半径r＝2eq\r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×7－t｜,\r（12＋22)）≤2eq\r（2），解得16－2eq\r(10）≤t≤16＋2eq\r（10），所以m＋2n的最大值为16＋2eq\r(10)。(2）记点Q(－2，3），因为eq\f(n－3,m＋2）表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2）,即kx－y＋2k＋3＝0。由直线MQ与圆C有公共点，得eq\f（｜2k－7＋2k＋3｜，\r(1＋k2))≤2eq\r（2）。可得2－eq\r（3）≤k≤2＋eq\r（3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3），最小值为2－eq\r(3)。B级-—拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟）方程|y｜－1＝eq\r（1－x－12）表示的曲线是(）A．一个椭圆 B．一个圆C．两个圆 D．两个半圆解析：选D由题意知|y|－1≥0,则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为（x－1）2＋(y－1)2＝1(y≥1），其表示以（1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时,原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1（y≤－1),其表示以（1，－1）为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y｜－1＝eq\r(1－x－12）表示的曲线是两个半圆,选D.2．已知圆C关于y轴对称,经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2,则圆C的方程为________________.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq\f（2π，3),设圆心(0,a)，半径为r，则rsineq\f(π，3）＝1,rcoseq\f(π，3)＝｜a|，解得r＝eq\f（2,\r(3）），即r2＝eq\f（4，3)，|a|＝eq\f（\r（3),3）,即a＝±eq\f(\r（3)，3)，故圆C的方程为x2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y±\f(\r（3)，3））)2＝eq\f(4,3).答案：x2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\c