2019版数学（文）大一轮优选讲义：第8讲指数与指数函数 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第8讲指数与指数函数考纲要求考情分析命题趋势1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，eq\f(1，2)，eq\f（1，3）的指数函数的图象．4．体会指数函数是一类重要的函数模型.2017·山东卷，102017·北京卷，102016·浙江卷,72015·天津卷,71.指数幂的化简与运算,经常与对数函数相结合考查．2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点,经常与对数函数一起考查．3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现,考查它们的单调性、奇偶性、最值等.分值：5分

1．根式（1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果__xn＝a__,那么x叫做a的n次方根n〉1，且n∈N＊当n是奇数时，正数的n次方根是一个__正数__,负数的n次方根是一个__负数__eq\r(n,a）零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有__两个__，这两个数互为__相反数__±eq\r(n,a)（a〉0）负数没有偶次方根（2)两个重要公式①eq\r(n,an)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(__a__n为奇数,，|a｜＝\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(__a__a≥0，,__－a__a<0））n为偶数;)）②（eq\r(n,a）)n＝__a__（注意：a必须使eq\r（n，a）有意义）．2．有理数指数幂(1）幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\f（m，n）＝__eq\r(n,am)__（a>0,m，n∈N*，且n>1);②负分数指数幂：a－eq\f（m，n）＝__eq\f(1，a\f(m,n）)__＝__eq\f(1,\r(n,am）)__(a〉0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__。（2）有理数指数幂的性质①aras＝__ar＋s__（a>0，r，s∈Q）；②(ar）s＝__ars__(a>0，r,s∈Q)；③(ab）r＝__arbr__(a>0，b>0,r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝axa〉10<a〈1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点__（0,1）__当x〉0时，__y〉1__；当x<0时，__0〈y<1__当x>0时,__0〈y〈1__；当x〈0时，__y>1__在R上是__增函数__在R上是__减函数__1．思维辨析(在括号内打“√"或“×”)．(1)eq\r(n，an）与(eq\r（n，a))n都等于a(n∈N＊)．（×）(2）2a·2b＝2ab.（×（3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．（√）（4)若am<an(a>0，且a≠1）,则m<n.(×)(5）函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√）解析（1）错误．当n为偶数,a〈0时，eq\r（n,a)不成立．（2)错误。2a·2b＝2a＋b≠2(3）正确．两个函数均不符合指数函数的定义．（4)错误．当a>1时，m〈n，而当0〈a〈1时，m〉n。（5)正确．y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))x，根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数．2．化简［(－2)6］eq\f(1,2）－（－1)0的结果为（B）A．－9 B．7C．－10 D．9解析原式＝（26)eq\f（1,2）－1＝7。3．函数f(x）＝eq\r(1－2x）的定义域是(A）A．（－∞,0］ B．[0，＋∞）C．(－∞，0） D．(－∞，＋∞)解析∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0。4．已知函数f(x）＝4＋ax－1的图象恒过定点P,则点P的坐标是（A)A．（1,5） B．(1,4）C．(0，4） D．（4，0）解析当x＝1时，f（x)＝5.5．若函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数,则实数a的取值范围是__（－eq\r（2），－1)∪(1,eq\r(2）)__.解析由题意知0〈a2－1〈1，即1〈a2〈2,得－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2）.一指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．（5）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例1】计算：（1）eq\r(3,a\f(9，2)\r（a－3））÷eq\r（\r(3，a－7）\r(3,a13））;（2）(0。027）－eq\f（1，3）－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2\f（7,9))）eq\f(1，2)－(eq\r(2)－1)0;(3)已知meq\f(1，2)＋m－eq\f(1，2)＝4,求eq\f（m\f（3,2）－m－\f(3，2)，m\f(1，2）－m－\f（1,2）).解析(1)原式＝(aeq\f（9,2)a－eq\f(3，2)）eq\f(1，3)÷(a－eq\f(7，3）aeq\f（13，3))eq\f（1,2）＝(a3)eq\f（1，3)÷（a2)eq\f（1,2)＝a÷a＝1.(2）原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（27,1000)))－eq\f（1，3）－72＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(25，9))）eq\f(1，2）－1＝eq\f(10,3）－49＋eq\f（5,3)－1＝－45。(3)∵meq\f（1，2）＋m－eq\f(1，2)＝4，∴m＋m－1＋2＝16，∴m＋m－1＝14，∴eq\f(m\f（3，2)－m－\f(3,2）,m\f(1,2）－m－\f（1,2））＝eq\f(m\f(1,2)－m－\f（1，2）m＋m－1＋1,m\f（1,2)－m－\f(1,2））＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15。二指数函数的图象及应用指数函数图象的画法及应用（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a)，（0,1），eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－1,\f(1，a))）和一条渐近线y＝0。(2）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换,得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．【例2】(1）函数y＝ax－eq\f(1，a）（a>0,且a≠1)的图象可能是（D）(2）若曲线｜y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__[－1,1]__。解析(1）因为函数y＝ax－eq\f(1,a）(a>0,且a≠1）的图象必过点(－1,0），所以D项正确．故选D．（2)曲线|y｜＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示．由图象可得：如果｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1］．