2019版数学（文）教师用书：第九章 第一节 随机事件的概率 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一节随机事件的概率1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1）频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A）＝eq\a\vs4\al（\f(nA，n))为事件A出现的频率．（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并（和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B(或A＋B)交（积）事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P（A∪B）＝14．概率的几个基本性质（1)概率的取值范围：0≤P（A）≤1。（2）必然事件的概率为eq\a\vs4\al（1)。（3）不可能事件的概率为eq\a\vs4\al(0)。（4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B）＝P（A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B）＝eq\a\vs4\al（1)，P（A）＝1－P（B）．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．（）(2）对立事件一定是互斥事件,互斥事件也一定是对立事件．（)（3)事件发生的频率与概率是相同的．（)（4）若事件A发生的概率为P(A)，则0〈P（A)<1。()答案:(1）√(2）×（3）×(4)×2．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1,A2是对立事件,那么（)A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立．3．（教材习题改编）某人进行打靶练习，共射击10次,其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次,则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．解析:中靶的频数为9,试验次数为10，所以中靶的频率为eq\f(9，10）＝0。9，所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9。同理得中10环的概率约为0。2.答案:0.90。24．（教材习题改编）如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心的概率是eq\f（1，4)，取到方块的概率是eq\f(1,4），则取到黑色牌的概率是________．解析：取到黑色牌的概率为1－eq\f(1,4)－eq\f(1,4)＝eq\f（1，2).答案：eq\f（1,2)5．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品,已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f（3，7)；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析:①错，不一定有10件次品；②错，eq\f（3，7)是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：06．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为________．解析：从1,2，3，4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3）,（2，3,4)，(3，4，5），共3种，故选出的火炬手的编号相连的概率为P＝eq\f(3，10）。答案：eq\f(3，10）eq\a\vs4\al(考点一随机事件的关系)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]eq\x(随机事件的关系在高考中极少单独考查,有时作为条件出现在解答题中，难度较小。）1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶"包括“中靶一次"和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶"与之互斥．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f（3，10）,那么概率是eq\f(7，10）的事件是(）A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A。3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹,设A＝｛两次都击中飞机｝，B＝{两次都没击中飞机｝,C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机｝，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅,B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅,B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B,A与C，B与C，B与DB与D[怎样快解·准解］判断互斥、对立事件的2种方法（1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件．(2）集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件eq\x\to（A）所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．eq\a\vs4\al(考点二随机事件的频率与概率)eq\a\vs4\al（重点保分型考点-—师生共研)随机事件的频率与概率是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度中等.[典题领悟］（2017·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元,售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高气温［10,15）［15,20）［20,25）［25,30)[30,35）［35，40）天数216362574eq\o（,,\s\do4（❶))以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元)．当六eq\o(，,\s\do4（❸）)月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可eq\o（,,\s\do4（❹））能值，并估计Y大于零的概率．[学审题]①看到频数分布表想到表中最高气温所在区间与天数的对应关系；②看到估计概率想到频率与概率的关系可得估计值；③看到酸奶的利润想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理；④看到每一天的进货量为450瓶,由于销售量受气温的影响想到气温区间的需求量不同想到分类讨论．解:(1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f（2＋16＋36，90)＝0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0。6。（2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25),则Y＝6×300＋2（450－300）－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值为900,300,－100。Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90）＝0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0。8.［解题师说]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的，而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[冲关演练］(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a（单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1。251.51.752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1）记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；（2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求P(B)的估计值；（3）求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50，200)＝0。