2021年山东省临沂市陡山中学高三数学理期末试题含解析

2021年山东省临沂市陡山中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..已知函数（），若的图象与的图象重合，记的最小值为，函数的单调递增区间为（

）A.（） B.（）C.（） D.（）参考答案：D【分析】根据辅助角公式化简函数，根据正弦函数周期性求得，再根据余弦函数的单调性即可求得的单调递增区间。【详解】根据辅助角公式，将函数化简可得因为的图象与的图象重合所以即则，因为所以则因为余弦函数的单调递增区间为所以解得所以单调递增区间为（）所以选D【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，辅助角公式化简三角函数式，周期性与单调性的综合应用，属于中档题。2.下列命题中的假命题是(

) A．?x∈R，x2＞0 B．?x∈R，tanx= C．?x∈R，lnx=0 D．?x∈R，3x＞0参考答案：A考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用全称命题与特称命题的概念对A、B、C、D四个选项逐一判断即可．解答： 解：对于A，?x∈R，x2≥0，故A错误；对于B，由于y=tanx在（0，+∞）上单调递增，故?x∈R，tanx=，即B正确；对于C，?x=1∈R，lnx=0，故C正确；对于D，?x=1∈R，3x＞0，故D正确．综上所述，命题中的假命题是A，故选：A．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的概念及应用，属于基础题．3.直线的倾斜角是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设复数，，若为实数，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.设函数,定义,其中,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，，，因为,所以.两式相加可得:,.故选C.考点：1.数列求和；2.函数的性质.6.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中高一的同学有30名，则n=（） A．65 B． 75 C． 50 D． 150参考答案：B略7.设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是(

)A． B． C． D．+1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．8.若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos等于()A．

B．－

C．

D．－参考答案：C略9.在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为，已知命题p：“若两条直线，平行，则”．那么=Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

参考答案：B略10.r是相关系数，则结论正确的个数为

①r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强②r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般④r=0.1时，两变量相关很弱A.1

B.2

C.3

D.4

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设均为正实数，且，则的最小值为________．参考答案：16略12.已知函数若，则

.参考答案：13.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．下列说法中正确命题的序号是

（填出所有正确命题的序号）①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称．参考答案：③④试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．考点：在新定义下解决函数问题．14.命题“,”的否定是

；参考答案：略15.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为．参考答案：60°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，∴三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故答案为：60°．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．16.双曲线C：x2–y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________．参考答案：略17.某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，该几何体的表面积是

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=lg（﹣x2+6x﹣5）在区间（m，m+1）上是增函数，则m的取值范围是．参考答案：【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，结合复合函数的单调性及对数函数的单调性可知t=﹣x2+6x﹣5在（m，m+1）上是增函数，而该函数的增区间是（1，4]，从而可得（m，m+1）?（1，3]【解答】解：函数的定义域（1，5）∵f（x）=lg（﹣x2+6x﹣5）在（m，m+1）上是增函数由复合函数的单调性可知t=﹣x2+6x﹣5在（m，m+1）上单调递增且t＞0函数的增区间（1，3]，减区间．【点评】本题考查了复合函数的单调性：对数函数与二次函数的单调性，关键是要注意对数的真数大于零的要求，即函数定义域的求解，漏掉这一点，就会把函数的单调区间弄错．19.（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，可得OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，利用线面垂直的判定与性质可得OO1⊥BC，利用等腰三角形的性质可得：OE⊥BC，即可证明．（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，可得∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，可得，利用设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，sinθ==，即可得出．解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，∴OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC=O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO=OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE=O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．∴=（2，0，﹣m），=（﹣4，4，0），=（2，2，﹣m）．设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=，即=，设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ====，解得m=或m=2，∴VA﹣BOC===或．【点评】：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与等腰梯形的性质、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知函数图象上的点处的切线方程为.⑴若函数在处有极值，求的表达式；⑵若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：21.已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.参考答案：（1）.（2）证明见解析【分析】（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，表示直