传热学课件第2章

第2章稳态热传导Steady-stateHeatConduction第2章作业

2-42-112-172-242-342-422-452-532-76本章重点内容重点内容：①傅里叶定律及其应用；

②导热系数及其影响因素；

③导热问题的数学模型。掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法。了解内容：多维导热问题。不同物质导热机制不同气体：固体气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果导电体：自由电子的运动非导电体：晶格结构的振动—弹性波液体：存在不同的观点只研究导热现象的宏观规律2.1导热基本定律—傅里叶定律一、各类物体的导热机理2.1导热基本定律—傅里叶定律稳态温度场或定常温度场（steadytemperaturefield）非定常温度场或瞬态温度场（unsteadyortransienttemperaturefield）二、温度场（Temperaturefield）（2）分类：（1）定义：各时刻空间所有各点温度分布的总称。温度场是时间和空间的函数2.1导热基本定律（3）等温面与等温线①

温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。●等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。●等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。等温面与等温线的特点：②

在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。等温面上没有温差，不会有热量传递

不同的等温面之间，有温差，有热量传递。

2.1导热基本定律物体的温度场通常用等温面或等温线表示。

当等温线图上每两条相邻等温线间的间隔相等时，等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小。2.1导热基本定律

温度梯度

(Temperaturegradient）2.1导热基本定律（4）温度梯度直角坐标系：注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向.温度梯度：2.1导热基本定律2.1导热基本定律三、导热基本定律（Fourier’slawofheatconduction）单位时间内通过单位截面积所传导的热量，正比于当地垂直于截面方向上的温度变化率。x是垂直于面积A的坐标轴2.1导热基本定律三、导热基本定律（Fourier’slawofheatconduction）(1-1)在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，热量传递的方向则与温度升高的方向相反。热流密度2.1导热基本定律三、导热基本定律（Fourier’slawofheatconduction）直角坐标系：热流密度是矢量2.1导热基本定律三、导热基本定律（Fourier’slawofheatconduction）1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）导热基本定律：垂直通过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反。λ——导热系数2.1导热基本定律图2-2等温线与热流线对于二维稳态导热问题，可用等温线及热流线来定量且形象地表述一个导热过程。四、导热系数2.1导热基本定律导热系数的数值：等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模。表征物质导热能力的大小，由实验测定。

——

物质的重要热物性参数四、导热系数2.1导热基本定律影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。

——

物质的重要热物性参数2.1导热基本定律保温材料：导热系数小的材料。我国国家标准规定：凡平均温度不高于350℃时，导热系数不大于0.12W/(m•K)的材料。保温材料的种类：岩棉板、膨胀珍珠岩、岩棉玻璃布缝毡等。超级保温材料：采取的方法：(1)夹层中抽真空。

(2)采用多层间隔结构（1cm达十几层）特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：10－4W/(m.K)。各向同性材料各向异性材料2.1导热基本定律一旦物体中的温度分布已知，就可按照傅里叶定律计算出各点的热流密度矢量。求解导热问题的关键是要获得物体中的温度分布。2.2导热问题的数学描写理论基础：傅里叶定律

+热力学第一定律化学反应发射药熔化过程

一、导热微分方程式假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质。

(2)导热系数、比热容和密度等物性参数均为已知。

(3)物体内具有内热源；强度[W/m3]；

内热源均匀分布；表示单位时间、单位体积内的发热量。在导热体中取一微元体

2.2导热问题的数学描写【导入微元体的总热流量】+【微元体内热源的生成热】=【导出微元体的总热流量】+【微元体热力学能（即内能）的增量】【微元体热力学能（即内能）的增量】【微元体内热源的生成热】【导入微元体的总热流量】【导出微元体的总热流量】【导入微元体的总热流量】+【微元体内热源的生成热】=【导出微元体的总热流量】+【微元体热力学能（即内能）的增量】笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates）中三维非稳态导热微分方程的一般形式笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates）中三维非稳态导热微分方程的一般形式（1）导热系数为常数a，热扩散率或热扩散系数笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates）中三维非稳态导热微分方程的一般形式（2）导热系数为常数、无内热源0常物性、无内热源的三维非稳态导热微分方程笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates）中三维非稳态导热微分方程的一般形式（3）常物性、稳态常物性、稳态、三维且有内热源问题的温度场控制方程式泊松方程笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates）中三维非稳态导热微分方程的一般形式（4）常物性、无内热源、稳态泊松方程拉普拉斯方程2.2导热问题的数学描写圆柱坐标系2.2导热问题的数学描写

