2019版数学（文）高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.3　平面向量的数量积及其应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精4．3平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e）的夹角,则(1）e·a＝a·e＝|a｜cosθ。(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝｜a｜|b｜；当a与b反向时，a·b＝－|a|｜b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4）cosθ＝eq\f(a·b,｜a||b|）。(5)|a·b｜≤｜a|｜b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1）a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b）＝a·(λb)(λ为实数）;(3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c。5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1）若a＝(x，y）,则|a|2＝x2＋y2或｜a｜＝eq\r(x2＋y2).(2)设A（x1，y1），B(x2,y2），则A，B两点间的距离|AB｜＝|eq\o(AB，\s\up6（→))｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3）设两个非零向量a，b，a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量a,b，a＝（x1,y1)，b＝（x2，y2）,θ是a与b的夹角,则cosθ＝eq\f（x1x2＋y1y2，\r(x\o\al（2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al（2,2）＋y\o\al（2，2））).特别提醒:(1）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．（2）对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.（3）在实数运算中，若a，b∈R，则|ab｜＝｜a|·｜b|,若a·b＝b·c(b≠0），则a＝c.但对于向量a，b却有｜a·b|≤｜a|·|b｜;若a·b＝b·c(b≠0），则a＝c不一定成立．例如a·b＝｜a｜|b|cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c.（4）两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数）而0·a＝0。(5)数量积不满足结合律(a·b）·c≠a·（b·c)．（6）a·b中的“·”不能省略．[诊断自测]1．概念辨析（1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(）(2）两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(）(3）若a·b〉0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(）（4）在△ABC中，Aeq\o（B,\s\up6（→))·Beq\o（C,\s\up6（→）)＝|Aeq\o（B，\s\up6（→））｜·|Beq\o（C,\s\up6（→）)|cosB.（）答案(1)√（2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A4P108T3)已知a·b＝－12eq\r(2)，｜a|＝4,a和b的夹角为135°，则｜b｜为()A．12B．6C．3eq\r(3)D．3答案B解析a·b＝－12eq\r(2)＝|a|｜b|cos135°,解得|b|＝6.故选B。(2)(必修A4P104例1）已知|a|＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为｜b｜cosθ＝4×cos120°＝－2.3．小题热身（1）（2017·包头质检)已知向量eq\o（BA，\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(\r(3）,2）)），eq\o（BC,\s\up6(→)）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)，\f（1，2））),则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析cos∠ABC＝eq\f(\o(BA，\s\up6（→))·\o(BC,\s\up6(→）)，|\o（BA,\s\up6（→)）｜|\o（BC,\s\up6(→）)｜）＝eq\f（\r（3）,2），所以∠ABC＝30°。故选A。(2）已知向量a,b的夹角为60°，|a｜＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案2eq\r（3)解析由题意知a·b＝|a｜｜b|cos60°＝2×1×eq\f（1，2)＝1，则|a＋2b｜2＝(a＋2b）2＝｜a|2＋4|b｜2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以|a＋2b｜＝2eq\r（3).题型1平面向量数量积的运算角度1求数量积eq\o(\s\up7（)，\s\do5（典例）)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq\o(AF，\s\up6(→))·eq\o（BC，\s\up6(→））的值为（）A．－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8）C.eq\f（1,4）D.eq\f（11，8)本题可采用向量基底法、坐标法．答案B解析解法一：如图，eq\o（AF，\s\up6（→）)·eq\o(BC,\s\up6(→）)＝(eq\o(AD，\s\up6（→）)＋eq\o(DF,\s\up6（→））)·eq\o（BC,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2）\o（BA，\s\up6(→))＋\f(3,2）\o(DE，\s\up6(→))))·eq\o（BC,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BA,\s\up6（→)）＋\f（3,4)\o(AC，\s\up6(→）)))·eq\o（BC,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）\o（BA，\s\up6(→)）＋\f(3，4)\o(BC，\s\up6（→)）－\f（3,4）\o(BA，\s\up6（→))）)·eq\o（BC,\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)\o(BA,\s\up6(→)）＋\f(3，4）\o（BC，\s\up6(→）））)·eq\o（BC,\s\up6(→))＝－eq\f（5,4)eq\o（BA，\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6(→))＋eq\f（3，4)eq\o(BC，\s\up6(→)）2＝－eq\f（5,4)×1×1×cos60°＋eq\f(3，4）×12＝eq\f（1,8）。故选B.解法二:建立平面直角坐标系,如图．则Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），0)），Ceq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），0)）,Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))），所以eq\o(BC，\s\up6（→））＝（1,0)．易知DE＝eq\f(1，2)AC，则EF＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(1，4）,因为∠FEC＝60°,所以点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，8）,－\f（\r(3），8))),所以eq\o（AF,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，8)，－\f（5\r（3)，8))），所以eq\o(AF,\s\up6（→))·eq\o(BC，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,8),－\f(5\r（3)，8））)·（1，0)＝eq\f(1，8）.