2022年广东省惠州市龙门县龙门中学高三数学理测试题含解析

2022年广东省惠州市龙门县龙门中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是（）A．4x﹣y﹣4=0 B．x﹣4y﹣4=0 C．4x﹣4y﹣1=0 D．4x+y﹣4=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而求得切线的斜率，再用点斜式写出化简即可．【解答】解：y=x3+的导数为y′=x2，当x=2时，y′=4．∴切线的斜率为4．∴切线的方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．故选A．2.已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是

A.点在线段上

B.点在线段上

C.点在线段上

D.点在外部参考答案：C由得，即，所以点在线段上，选C.3.已知向量，若为实数，∥，则=

A．

B．

C．1

D．2参考答案：B略4.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆心为（a，0），半径为c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==．【解答】解：由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，a2=b2+c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆M：（x﹣a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==，故选A．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．5.展开式中的系数是（A）9

（B）

（C）

（D）参考答案：B略6.已知变量满足的值范围是（

）

参考答案：【知识点】线性规划

E5Ａ画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：，表示为可行域的点与点连线的斜率的范围加3求得.7.已知角的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点，则等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出点P到原点的距离为，再利用三角函数的坐标定义求出，再利用二倍角的余弦求的值.【详解】由题得点P到原点的距离为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知数列{an}中的任意一项都为正实数，且对任意m，n∈N*，有am?an=am+n，如果a10=32，则a1的值为（）A．﹣2 B．2 C． D．参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】令m=1，得，从而，由此能求出a1的值．【解答】解：∵数列{an}中的任意一项都为正实数，且对任意m，n∈N*，有am?an=am+n，∴令m=1，则，∴数列{an}是以a1为首项，公比为a1的等比数列，∴，∵a10=512，∴．故选：C．9.双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于（）A．B．C．D．8参考答案：A略10.设，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设全集，集合，，则=

▲

，=

▲

，=

▲

．参考答案：=，=，=．12.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为

.参考答案：2

【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3解析：圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0，则：圆心坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x+y+2﹣1=0，则：圆心到直线的距离d=，故答案为：2．【思路点拨】首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，再把参数方程转换成直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．13.在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆的标准方程为

．参考答案：14.若x，y满足约束条件，则的最小值为_____参考答案：6【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.对于函数，，对于区间上的任意实数，有如下条件：，其中能使恒成立的条件的序号有_________。（写出你认为成立的所有条件序号）参考答案：（2）（3）16.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．参考答案：cm3考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形为三棱柱，求体积即可．解答：解：底面积为，高为1，所以体积为V=．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．17.已知函数，且，则的最小值为_____________.参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016郑州一测）如图，的平分线与和的外接圆分别相交于和，延长交过的三点的圆于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．参考答案：（1）证明：∵，

，平分，

∴，∴．（2）∵，，

∴∽，即，

由（1）知，，∴，

∴．19.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：为定值．参考答案：解：（1）由，得曲线．直线的极坐标方程展开为，故的直角坐标方程为．（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），代入得，设，对应的参数为，所以为定值．20.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：

第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.参考答案：解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时）----------------------------------------2分（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：，--------------------------------------------------7分来自乙组的人数为：，----------------------------------------------------------------8分记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，，，，共15种，--------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：，共9种，故所求的概率.---------------------------------------------------------12分

21.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知中的三个内角所对的边分别为，若锐角满足，且，，求的面积．参考答案：解：（Ⅰ）

………2分的最小正周期为

………3分由得：，，

的单调递减区间是，

………………6分（Ⅱ）∵，∴，∴………………7分∵，∴．由正弦定理得：，即，∴……………………9分由余弦定理得：，即，∴

………11分∴

…………12分

略22.（本小题满分12分）

英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的