55，故P（A）的估计值为0。55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f（30＋30，200)＝0。3,故P（B）的估计值为0。3.（3)由所给数据得保费0.85a1.251。51.752频率0.300。250.150.150。100.05调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0。30＋a×0。25＋1。25a×0。15＋1。5a×0。15＋1。75a×0.10＋2a×因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925aeq\a\vs4\al（考点三互斥事件、对立事件概率公式的应用）eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研）互斥事件、对立事件的概率公式是每年高考的热点,既有单独命题，也与其它概率知识综合命题。题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等。［典题领悟]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券,多购多得。1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B，C，求：（1）P（A)，P（B），P（C）;(2）1张奖券的中奖概率；(3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[学审题](1）看到1张奖券中奖想到中奖的可能有三种:①中特等奖;②中一等奖；③中二等奖．(2)看到1张奖券不中特等奖且不中一等奖想到中二等奖或不中奖．解：(1)P（A）＝eq\f（1，1000）,P（B)＝eq\f（10，1000)＝eq\f(1，100），P（C）＝eq\f(50,1000）＝eq\f(1,20）。故事件A，B，C的概率分别为eq\f（1,1000），eq\f(1,100),eq\f(1,20）.（2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M＝A∪B∪C。因为A，B,C两两互斥,所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P(A）＋P（B)＋P(C）＝eq\f（1＋10＋50，1000）＝eq\f(61，1000）。故1张奖券的中奖概率为eq\f(61，1000).(3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖"为对立事件，所以P(N）＝1－P(A∪B）＝1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，1000)＋\f(1，100)))＝eq\f（989，1000）.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f（989,1000）.[解题师说］求复杂的互斥事件的概率的方法（1）直接法(2）间接法（正难则反)[注意］(1）对于互斥事件要抓住如下2个特征进行理解：①互斥事件研究的是两个(或多个）事件之间的关系;②所研究的事件是在一次试验中涉及的．（2)在应用题背景下，能否把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键．[冲关演练]某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人)x3025y10结算时间(分钟/人）11。522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。(1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45,所以x＝15，y＝20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为eq\f（1×15＋1.5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10,100）＝1。9（分钟)．（2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)＝eq\f（20,100）＝eq\f（1，5），P（A2)＝eq\f(10，100）＝eq\f(1,10).则P（A）＝1－P（A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10）＝eq\f（7，10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10）。（一)普通高中适用作业A级—-基础小题练熟练快1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上"的频率为(）A．49 B．0.5C．0。51 D．0。49解析：选C由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上"的频率为eq\f（51,100）＝0.51.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球"B．“至少有一个黑球”与“都是红球"C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析:选DA中的两个事件是包含关系,不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球"的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(）A．0.45B．0.67C．0。64D．0.32解析：选D由题可知，摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0。23,故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0。23＝0.32。4．抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1,2，3,4,5，6个点)一次,观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A∪B）＝()A。eq\f(1,3） B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：选B事件A为掷出向上为偶数点，所以P（A）＝eq\f（1，2）。事件B为掷出向上为3点，所以P（B)＝eq\f（1，6)，又事件A，B是互斥事件,事件(A∪B）为事件A，B有一个发生的事件,所以P(A∪B)＝P（A)＋P(B)＝eq\f（2，3）.5．（2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5％和3%，则抽检一件是正品（甲级)的概率为()A．0.95 B．0。97C．0。92 D．0。08解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝1－P(B)－P(C）＝1－5%－3％＝92%＝0。92。6．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to(B）发生的概率为（)A。eq\f（1,3) B.eq\f(1,2)C。eq\f（2,3） D.eq\f(5，6）解析：选C掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P（A)＝eq\f(2,6）＝eq\f（1，3）,P（B)＝eq\f（4，6）＝eq\f(2,3)，所以P（eq\x\to(B））＝1－P(B)＝1－eq\f（2，3)＝eq\f(1，3）,因为eq\x\to（B)表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P（A＋eq\x\to（B))＝P（A）＋P(eq\x\to(B））＝eq\f（1，3）＋eq\f(1，3)＝eq\f（2，3).7．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)［20,30）［30,40）［40,50)［50,60）［60,70］频数234542则样本数据落在区间[10，40)的频率为________．解析:数据落在区间［10，40）的频率为eq\f(2＋3＋4，20)＝eq\f（9，20）＝0。45。答案：0。458．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率为________，断头超过两次的概率为________．解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0。05＝0.97.于是,断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0。97＝0。03.答案：0。970。039．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠"的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度,其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．