故选B。方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1．利用定义．2．利用向量的坐标运算．如典例．冲关针对训练1．若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC。若eq\o(AE，\s\up6（→）)·eq\o（AF，\s\up6(→))＝1,eq\o(CE,\s\up6（→))·eq\o（CF,\s\up6(→)）＝－eq\f(2,3），则λ＋μ＝（）A.eq\f（1，2）B。eq\f（2，3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)答案C解析以eq\o(AB，\s\up6（→))，eq\o（AD，\s\up6（→））为基向量，则eq\o（AE，\s\up6（→)）·eq\o(AF,\s\up6（→)）＝(eq\o(AB,\s\up6（→））＋λeq\o（AD,\s\up6(→)））·(eq\o(AD，\s\up6(→)）＋μeq\o（AB,\s\up6（→））)＝μeq\o（AB,\s\up6(→）)2＋λeq\o（AD,\s\up6（→）)2＋(1＋λμ）eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD，\s\up6(→)）＝4（μ＋λ）－2（1＋λμ）＝1①。eq\o（CE，\s\up6（→))·eq\o(CF,\s\up6(→））＝（λ－1）eq\o（BC，\s\up6(→))·(μ－1）eq\o(DC,\s\up6（→））＝－2(λ－1)（μ－1）＝－eq\f(2，3)②,由①②可得λ＋μ＝eq\f(5,6）.故选C。2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o（AE，\s\up6（→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________。答案2解析解法一：eq\o（AE，\s\up6（→)）·eq\o(BD,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\o（AD,\s\up6(→))＋\f（1，2)\o(AB,\s\up6（→)）)）·（eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o（AB，\s\up6(→）))＝eq\o（AD，\s\up6（→)）2－eq\f（1,2）eq\o（AB，\s\up6（→））2＝22－eq\f(1，2）×22＝2。解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图），可得A(0,0)，E(1,2），B（2,0)，C（2，2），D(0，2),eq\o（AE，\s\up6(→）)＝(1，2)，eq\o（BD,\s\up6(→）)＝（－2,2），则eq\o(AE,\s\up6（→））·eq\o（BD，\s\up6(→))＝（1，2）·（－2，2)＝1×（－2）＋2×2＝2。角度2平面向量的夹角与垂直问题eq\o(\s\up7（)，\s\do5（典例1）)若非零向量a，b满足｜a｜＝eq\f(2\r（2)，3)·|b｜，且（a－b）⊥（3a＋2b),则a与b的夹角为（）A.eq\f（π,4）B。eq\f(π,2）C。eq\f（3π,4)D．π本题采用定义法．答案A解析∵（a－b)⊥(3a＋2b），∴（a－b)·(3a＋2b)＝0⇒3｜a｜2－a·b－2|b|2＝0⇒3｜a|2－｜a||b|cos〈a，b〉－2|b｜2＝0.又∵|a｜＝eq\f(2\r(2）,3）｜b｜,∴eq\f（8，3)|b｜2－eq\f(2\r（2），3)|b｜2·cos〈a，b〉－2|b|2＝0.∴cos<a,b〉＝eq\f(\r(2），2).∵〈a，b〉∈［0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f（π,4)。选A.eq\o（\s\up7（）,\s\do5（典例2))平面向量a＝（1,2）,b＝（4,2），c＝ma＋b(m∈R）,且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m＝(）A。－2B.－1C。1D。2本题采用坐标法、方程思想．答案D解析a＝（1,2)，b＝（4，2)，则c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2）,|a|＝eq\r(5）,｜b|＝2eq\r(5)，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20。∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴eq\f(c·a，｜c｜|a|）＝eq\f（c·b,｜c｜|b|）,∴eq\f（5m＋8,\r（5））＝eq\f(8m＋20,2\r（5）)，解得m＝2.故选D.eq\o(\s\up7（)，\s\do5(典例3))（2018·邢台模拟）已知△ABC周长为6，a,b，c分别为角A,B，C的对边，且a，b,c成等比数列，则eq\o(BA,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6（→）)的取值范围为（）A．［2,18) B.eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（3\r（5）－1,2），2））C.eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(27－9\r（5),2））） D．(2,9－3eq\r(5)）本题采用转化思想、向量法、余弦定理．答案C解析由题意可得a＋b＋c＝6,且b2＝ac，∴b＝eq\r（ac）≤eq\f(a＋c,2)＝eq\f（6－b，2),从而0<b≤2.再由｜a－c|〈b，得(a－c)2〈b2,（a＋c)2－4ac〈b2，∴（6－b)2－4b2<b2，得b2＋3b－9>0。又b〉0,解得b>eq\f（3\r（5)－3，2），∴eq\f（3\r（5)－3，2）<b≤2，∵cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（a2＋c2－ac,2ac),∴eq\o（BA,\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6(→））＝accosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2）＝eq\f(a＋c2－2ac－b2，2）＝eq\f(6－b2－3b2，2)＝－(b＋3)2＋27，则2≤eq\o(BA，\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6(→)）〈eq\f（27－9\r（5）,2).故选C.方法技巧求平面向量的夹角的方法1．定义法：利用向量数量积的定义知,cosθ＝eq\f（a·b，|a｜｜b｜），其中两个向量的夹角θ的范围为[0,π］，求解时应求出三个量：a·b，｜a｜,|b｜或者找出这三个量之间的关系．如典例2.2．坐标法：若a＝(x1，y1），b＝（x2，y2）,则cosθ＝eq\f（x1x2＋y1y2，\r(x\o\al(2，1)＋y\o\al(2,1））·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2，2)））。3．解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．如典例3。冲关针对训练1．若两个非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b|＝2｜a|，则向量a＋b与a的夹角为()A.eq\f（π,6）B。eq\f（π，3）C。eq\f（2π,3）D.eq\f(5π，6)答案B解析作▱ABCD，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AD，\s\up6（→)）＝b,则eq\o(AC，\s\up6(→))＝a＋b，eq\o（DB，\s\up6（→))＝a－b,由｜a＋b|＝|a－b｜,知▱ABCD为矩形．又｜a＋b｜＝2｜a|，所以∠CAB＝eq\f（π,3).故选B.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6（→））与eq\o（AC，\s\up6(→)）的夹角为120°，且｜eq\o(AB，\s\up6(→）)｜＝3，|eq\o(AC，\s\up6(→))|＝2。若eq\o（AP,\s\up6(→）)＝λeq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6（→）），且eq\o(AP,\s\up6（→)）⊥eq\o(BC，\s\up6(→))，则实数λ的值为______．