三指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1）．（2）简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论．（3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【例3】已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数）．(1)判断函数f（x）的单调性与奇偶性;（2）是否存在实数t,使不等式f(x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解析（1）∵f(x)＝ex－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，e)）)x，∴f′(x)＝ex＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,e)）)x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x）在R上是增函数．∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f（x）,∴f（x)是奇函数．(2)存在,由（1)知f（x)在R上是增函数和奇函数,则f(x－t)＋f（x2－t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f（x2－t2)≥f(t－x）对一切x∈R都成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤x2＋x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,2)))2－eq\f(1，4）对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤（x2＋x)min＝－eq\f(1,4)⇔t2＋t＋eq\f（1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（t＋\f(1,2）））2≤0。又eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（t＋\f(1，2)）)2≥0，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(t＋\f(1，2))）2＝0,∴t＝－eq\f（1,2)，∴存在t＝－eq\f(1,2）,使不等式f(x－t）＋f(x2－t2）≥0对一切x∈R都成立．1．已知a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，5)))eq\s\up7（\f(2，5)),b＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,5）)）eq\s\up7（\f(3,5))，c＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，5)））eq\s\up7（\f(2，5）),则(D)A．a〈b〈c B．c<b<aC．c〈a〈b D．b<c〈a解析∵y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,5）））x为减函数，∴b<c。又∵y＝xeq\s\up7(\f(2，5）)在(0，＋∞)上为增函数，∴a>c，∴b〈c〈a.故选D．2．已知函数f(x)＝ax，其中a〉0，且a≠1，如果以P(x1，f（x1))，Q（x2，f（x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）·f（x2)＝(A）A．1 B．aC．2 D．a2解析∵以P(x1，f（x1）)，Q（x2,f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0，又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2）＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.故选A．3．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为（B）A．(0，＋∞) B．（1，＋∞)C．［1,＋∞) D．(－∞，＋∞)解析令2x＝t(t〉0）,则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1）2(t〉0）．∵函数y＝（t＋1)2在(0，＋∞)上递增,∴y〉1。∴所求值域为（1，＋∞）．故选B．4．函数f(x）＝ax＋loga(x＋1)（a>0，且a≠1)在[0，1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值为（B）A．eq\f(1,4） B．eq\f（1，2）C．2 D．4解析∵在［0，1]上y＝ax与y＝loga（x＋1）具有相同的单调性，∴f(x)＝ax＋loga（x＋1)在[0，1］上单调．∴f(0）＋f（1）＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得1＋loga2＝0,解得a＝eq\f(1，2）.eq\o(\s\up7(易错点不注意ax〉0a>0,且a≠1),\s\do5（))错因分析：令t＝ax时，忽略了t>0这一条件．【例1】要使关于x的不等式9x＋(4＋a)3x＋4〉0恒成立，求实数a的取值范围．解析方法一令3x＝t，则t>0，且t2＋（4＋a)t＋4>0在t∈(0，＋∞)时恒成立．令f(t）＝t2＋(4＋a)t＋4（t>0），则①Δ〈0，即(4＋a)2－4×4<0,∴a2＋8a〈0，解得－8〈a<0。②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(4＋a，2）≤0，,f0≥0,))解得a≥－4.综上，实数a的取值范围为（－8，＋∞）．方法二由已知得4＋a>－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3x＋\f（4，3x)）)恒成立．令3x＝t,其中t>0，∵t＋eq\f（4,t）≥4(当且仅当t＝2时取等号)，∴－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（t＋\f(4，t）))≤－4，∵4＋a〉－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（t＋\f(4,t）))恒成立，∴4＋a〉－4，a〉－8.∴实数a的取值范围为(－8，＋∞)．【跟踪训练1】如果函数y＝a2x＋2ax－1（a>0,且a≠1)在[－1,1］上有最大值14，试求a的值．解析设t＝ax>0,则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.①若a〉1，∵t＝ax在[－1,1]上递增，∴t∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1，a)，a）)。∵－1〈0〈eq\f(1，a),∴y＝(t＋1)2－2在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（1,a），a）)上递增，由复合函数单调性知原函数在［－1,1］上递增，故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1,由a2＋2a－1＝14,解得a＝3或a＝－5(舍),∴a＝3.②若0<a〈1，同理可得当x＝－1时，ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f（1，5）(舍),∴a＝eq\f（1，3）.综上知,a＝eq\f（1，3)或a＝3.课时达标第8讲[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，分值为5分，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．