解析：在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为1－eq\f（14，50)＝eq\f(18，25），则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×eq\f（18,25)＝6912(人)．答案：691210．一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f（7,15），取得两个绿球的概率为eq\f（1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球"与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f（7，15)＋eq\f(1,15)＝eq\f（8,15）。由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A）＝1－P(B)＝1－eq\f（1，15)＝eq\f（14，15）。答案：eq\f（8，15）eq\f(14，15）B级——中档题目练通抓牢1．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”,结论乙：“概率满足P（A)＋P(B）＝1”,则甲是乙的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A)＋P(B）＝1。设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面"，事件B:“3次出现正面”，则P（A)＝eq\f(7,8）,P(B）＝eq\f(1，8)，满足P(A）＋P（B）＝1，但A,B不是对立事件．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f（1，7),都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(）A。eq\f(1，7) B。eq\f（12,35)C。eq\f（17，35） D。1解析：选C设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A）＋P(B）＝eq\f（1，7）＋eq\f(12，35)＝eq\f(17，35)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f（17,35).3．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0,且P(A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是(A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5,4）,2）) B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5，4），\f（3，2）))C。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(5,4)，\f（3,2）)） D.eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（5，4），\f(4,3))）解析：选D由题意可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0<PA<1,，0〈PB<1，，PA＋PB≤1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5〈1，,3a－3≤1，)）解得eq\f(5,4)〈a≤eq\f（4,3)。4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项,－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得an＝(－3）n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P＝eq\f（6，10)＝eq\f（3,5）.答案：eq\f（3,5）5．若A，B互为对立事件,其概率分别为P(A)＝eq\f(4,x），P(B)＝eq\f（1,y),则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x〉0，y〉0，eq\f(4,x)＋eq\f（1，y）＝1。则x＋y＝（x＋y)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(4，x)＋\f(1,y)））＝5＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4y，x)＋\f（x,y))）≥5＋2eq\r（\f（4y，x)·\f(x，y))＝9，当且仅当x＝2y时等号成立,故x＋y的最小值为9。答案：96．(2018·湖北七市联考）某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2017年网上购物金额（单位:万元）均在区间［0。3，0.9]内，样本分组为:[0.3，0。4）,[0.4，0.5）,[0.5,0.6），［0.6，0。7)，[0。7,0。8），[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3，0.5）［0。5，0.6)[0.6，0。8)［0.8,0。9］发放金额50100150200（1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数;(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0。3≤x〈0.50.5≤x<0。60。6≤x<0.80.8≤x≤0。9y50100150200频率0。40.30.280。02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为eq\f（1,1000）(50×400＋100×300＋150×280＋200×20）＝96。(2）由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及（1）知P(y＝150）＝P（0.6≤x<0。8)＝0.28，P（y＝200)＝P（0.8≤x≤0.9)＝0。02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P（y≥150）＝P（y＝150）＋P(y＝200)＝0。28＋0.02＝0。3。7．某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3）如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解:（1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200，1000）＝0。2。(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f（100＋200,1000)＝0.3.（3)与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000）＝0。2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300，1000）＝0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f（100,1000)＝0。1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．C级—-重难题目自主选做如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10~2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；（2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径．解：(1）共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0。44。(2）选择L1的有60人，选择L2的有40人,故由调查结果得所求各频率为所用时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20。30.20。2L2的频率00.10。40.40。1（3）记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站．由（2）知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0。6，P（A2)＝0。1＋0.4＝0.5,P（A1)〉P(A2），故甲应选择L1；P（B1)＝0.1＋0.2＋0。3＋0.2＝0。8，P(B2）＝0.1＋0。4＋0。4＝0.9，P（B2）〉P(B1），故乙应选择L2。（二）重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球,其数量分别为3,2，1，从中任取两球,则互斥而不对立的两个事件为（)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：选D红球、黑球各取一个,则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件,故不是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5％和3％，则抽检一个产品是正品（甲级）的概率为(）A．0。95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P（B)－P(C)＝1－5％－3%＝92％＝0。92。3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（)A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析:选B这批米内夹谷约为eq\f（28，254)×1534≈169石，故选B.4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f（1，2）,乙获胜的概率为eq\f（1,3）,则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是eq\f(1,6） B．甲不输的概率是eq\f(1，2)C．乙输了的概率是eq\f(2，3) D．乙不输的概率是eq\f（1，2)解析：选A“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜"的概率是P＝1－eq\f（1，2）－eq\f（1,3)＝eq\f(1，6),故A正确；“乙输了”等于“甲获胜",其概率为eq\f(1,6),故C不正确；设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（A)＝eq\f(1,6）＋eq\f(1，2)＝eq\f（2,3）或设事件A为“甲不输”，则A是“乙获胜”的对立事件，所以P(A）＝1－eq\f（1,3)＝eq\f（2，3)，故B不正确;同理,“乙不输”的概率为eq\f(5，6)，故D不正确．5．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现"，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to（B)发生的概率为（）A.eq\f(1,3） B。eq\f(1,2）C。eq\f(2,3） D.eq\f（5,6）解析：选C掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f（2,3),所以P（eq\x\to(B））＝1－P(B）＝1－eq\f(2，3）＝eq\f(1，3)，因为eq\x\to(B）表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P（A＋eq\x\to（B)）＝P（A）＋P(eq\x\to(B))＝eq\f（1，3)＋eq\f(1,3）＝eq\f(2，3)。6．若A，B为互斥事件，P(A）＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P（B)＝________。解析：∵A，B为互斥事件,∴P(A∪B)＝P（A)＋P（B),∴P（B）＝P(A∪B）－P（A）＝0。7－0.4＝0。3.答案:0。37．“键盘侠"一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠"的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq\f(14，50）＝eq\f(18,25)，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×eq\f(18,25)＝6912（人）．答案：69128．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个,取得两个红球的概率为eq\f（7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球"与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7，15)＋eq\f（1,15)＝eq\f(8,15）.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球"是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P（B)＝1－eq\f(1,15）＝eq\f（14，15)。答案：eq\f（8，15）eq\f(14,15)9．(2018·湖北七市联考）某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2017年网上购物金额（单位：万元)均在区间［0.3，0.9］内，样本分组为：［0.3,0.4)，[0.4，0.5），［0。5，0。6),［0。6,0.7)，［0.7,0.8），[0。8,0。9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组［0。3,0.5)[0.5，0.6)［0.6,0。8）［0.8，0.9]发放金额50100150200（1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2）以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1）购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x〈0.50.5≤x<0。60.6≤x<0。80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280。02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为eq\f（1,1000）（50×400＋100×300＋150×280＋200×20）＝96.（2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及（1）知P(y＝150)＝P(0.6≤x〈0。8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0。9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P（y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3。10．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额（元)01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（1）若每辆车的投保金额为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率．(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A)＝eq\f(150，1000）＝0.15，P（B）＝eq\f（120,1000)＝0。12，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P（B）＝0.15＋0。12＝0。27。（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元",由已知，样本车辆中车主是新司机的有0。1×1000＝100（位），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f（24，100）＝0.24,由频率估计概率得P（C）＝0.24。B级——拔高题目稳做准做1．在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B，C,D的概率分别为0.2，0.2,0.3，0。3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件解析：选D由于A，B，C,D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:排除人数012345人及以上概率0。110。160.30.290.10.04则至多2人排队的概率为(）A．0.3 B．0。43C．0.57 D．0.27解析：选C记“没有人排队"为事件A，“1人排队"为事件B，“2人排队”为事件C，A,B，C彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E.则P（E）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C)＝0。11＋0。16＋0.3＝0。57。3．若随机事件A,B互斥,A，B发生的概率均不等于0,且P（A）＝2－a,P（B)＝4a－5，则实数a的取值范围是（A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5，4），2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5,4）,\f（3，2))）C。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(5，4)，\f(3，2）)) D.eq\b\lc\（\r