答案eq\f（7,12)解析∵eq\o(AP,\s\up6（→）)⊥eq\o（BC，\s\up6（→）），∴eq\o(AP,\s\up6(→)）·eq\o(BC，\s\up6(→)）＝0,∴（λeq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(AC，\s\up6（→）））·eq\o(BC，\s\up6（→））＝0，即（λeq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6(→））)·（eq\o(AC，\s\up6(→)）－eq\o（AB，\s\up6（→))）＝λeq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6（→))－λeq\o（AB，\s\up6(→)）2＋eq\o（AC,\s\up6（→)）2－eq\o（AC,\s\up6(→））·eq\o（AB，\s\up6（→))＝0.∵向量eq\o（AB，\s\up6（→))与eq\o（AC,\s\up6（→））的夹角为120°,|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o（AC，\s\up6(→)）|＝2，∴（λ－1）｜eq\o（AB，\s\up6（→))||eq\o（AC,\s\up6(→））｜·cos120°－9λ＋4＝0,解得λ＝eq\f(7，12)。角度3求向量的模（或最值、范围）eq\o（\s\up7（),\s\do5(典例））已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC。若点P的坐标为（2，0)，则|eq\o（PA，\s\up6(→））＋eq\o(PB，\s\up6（→））＋eq\o(PC,\s\up6（→)）|的最大值为()A．6B．7C．8D．9本题采用三角函数法、不等式法．答案B解析解法一:由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径．故eq\o（PA，\s\up6（→））＋eq\o（PC，\s\up6（→））＝2eq\o（PO，\s\up6(→）)＝(－4,0)(O为坐标原点)．设B（cosα，sinα），∴eq\o（PB，\s\up6（→））＝(cosα－2，sinα），∴eq\o(PA,\s\up6（→))＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o（PC，\s\up6（→)）＝(cosα－6，sinα),｜eq\o（PA,\s\up6(→））＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→）)｜＝eq\r(cosα－62＋sin2α）＝eq\r（37－12cosα)≤eq\r(37＋12)＝7,当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B（－1，0），故|eq\o(PA，\s\up6（→)）＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC，\s\up6(→)）｜的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得eq\o(PA,\s\up6(→））＋eq\o（PC，\s\up6（→))＝2eq\o（PO,\s\up6（→）)(O为坐标原点），又eq\o（PB,\s\up6(→)）＝eq\o(PO，\s\up6(→）)＋eq\o（OB,\s\up6(→））,∴｜eq\o（PA,\s\up6(→））＋eq\o(PB,\s\up6（→)）＋eq\o(PC,\s\up6(→）)｜＝｜3eq\o(PO，\s\up6(→））＋eq\o(OB，\s\up6(→))|≤3|eq\o（PO，\s\up6（→))｜＋｜eq\o（OB，\s\up6（→))｜＝3×2＋1＝7，当且仅当eq\o(PO，\s\up6（→））与eq\o(OB,\s\up6(→))同向时取等号,此时B点坐标为（－1，0)，故｜eq\o(PA，\s\up6(→））＋eq\o（PB，\s\up6（→）)＋eq\o（PC，\s\up6(→）)｜max＝7。故选B。方法技巧求向量模及最值（范围）的方法1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；见典例答案解法一．2．几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；见典例答案解法二．3．利用绝对值三角不等式||a｜－|b|｜≤｜a±b｜≤|a|＋｜b|求模的取值范围．见典例答案解法二．冲关针对训练已知向量a，b，c,满足|a｜＝2，｜b|＝a·b＝3，若(c－2a）·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（c－\f（2,3)b)）＝0，则|b－c|的最小值是（)A．2－eq\r（3)B．2＋eq\r（3）C．1D．2答案A解析根据条件,设a＝（1,eq\r（3)），b＝（3,0），设c＝（x，y），则(c－2a)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(c－\f(2，3)b）)＝（x－2,y－2eq\r（3））·(x－2，y）＝0;∴（x－2）2＋（y－eq\r(3））2＝3；∴c的终点在以(2,eq\r（3））为圆心，eq\r(3）为半径的圆上，如图所示:∴|b－c|的最小值为eq\r（2－32＋\r(3)－02)－eq\r（3）＝2－eq\r（3).故选A。角度4求参数的取值eq\o（\s\up7（),\s\do5（典例))在△ABC中,已知eq\o(AB，\s\up6（→））＝（2,3)，eq\o(AC，\s\up6(→））＝(1，k）,且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________．本题采用方程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论．答案－eq\f（2，3）或eq\f(11,3）或eq\f(3±\r(13），2)解析①若∠A＝90°，则有eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－eq\f（2，3）.②若∠B＝90°，则有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→））＝0，因为eq\o（BC,\s\up6(→))＝eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o(AB,\s\up6（→））＝（－1，k－3），所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝eq\f(11,3).③若∠C＝90°，则有eq\o(AC,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6（→）)＝0，即－1＋k（k－3）＝0,解得k＝eq\f（3±\r（13），2).综上所述，得k＝－eq\f（2，3）或eq\f(11,3）或eq\f（3±\r(13）,2).方法技巧平面向量中的参数及范围的求法1．利用方程思想,由已知列出方程或方程组，进而求解．如典例．2．利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值．如冲关针对训练．冲关针对训练设两个向量e1，e2满足｜e1|＝2,｜e2|＝1，e1与e2的夹角为eq\f（π，3)，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角,得eq\f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|｜e1＋te2｜)<0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2）〈0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7〈t<－eq\f(1,2)。当夹角为π时，也有(2te1＋7e2）·(e1＋te2)〈0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ〈0，可求得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2t＝λ，,7＝λt,,λ<0，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝－\r(14）,,t＝－\f(\r(14）,2）。))∴所求实数t的范围是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r（14)，2))）∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（14)，2),－\f（1,2）））。题型2平面向量的综合应用角度1在平面几何中的应用eq\o（\s\up7(）,\s\do5(典例1))已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点,则eq\o（CP，\s\up6（→）)·（eq\o（BA，\s\up6(→））－eq\o(BC，\s\up6（→)))的最大值为________．本题采用坐标法、基向量法．答案9解析(坐标法）以C为原点,建立平面直角坐标系如图所示,设P点坐标为（x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则eq\o（CP,\s\up6（→）)·（eq\o（BA,\s\up6（→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(CP，\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→））＝(x,y)·(0，3）＝3y，当y＝3时，取得最大值9.eq\o（\s\up7(),\s\do5（典例2))如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB,BC上，且AB＝3AD，BC＝2BE。(1)用向量eq\o（AB,\s\up6（→))，eq\o（AC,\s\up6(→））表示eq\o（DE,\s\up6(→））；（2）设AB＝9，AC＝6，A＝60°，求线段DE的长．本例(1）问采用数形结合法，(2）问采用向量法．解(1)∵AB＝3AD，BC＝2BE，∴eq\o(DB，\s\up6(→)）＝eq\f（2,3）eq\o(AB，\s\up6(→))，eq\o（BE,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）eq\o(BC，\s\up6（→））＝eq\f（1,2）(eq\o（AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB，\s\up6（→))），∴eq\o(DE,\s\up6(→）)＝eq\o（DB,\s\up6（→））＋eq\o(BE，\s\up6(→））＝eq\f(2，3）eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\f(1，2)eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\f(1，2)eq\o（AB，\s\up6（→））＝eq\f（1，6）eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\f（1,2）eq\o(AC，\s\up6(→)）。(2）eq\o（AB，\s\up6（→)）2＝81，eq\o（AC,\s\up6(→））2＝36，eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o(AC，\s\up6(→))＝9×6×cos60°＝27，∴eq\o(DE，\s\up6（→)）2＝eq\f(1,36)eq\o（AB,\s\up6（→）)2＋eq\f(1，6)eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→））＋eq\f(1，4）eq\o(AC，\s\up6(→）)2＝eq\f（63,4），∴DE＝｜eq\o(DE,\s\up6（→））|＝eq\r（\f(63,4）)＝eq\f(3\r（7），2）。角度2三角函数与向量eq\o(\s\up7（）,\s\do5(典例））已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ)，0<β<α<π.（1）若｜a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b;（2）设c＝（0,1)，若a＋b＝c,求α,β的值．利用转化法将向量方程转化为三角方程．解（1)证明：由题意得|a－b｜2＝2，即（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝2.因为a2＝b2＝|a|2＝|b｜2＝1,所以1－2a·b＋1＝2.所以a·b＝0.故a⊥b.（2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ,sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0,,sinα＋sinβ＝1，）)由此得cosα＝cos（π－β),由0〈β<π，得0〈π－β〈π.又0<α<π，所以α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f（1，2），又α>β,所以α＝eq\f（5π,6)，β＝eq\f(π,6)。角度3向量与解三角形的综合eq\o（\s\up7（）,\s\do5(典例1))已知O是△ABC内部一点，eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\o（OB，\s\up6(→））＋eq\o（OC，\s\up6（→））＝0，eq\o（AB，\s\up6(→))·eq\o(AC，\s\up6（→）)＝2且∠BAC＝60°,则△OBC的面积为()A。eq\f（\r（3），3）B。eq\f（1,2）C.eq\f（\r（3)，2）D.eq\f(2，3)用三角形重心定理．答案A解析∵eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（OB,\s\up6（→))＋eq\o（OC，\s\up6（→）)＝0，∴eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（OB,\s\up6（→））＝－eq\o（OC,\s\up6(→))，∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的eq\f（1，3）.∵eq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o（AC，\s\up6（→））＝2，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o（AC,\s\up6（→))｜cos∠BAC＝2.∵∠BAC＝60°，∴｜eq\o（AB,\s\up6（→))｜·｜eq\o（AC，\s\up6(→))｜＝4,△ABC面积为eq\f(1,2)｜eq\o（AB,\s\up6（→))|·|eq\o（AC，\s\up6(→）)|sin∠BAC＝eq\r(3)，∴△OBC的面积为eq\f（\r(3),3)。故选A。eq\o（\s\up7（)，\s\do5(典例2）)在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a,b，c,已知向量m＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(A，2)，cos\f(A,2））），n＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(A，2),－cos\f（A，2）)），且2m·n＋｜m|＝eq\f（\r（2）,2），eq\o（AB，\s\up6(→）)·eq\o(AC，\s\up6(→))＝1。(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积S。利用转化法将向量等式转化为三角方程．解(1)因为2m·n＝2sineq\f（A，2)coseq\f（A,2)－2cos2eq\f（A,2）＝sinA－（cosA＋1）＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（A－\f（π,4）))－1,又|m｜＝1，所以2m·n＋｜m|＝eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)）)＝eq\f（\r（2),2），即sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(A－\f（π,4))）＝eq\f(1,2).因为0〈A〈π，所以－eq\f(π,4）<A－eq\f（π，4)〈eq\f(3π，4），所以A－eq\f(π，4)＝eq\f(π，6），即A＝eq\f（5π,12）。(2)cosA＝coseq\f（5π，12)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)＋\f（π，4）)）＝coseq\f（π，6)coseq\f(π,4）－sineq\f(π,6）sineq\f（π,4)＝eq\f（\r(6）－\r（2），4），因为eq\o（AB,\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6(→)）＝bccosA＝1，所以bc＝eq\r（6)＋eq\r(2).又sinA＝sineq\f(5π，12）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)＋\f(π,4))）＝eq\f(\r(6）＋\r（2）,4），所以△ABC的面积S＝eq\f（1,2)bcsinA＝eq\f（1,2)(eq\r(6）＋eq\r（2）)×eq\f（\r(6）＋\r(2),4）＝eq\f（2＋\r(3)，2）。角度4向量与解析几何的综合eq\o(\s\up7（），\s\do5（典例1））已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB｜＝2，点C为直线l上一点，且满足eq\o（CB,\s\up6(→））＝eq\f(5,2）eq\o（CA，\s\up6(→))，若M是线段AB的中点,则eq\o(OC，\s\up6（→))·eq\o(OM,\s\up6（→))的值为()A．3B．2eq\r(3）C．2D．－3运用数形结合思想,坐标法化为代数问题．答案A解析动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB｜＝2，则△OAB为等边三角形,于是可设动直线l为y＝eq\r(3）（x＋2），根据题意可得B(－2，0)，A（－1，eq\r(3）)，∵M是线段AB的中点,∴Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3,2），\f（\r(3）,2)）).设C(x,y），∵eq\o(CB，\s\up6(→)）＝eq\f（5,2）eq\o(CA,\s\up6(→）），∴(－2－x，－y)＝eq\f(5，2）（－1－x，eq\r（3）－y)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－x＝\f（5，2)－1－x,,－y＝\f（5,2)\r（3)－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f（1,3)，,y＝\f（5\r(3），3）,）)∴Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)，\f(5\r（3)，3））),∴eq\o(OC，\s\up6(→)）·eq\o(OM,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)，\f(5\r（3)，3)）)·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3,2),\f(\r（3），2）））＝eq\f(1，2)＋eq\f(5，2）＝3,故选A.eq\o(\s\up7（),\s\do5（典例2))已知圆C经过点A(1，3）,B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C.(1)求圆C的方程；(2)若直线l:y＝kx＋2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得eq\o（OM，\s\up6(→))·eq\o（ON,\s\up6（→)）＝6（O为坐标原点)，若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由．坐标法，利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解．解（1)线段AB的中点Eeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f（5,2）））,kAB＝eq\f(3－2,1－2）＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－eq\f（5,2）＝x－eq\f(3,2)，即x－y＋1＝0。因为圆C经过A，B两点,故圆心在线段AB的中垂线上．又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＋1＝0,,3x－2y＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝3,))即圆心的坐标为C(2，3），而圆的半径r＝｜BC|＝eq\r（2－22＋2－32）＝1,所以圆C的方程为(x－2)2＋（y－3)2＝1。(2）设M（x1，y1），N(x2，y2）,将y＝kx＋2代入圆C的方程，即（1＋k2)x2－(2k＋4）x＋4＝0，由Δ＝（2k＋4）2－16(1＋k2)〉0,得0<k<eq\f（4,3)，∴x1＋x2＝eq\f（2k＋4，1＋k2)，x1x2＝eq\f（4,1＋k2），∴eq\o（OM,\s\up6(→)）·eq\o(ON,\s\up6（→））＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋2)(kx2＋2）＝（1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2）＋4＝6，∴（1＋k2）eq\f(4,1＋k2)＋2k·eq\f(2k＋4，1＋k2)＋4＝6，即3k2＋4k＋1＝0,解得k＝－1或k＝－eq\f（1，3)。此时不满足Δ>0,与直线l与圆C交于M，N两点相矛盾，所以不存在直线l，使得eq\o(OM,\s\up6（→）)·eq\o(ON,\s\up6（→）)＝6。角度5向量与函数、不等式的综合eq\o（\s\up7（),\s\do5（典例1)）若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，3）＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o（OP,\s\up6（→)）·eq\o(FP,\s\up6（→)）的最大值为（）A．2B．3C．6D．8将向量问题用坐标法转化为函数问题求解．答案C解析由题意，得F（－1,0),设P(x0，y0）,则有eq\f（x\o\al(2,0），4)＋eq\f（y\o\al（2,0）,3）＝1,解得yeq\o\al(2,0）＝3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(x\o\al(2,0），4)）).因为eq\o（FP，\s\up6(→))＝(x0＋1，y0),eq\o（OP,\s\up6（→))＝(x0，y0），所以eq\o（OP,\s\up6(→）)·eq\o（FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al（2,0)＝xeq\o\al(2，0）＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（x\o\al（2，0),4））)＝eq\f（x\o\al（2,0),4)＋x0＋3,对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－2≤x0≤2,故当x0＝2时，eq\o（OP,\s\up6(→））·eq\o(FP，\s\up6（→))取得最大值eq\f（22,4）＋2＋3＝6。故选C。eq\o(\s\up7(）,\s\do5(典例2）)已知eq\o(AB，\s\up6（→））⊥eq\o（AC,\s\up6（→）),｜eq\o(AB,\s\up6（→）)|＝eq\f（1，t)，｜eq\o(AC,\s\up6（→))|＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\o（AB,\s\up6(→）），|\o（AB,\s\up6（→))｜)＋eq\f(4\o(AC，\s\up6（→）），|\o（AC，\s\up6（→)）|），则eq\o(PB,\s\up6(→)）·eq\o（PC,\s\up6（→）)的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21将向量问题化归为均值不等式问题．答案A解析由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0,0)，Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，t）,0)），C（0，t)，∵eq\o（AP，\s\up6（→）)＝eq\f（\o（AB，\s\up6（→）），｜\o(AB，\s\up6(→）)|）＋eq\f(4\o(AC，\s\up6（→）)，|\o（AC，\s\up6(→)）|)，∴P（1,4)，∴eq\o（PB，\s\up6（→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,t)－1，－4))，eq\o（PC，\s\up6(→）)＝(－1,t－4），∴eq\o（PB,\s\up6（→)）·eq\o（PC,\s\up6(→）)＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,t)－1)）－4(t－4）＝17－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4t＋\f（1，t))）,由基本不等式可得eq\f（1，t)＋4t≥2eq\r(\f(1，t）·4t)＝4，∴17－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（4t＋\f（1，t)))≤17－4＝13，当且仅当4t＝eq\f（1,t）,即t＝eq\f（1，2）时取等号，∴eq\o（PB，\s\up6（→)）·eq\o（PC，\s\up6（→）)的最大值为13。故选A。方法技巧1．平面向量的模及其应用的类型及解题策略（1）求向量的模的方法:①公式法,利用|a｜＝eq\r(a·a）及（a±b)2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解．（2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解;②几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．如题型1中角度3典例．2．向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些．如题型2角度1典例1.3．向量与三角函数综合应用（1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．如题型2中角度2典例．4．向量在解析几何中的作用（1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装"，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2）工具作用:利用a⊥b⇔a·b＝0;a∥b⇔a＝λb（b≠0),可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．如题型2角度4典例1.冲关针对训练1．（2018·沈阳模拟)设四边形ABCD为平行四边形，｜eq\o(AB，\s\up6（→））｜＝6，|eq\o（AD，\s\up6(→））|＝4，若点M，N满足eq\o(BM,\s\up6(→）)＝3eq\o（MC，\s\up6(→）)，eq\o（DN,\s\up6（→）)＝2eq\o（NC,\s\up6（→）),则eq\o（AM，\s\up6(→)）·eq\o（NM，\s\up6（→))＝（)A．20B．15C．9D．6答案C解析如图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，点M,N满足eq\o(BM，\s\up6(→））＝3eq\o（MC,\s\up6(→））,eq\o（DN,\s\up6（→)）＝2eq\o(NC，\s\up6（→）），∴根据图形可得：eq\o（AM,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\f（3,4)eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\f(3,4）eq\o（AD,\s\up6（→））,eq\o(AN，\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→）)＋eq\f(2，3）eq\o（DC，\s\up6(→）)＝eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\f（2，3）eq\o（AB,\s\up6（→）），∴eq\o(NM,\s\up6(→））＝eq\o(AM，\s\up6（→)）－eq\o（AN,\s\up6（→)），∵eq\o（AM,\s\up6(→)）·eq\o（NM,\s\up6(→)）＝eq\o(AM,\s\up6(→))·（eq\o（AM,\s\up6（→））－eq\o（AN，\s\up6（→））)＝eq\o(AM，\s\up6(→)）2－eq\o(AM，\s\up6（→)）·eq\o（AN，\s\up6（→）)，eq\o(AM，\s\up6（→））2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f（3，2）eq\o（AB，\s\up6（→)）·eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\f(9,16）eq\o(AD，\s\up6(→))2，eq\o(AM，\s\up6（→))·eq\o（AN,\s\up6（→）)＝eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up6(→）)2＋eq\f（3,4)eq\o（AD，\s\up6(→））2＋eq\f（3，2）eq\o（AB，\s\up6（→））·eq\o（AD,\s\up6(→)），|eq\o（AB,\s\up6（→）)｜＝6，｜eq\o（AD，\s\up6(→））｜＝4，∴eq\o(AM，\s\up6（→））·eq\o(NM，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up6(→))2－eq\f(3,16)eq\o（AD，\s\up6（→）)2＝12－3＝9。故选C。2．已知a，b为平面向量,若a＋b与a的夹角为eq\f(π,3），a＋b与b的夹角为eq\f(π,4），则eq\f(|a|,｜b｜）＝（）A.eq\f(\r(3），3)B.eq\f（\r(6）,4)C。eq\f(\r（5），3）D.eq\f（\r(6）,3)答案D解析如图所示：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB，\s\up6（→））＝a，eq\o(AD，\s\up6（→）)＝b，eq\o（AC,\s\up6(→))＝a＋b，∠BAC＝eq\f(π,3)，∠DAC＝eq\f(π，4)，在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(|a|，|b|)＝eq\f(sin\f（π,4),sin\f(π，3)）＝eq\f（\f（\r(2),2),\f(\r（3）,2））＝eq\f（\r(6），3）.故选D.3．过抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若eq\o（AF，\s\up6（→））＝eq\o(FB，\s\up6(→)），eq\o(BA,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6（→））＝48，则抛物线的方程为（)A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝16x D．y2＝4eq\r（2）x答案B解析如图所示,eq\o（AF,\s\up6（→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))⇒F为线段AB中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°.由eq\o（BA，\s\up6（→）)·eq\o(BC，\s\up6（→）)＝48,得BC＝4eq\r(3)，得AC＝4.∴由中位线的性质有p＝eq\f（1,2)AC＝2。故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.1.(2018·沧州调研)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→）)·(eq\o（PB，\s\up6(→））＋eq\o(PC,\s\up6（→）））的最小值是(）A．－2B．－eq\f（3,2)C．－eq\f（4,3)D．－1答案B解析解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有eq\o（PB,\s\up6（→）)＋eq\o（PC，\s\up6（→））＝2eq\o（PD,\s\up6（→）),则eq\o（PA,\s\up6(→)）·(eq\o（PB,\s\up6（→）)＋eq\o（PC，\s\up6（→)））＝2eq\o(PA，\s\up6（→）)·eq\o(PD,\s\up6(→)）＝2(eq\o（PE，\s\up6(→）)＋eq\o(EA，\s\up6（→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→））－eq\o(EA，\s\up6（→））)＝2(eq\o（PE,\s\up6（→))2－eq\o(EA，\s\up6（→））2)．