设a＝22.5，b＝2。50，c＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))2。5，则a，b，c的大小关系是(C)A．a>c>b B．c>a〉bC．a〉b〉c D．b〉a>c解析b＝2.50＝1,c＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））2.5＝2－2.5，则2－2.5〈1〈22。5，即c<b<a。2．已知函数f（x)＝2x－2，则函数y＝｜f(x）｜的图象可能是（B）解析|f（x）|＝|2x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥1，，2－2x,x<1,))易知函数y＝｜f(x)|的图象的分段点是x＝1,且过点(1,0)，（0，1），eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1,\f（3，2）））.又｜f（x）|≥0,所以B项正确．故选B．3．已知f(x）＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点（2,1)，则f(x）的值域为(C)A．［9,81］ B．［3，9]C．［1，9] D．［1，＋∞)解析由f（x)过定点(2，1）可知b＝2，因为f（x)＝3x－2在［2，4]上是增函数，f(x）min＝f（2）＝1,f（x）max＝f（4）＝9,可知C项正确．故选C．4．（2017·北京卷）已知函数f（x）＝3x－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）))x,则f（x）（B）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数,且在R上是增函数C．是偶函数,且在R上是减函数D．是奇函数,且在R上是减函数解析由f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）)）x－3x＝－f（x)，知f（x)为奇函数,因为y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3）））x在R上是减函数，所以y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3）))x在R上增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,3）))x在R上是增函数．故选B．5．当x∈(－∞，－1]时，不等式（m2－m)·4x－2x〈0恒成立，则实数m的取值范围是(C)A．（－2，1) B．(－4，3)C．（－1，2） D．(－3，4）解析原不等式变形为m2－m<eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）x.∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））x在（－∞，－1］上是减函数，∴eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））x≥eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)－1＝2，当x∈（－∞,－1］时，m2－m<eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m〈2.故选C．6．已知函数f(x）＝｜2x－1｜,a＜b＜c，且f（a)＞f（c)＞f(b)，则下列结论中,一定成立的是(D）A．a＜0,b＜0,c＜0B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2D．2a＋2c解析作出函数f(x）＝|2x－1|的图象，如图．∵a〈b〈c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f（a）<1，a<0,c〉0,∴0〈2a〈1.∴f(a)＝｜2a－1｜＝1－2a<1,∴f(c）〈1，∴0〈c〈1，∴1<2c<2,∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a）〉f(c)，∴1－2a〉2c－1,∴2a＋2c〈2。故选D．二、填空题7．已知函数f(x）＝a－x(a＞0，且a≠1),且f(－2）〉f(－3),则a的取值范围是__(0,1)__。解析因为f（x)＝a－x＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，a））)x，且f（－2)>f(－3)，所以函数f（x)在定义域上单调递增，所以eq\f(1,a)>1,解得0〈a〈1.8．若函数f(x）＝ax（a〉0，且a≠1)在[－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m）eq\r（x)在［0，＋∞)上是增函数,则a＝__eq\f（1，4)__。解析因为g（x）在[0，＋∞）上为增函数，则1－4m〉0,即m<eq\f(1，4)。若a>1，则函数f（x）在［－1，2］上单调递增，最小值为eq\f(1,a)＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2,m＝eq\f（1,2)，与m〈eq\f(1，4）矛盾；当0<a〈1时，函数f(x)在［－1,2]上单调递减，最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4,解得a＝eq\f（1,4)，m＝eq\f(1，16）。综上知a＝eq\f(1,4).9．已知函数f（x)＝（a－2）ax（a〉0,且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，eq\f(fx1－fx2,x1－x2）〉0，则a的取值范围是__（0,1）∪(2,＋∞）__.解析当0〈a<1时,a－2〈0，y＝ax单调递减，所以f(x）单调递增;当1<a<2时，a－2〈0,y＝ax单调递增，所以f（x）单调递减；当a＝2时,f（x）＝0；当a〉2时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f（x）单调递增．又由题意知f（x）单调递增,故a的取值范围是（0，1)∪（2，＋∞)．三、解答题10．化简：（1）eq\f(\r（a3b2\r(3，ab2)),a\f（1,4）b\f(1，2）4a－\f(1，3)b\f(1，3）)(a〉0,b>0)；（2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(27，8）))－eq\f(2，3)＋（0.002)－eq\f(1，2）－10×（eq\r(5)－2）－1＋(eq\r(2）－eq\r(3))0。解析（1)原式＝eq\f(a3b2a\f(1,3）b\f(2，3)\f(1,2)，ab2a－\f（1,3）b\f（1，3））＝aeq\f（3,2）＋eq\f(1,6）＋eq\f(1,3）－1·b1＋eq\f(1,3）－2－eq\f(1，3)＝ab－1。（2）原式＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（27,8））)－eq\f（2,3）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,500））)－eq\f（1,2)－eq\f（10,\r(5)－2）＋1＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（8，27))）eq\f(2,3）＋500eq\f(1，2)－10×(eq\r（5）＋2）＋1＝eq\f（4,9)＋10eq\r(5）－10eq\r（5)－20＋1＝－eq\f（167,9）。11．已知函数f（x)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3）))ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x）的单调区间；（2)若f(x）有最大值3，求a的值．解析（1)当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc