北师大九上数学公式法导学案

公式法学习目标、重点、难点【学习目标】1、一元二次方程的求根公式的推导；2、有实数根的条件：b2－4ac≥0，无实数根的条件：b2－4ac【重点难点】1、求根公式x＝（b2－4ac≥0）2、有实数根的条件：b2－4ac≥0，无实数根的条件：b2－4ac公式法：求根公式公式法：求根公式x＝（b2－4ac≥0）有实数根的条件：b2－4ac≥0无实数根的条件：b2－4ac解一元二次方程知识概览图新课导引某市实验中学为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排9场比赛，则全校有多少个队参赛？问题探究这个问题可以转化为方程的问题来解决，设全校有x个队参赛，那么一个队要比赛（x－1）次，又因为比赛是两支队伍同时进行，所以可列方程x（x－1）＝5×9，化为一般形式为x2－x－90＝0．解析x＝故x1＝10，x2＝－9（不符合实际，舍去）．教材精华知识点１公式法一元二次方程的求根公式的推导．一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的过程．∵a≠0，∴方程的两边都除以a，得x2＋配方，得x2＋即∵a≠0，∴a2＞0；∴4a2＞0，∴当b2－4ac≥0时，根据平方根的定义，得x＋＝∴x＝拓展（1）被开方数b2－4ac必须是非负数，否则没有意义．（2）在x＋＝＝这步中，应等于±2｜a｜，但因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a＞0，还是a＜0，最终结果都是x＋＝由于分类讨论的书写过程比较麻烦，所以这里就省略了讨论的过程．（3）由求根公式可知，一元二次方程的根是由其系数a，b，c决定的，只要确定了a，b，c的值，就可代入公式求一元二次方程的根．公式法．求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是x＝上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．拓展（1）求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有当确定方程是一元二次方程时，才可使用．（2）应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．（3）b2－4ac≥探究交流1、在求根公式的推导中为什么强调b2－4ac≥0？如果b2－4解析只有当b2－4ac≥0时，才有意义，即方程才有实数根．如果b2－4ac＜0，那么无意义，求根公式不成立，即方程无实数根．因此，通常把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式．当b－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b22、如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么x1，x2与a，b，c之间有怎样的关系呢?解析由一元二次方程的求根公式可知：x1＝，x2＝则x1＋x2＝+＝x1·x2＝·＝＝即x1＋x2＝—，x1·x2＝这就是一元二次方程的根与系数之间的关系．课堂检测基础知识应用题1、用公式法解下列方程．（1）x2＋2x－2＝0；（2）x2＋3＝2x；（3）n2－n+=0．2、不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2＋2＝2（2）x2＋1=x（3）－2x2－3x＋4＝0．综合应用题3、若方程x2－5x－1＝0的两根为x1，x2，求的值．4、已知关于x的方程（m2－m－2）x2＋2x－1＝0是一元二次方程，求m的取值范围．探索创新题5、已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．（1）当a,c异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a,c同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出—个a,c同号，且有实数根的一元二次方程并解这个方程．体验中考1、当m满足时，关于x的方程x2－4x＋m－＝0有两个不相等的实数根．2、如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）＝c＝b＝c＝b＝c学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析方程（1）（3）可直接确定a，b，c的值，方程（2）需先化为一般形式，再确定a，b，c的值．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝—2，∴b2－4ac＝22－4×1×x＝∴x1＝—1＋，x2＝—1－（2）将方程化为一般形式，得x2－x＋3＝0．∵a＝1，b＝—2，c＝3，∴b2－4ac＝（）2－4×1×3＝－4＜0，∴原方程没有实数根．（3）∵a＝l，b＝—，c=∴b2－4ac＝（－）2－4×1×＝0．∴n＝n1＝n2＝规律·方法（1）用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．（2）b2－4ac≥0是公式中的一个重要组成部分，当b2－4（3）当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成x1＝x2＝－的形式，从而说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．2、分析利用一元二次方程求根公式中有根的条件b2－4ac≥解：（1）原方程可变形为3x2－2x＋2＝0，其中，a＝3，b＝—2，c＝2．b2－4ac＝（－2）2－4×3×2＝0，所以原方程有两个相等的实数根．（2）原方程可变形为x2－＋1＝0．去分母，得x2－x＋2＝0，其中，a＝，b＝－，c＝2，b2－4ac＝（－）2－4×3×2＝2－8＜0，所以原方程没有实数根．（3）原方程可变形为2x2＋3x－4＝0，其中，a＝2，b＝3，c＝－4，b2－4ac＝32－4×2×规律·方法将方程先整理成一般形式，有分母的往往要去分母，这样做可简化运算．正确确定a，b，c的值后，即可利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b23、解：由一元二次方程的根与系数之间的关系可得：,∴=－5规律·方法本题若用求根公式先求出x1，x2的数值，再求的值，比较繁琐，用一元二次方程的根与系数之间的关系做此题，就简单明了．4、解：∵原方程是关于x的一元二次方程，∴m2－m－2≠0．若m2－m－2＝0，则m＝＝,即m1＝2，m2＝－1，∴当m≠2且m≠－1时，原方程是一元二次方程．解题策略在含有字母系数的一元二次方程中（如前面例题中的字母m，n等），要注意：（1）二次项系数不等于0；（2）方程有实根时b2—4ac≥5、分析第（1）问只需说明b2－4ac>0即可．第（２）问是一个开放性问题，写出的方程满足a，c同号，且b2－4a解：（1）因为a，c异号，所ac<0,所以－4ac>0，所以b2－4所以当a,c异号时，该方程必有两个不相等的实数根．（2）当a,c同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b2－4ac≥x2—4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1．解题策略第（2）问中并不是任意的方程都成立，它满足的条件是a,c