而eq\o（AE,\s\up6（→))2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3），2)))2＝eq\f(3，4)，当P与E重合时，eq\o(PE,\s\up6(→））2有最小值0，故此时eq\o(PA,\s\up6（→)）·(eq\o（PB，\s\up6（→)）＋eq\o（PC,\s\up6（→)))取最小值，最小值为－2eq\o(EA,\s\up6（→）)2＝－2×eq\f（3，4)＝－eq\f(3，2）。故选B。解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图,则A(－1，0），B（1,0），C（0，eq\r(3）)，设P（x,y），取BC的中点D，则Deq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,\f(\r（3)，2）)）.eq\o（PA,\s\up6（→））·（eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC，\s\up6(→)））＝2eq\o（PA，\s\up6（→）)·eq\o(PD,\s\up6（→））＝2（－1－x，－y）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）－x,\f(\r（3）,2)－y))＝2eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(x＋1·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1，2）））＋y·\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f(\r（3），2)）)))＝2eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,4）)）2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y－\f（\r(3），4))）2－\f(3,4）))。因此，当x＝－eq\f(1，4）,y＝eq\f（\r(3）,4）时，eq\o(PA,\s\up6(→）)·（eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC,\s\up6(→）)）取得最小值,最小值为2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3，4）））＝－eq\f（3，2)。故选B。2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝（－1,2)，b＝（m，1）．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.答案7解析∵a＝（－1,2），b＝（m,1),∴a＋b＝(－1＋m，2＋1）＝（m－1，3)．又a＋b与a垂直,∴（a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1）＋3×2＝0，解得m＝7。3．（2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0），O为原点，则eq\o(AO,\s\up6（→））·eq\o(AP,\s\up6（→)）的最大值为________．答案6解析eq\a\vs4\al（解法一:)根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0），P（x，y）．由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为（x,0)．eq\o(AO，\s\up6（→)）·eq\o(AP，\s\up6（→）)＝|eq\o（AO，\s\up6(→))|｜eq\o(AP,\s\up6（→）)|cosθ，|eq\o(AO，\s\up6(→))｜＝2,|eq\o（AP,\s\up6（→）)｜＝eq\r(x＋22＋y2），cosθ＝eq\f(AQ,AP）＝eq\f(x＋2,\r(x＋22＋y2）），所以eq\o（AO,\s\up6(→)）·eq\o(AP，\s\up6(→)）＝2（x＋2)＝2x＋4.点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈［－1,1]．所以eq\o(AO，\s\up6(→）)·eq\o(AP,\s\up6（→)）的最大值为2＋4＝6.eq\a\vs4\al（解法二：）如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cosα，sinα）（0≤α＜2π），所以eq\o（AO，\s\up6（→）)＝（2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝（cosα＋2,sinα），eq\o（AO，\s\up6(→）)·eq\o(AP，\s\up6（→））＝2cosα＋4≤2＋4＝6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1，0）时“＝”号成立．4．(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3,AC＝2.若eq\o（BD，\s\up6(→)）＝2eq\o(DC，\s\up6(→)),eq\o(AE，\s\up6(→)）＝λeq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o（AB，\s\up6(→）)（λ∈R),且eq\o(AD,\s\up6（→）)·eq\o（AE，\s\up6(→）)＝－4，则λ的值为________．答案eq\f（3，11）解析解法一：由Beq\o（D，\s\up6(→）)＝2Deq\o（C，\s\up6（→)）得Aeq\o(D，\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)Aeq\o(B,\s\up6（→）)＋eq\f(2,3)Aeq\o（C,\s\up6（→)），所以Aeq\o（D,\s\up6(→）)·Aeq\o（E，\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3)A\o（B,\s\up6(→))＋\f(2，3）A\o（C，\s\up6(→)）））·(λeq\o(AC,\s\up6(→))－Aeq\o（B,\s\up6（→))）＝eq\f(1,3）λeq\o(AB,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6（→)）－eq\f（1,3）Aeq\o（B，\s\up6（→))2＋eq\f（2,3）λeq\o（AC,\s\up6（→））2－eq\f（2,3）Aeq\o（B，\s\up6(→))·Aeq\o（C，\s\up6（→)），又Aeq\o（B,\s\up6（→)）·Aeq\o(C，\s\up6(→）)＝3×2×cos60°＝3，Aeq\o（B,\s\up6(→））2＝9，Aeq\o（C，\s\up6(→）)2＝4，所以Aeq\o（D，\s\up6(→)）·Aeq\o(E,\s\up6(→）)＝λ－3＋eq\f(8,3)λ－2＝eq\f(11，3）λ－5＝－4,解得λ＝eq\f(3，11）.解法二：以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB＝3,AC＝2，∠A＝60°，所以B(3,0）,C(1，eq\r(3))，又Beq\o（D，\s\up6（→）)＝2Deq\o（C,\s\up6(→)），所以Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5，3)，\f(2\r（3），3))），所以Aeq\o(D，\s\up6（→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5，3),\f（2\r（3)，3））)，而Aeq\o(E，\s\up6(→)）＝λeq\o(AC，\s\up6(→）)－Aeq\o（B,\s\up6（→))＝λ（1,eq\r(3))－（3,0)＝(λ－3，eq\r(3）λ），因此Aeq\o(D,\s\up6(→)）·Aeq\o(E，\s\up6（→）)＝eq\f(5,3)(λ－3）＋eq\f（2\r(3)，3)×eq\r(3）λ＝eq\f（11，3）λ－5＝－4，解得λ＝eq\f（3,11）。［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．a，b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于(）A。eq\f（8，65）B．－eq\f（8,65）C.eq\f（16，65)D．－eq\f(16，65）答案C解析由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝（8＋x，6＋y）＝（3，18），所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝（－5，12）．由cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,｜a｜|b｜）＝eq\f(16，65）。故选C。2．已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则eq\f(｜2a－b｜,a·a＋b)等于()A．－eq\f(5,3）B．1C．2D.eq\f（5，4)答案B解析∵a⊥b,∴2m－2＝0,∴m＝1，则2a－b＝(0，5）,a＋b＝（3，1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5,｜2a－b|＝5,∴eq\f（｜2a－b|,a·a＋b)＝eq\f(5,5)＝1.故选B。3．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4,如果eq\o（OD，\s\up6（→））＋eq\o(DE,\s\up6（→））＋eq\o（DF，\s\up6(→））＝0，且｜eq\o(OD,\s\up6（→））｜＝|eq\o（DF，\s\up6（→)）｜，则向量eq\o（EF,\s\up6(→))在eq\o（FD,\s\up6（→））方向上的投影为()A．6B．－6C．2eq\r(3）D．－2eq\r（3)答案B解析由eq\o(OD,\s\up6（→））＋eq\o(DE，\s\up6（→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0得，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6（→)）＋eq\o（DF,\s\up6（→))。∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF，∵｜eq\o（OF，\s\up6(→）)｜＝|eq\o(OD，\s\up6（→）)｜＝|eq\o(DF,\s\up6（→)）｜＝4,∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4eq\r（3）.∴向量eq\o（EF,\s\up6(→））在eq\o（FD，\s\up6（→)）方向上的投影为｜eq\o(EF，\s\up6(→))｜·cos〈eq\o（EF，\s\up6(→)），eq\o(FD,\s\up6(→)）>＝4eq\r（3)cos150°＝－6。故选B。4．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→））与eq\o（AC，\s\up6(→)）满足eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\o(AB，\s\up6(→)),｜\o（AB,\s\up6(→))|）＋\f（\o（AC,\s\up6(→）)，|\o(AC，\s\up6（→）)｜)))·eq\o（BC，\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB，\s\up6(→)），|\o（AB，\s\up6（→））|)·eq\f（\o(AC，\s\up6（→））,｜\o（AC，\s\up6（→)）｜）＝eq\f(1，2)，则△ABC为(）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．等边三角形答案D解析因为非零向量eq\o（AB，\s\up6（→））与eq\o（AC，\s\up6(→))满足eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\o（AB,\s\up6(→）)，｜\o（AB,\s\up6(→）)|)＋\f(\o（AC,\s\up6（→）),|\o(AC，\s\up6（→）)|)））·eq\o（BC，\s\up6(→))＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB＝AC.又cos∠BAC＝eq\f(\o（AB,\s\up6(→）），|\o（AB，\s\up6(→））|）·eq\f(\o（AC，\s\up6(→）)，｜\o（AC,\s\up6(→））｜)＝eq\f(1，2），所以∠BAC＝eq\f(π,3).所以△ABC为等边三角形．故选D.5．在△ABC中，｜eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6(→）)|＝eq\r(3)｜eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(AC,\s\up6(→））|，|eq\o（AB,\s\up6（→))｜＝｜eq\o(AC,\s\up6（→))|＝3，则eq\o（CB,\s\up6（→))·eq\o(CA,\s\up6(→））的值为()A．3B．－3C．－eq\f(9,2)D。eq\f（9，2)答案D解析由|eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→））｜＝eq\r(3)|eq\o（AB，\s\up6（→)）－eq\o（AC，\s\up6(→)）｜两边平方可得,eq\o（AB，\s\up6（→））2＋eq\o(AC，\s\up6(→））2＋2eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o(AC，\s\up6(→））＝3（eq\o（AB,\s\up6(→)）2＋eq\o（AC，\s\up6（→））2－2eq\o（AB，\s\up6(→))·eq\o（AC，\s\up6（→))），即eq\o（AB,\s\up6（→））2＋eq\o（AC，\s\up6(→)）2＝4eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o（AC，\s\up6（→）），又｜eq\o(AB，\s\up6（→）)|＝|eq\o（AC，\s\up6（→）)｜＝3，所以eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\f（9，2）,又因为eq\o(CB,\s\up6（→))＝eq\o(AB,\s\up6(→）)－eq\o(AC,\s\up6（→)）,所以eq\o(CB,\s\up6（→））·eq\o（CA,\s\up6(→))＝（eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(AC,\s\up6（→)））·（－eq\o（AC,\s\up6(→）））＝eq\o(AC，\s\up6（→））2－eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o（AC，\s\up6（→))＝9－eq\f(9，2）＝eq\f（9，2).故选D。6．(2017·龙岩一模）已知向量eq\o(OA，\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6（→））的夹角为60°,且｜eq\o（OA,\s\up6(→））｜＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→)）｜＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA，\s\up6(→）)＋neq\o（OB，\s\up6（→）），且eq\o（OC,\s\up6(→))⊥eq\o（AB，\s\up6(→)），则实数eq\f(m,n)的值为（)A。eq\f（1,6)B.eq\f（1,4)C．6D．4答案A解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o（OB，\s\up6(→）)＝3×2×cos60°＝3，∵eq\o（OC,\s\up6（→)）＝meq\o(OA,\s\up6（→）)＋neq\o(OB，\s\up6(→）)，且eq\o(OC，\s\up6（→))⊥eq\o(AB，\s\up6(→）)，∴（meq\o（OA，\s\up6（→））＋neq\o(OB,\s\up6（→)）)·eq\o(AB,\s\up6(→))＝（meq\o(OA,\s\up6（→））＋neq\o(OB,\s\up6(→）))·（eq\o（OB,\s\up6(→)）－eq\o（OA,\s\up6(→)))＝（m－n）eq\o（OA，\s\up6（→)）·eq\o（OB,\s\up6（→）)－meq\o（OA,\s\up6(→）)2＋neq\o（OB,\s\up6（→)）2＝0，∴3(m－n）－9m＋4n＝0,∴eq\f(m,n）＝eq\f(1,6）.故选A.7．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(AO，\s\up6（→)）·eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\f(3，2）,则实数m＝（）A．±1B．±eq\f（\r(3）,2)C．±eq\f(\r(2）,2)D．±eq\f（1,2)答案