球坐标系笛卡尔坐标系圆柱坐标系球坐标系非稳态项扩散项源项常物性、无内热源、一维稳态导热导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律

+

热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充

说明条件的唯一解。

单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。

单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界

完整数学描述：导热微分方程

+单值性条件

2.2导热问题的数学描写二、导热过程的单值性条件2.2导热问题的数学描写1、几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小2、物理条件如：物性参数

、c和

的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征3、时间条件稳态导热过程不需要时间条件

—

与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点

对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为初始条件

（Initialconditions）2.2导热问题的数学描写４、边界条件说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件（1）第一类边界条件已知任一瞬间导热体边界上温度值：

(Boundaryconditions)非稳态导热：稳态导热：

—

边界面,—

边界面上的温度2.2导热问题的数学描写（2）第二类边界条件根据傅里叶定律：已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值qw

特例：绝热边界面：

稳态导热：非稳态导热：2.2导热问题的数学描写（3）第三类边界条件当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数

tf,h

qw

牛顿冷却定律：傅里叶定律：2.2导热问题的数学描写热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。热扩散率

a

反映了导热过程中材料的导热能力（

）与沿途物质储热能力（

c

）之间的关系。a

值大，即

值大或

c

值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。热扩散率的物理意义热扩散率导温系数2.2导热问题的数学描写在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。a

反映导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量

非傅里叶导热:温度效应:极低温度(接近于0K)时的导热问题时间效应:当过程的作用时间极短,与材料本身固有的时间尺度相接近时尺度效应:当过程发生的空间尺度极小,与微观粒子的平均自由行程相接近时

2.2导热问题的数学描写三、傅里叶定律及导热微分方程的适用范围傅里叶定律的假定:热扰动的传递速度是无限大的。热流密度不是很高过程的作用时间足够长过程发生的尺度范围足够大

2.3典型一维稳态导热问题的分析解1单层平壁的导热o

x

a几何条件：单层平板,

b物理条件：、c、

已知；无内热源c时间条件：d边界条件：第一类一、通过平壁的导热直接积分，得：控制方程边界条件代入边界条件：第一类边界条件：2.3典型一维稳态导热问题的分析解线性分布热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况x

o

t1

t

t2

代入Fourier定律2.3典型一维稳态导热问题的分析解分析：x

o

t1

t

t2

根据傅里叶定律：若，平壁内的温度分布如何？2.3典型一维稳态导热问题的分析解若，平壁内的温度分布如何？x

o

t1

t

t2

t1

t2

t2

t1

2.3典型一维稳态导热问题的分析解2多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁

—

白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等

边界条件：

热阻：2.3典型一维稳态导热问题的分析解由热阻分析法：问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：

第二层：第

i层：

t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热2.3典型一维稳态导热问题的分析解1单层圆筒壁的导热一维、稳态、无内热源、常物性：假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。圆柱坐标系：第一类边界条件：2.3典型一维稳态导热问题的分析解二、通过圆筒壁的导热对上述方程积分两次:第一次积分第二次积分显然，温度呈对数曲线分布2.3典型一维稳态导热问题的分析解圆筒壁内温度分布：

圆筒壁内温度分布曲线的形状？热流密度q与半径r成反比！热流量为定值，与半径无关2.3典型一维稳态导热问题的分析解2多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算。2.3典型一维稳态导热问题的分析解2多层圆筒壁思考：接触面温度应如何求出？如两侧为第三类边界条件，如何求取？2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.3典型一维稳态导热问题的分析解三、通过球壳的导热温度分布:热流量:热阻:2.3典型一维稳态导热问题的分析解

一厚为δ

的无限大平板，其一侧被加热，热流密度qw

为常数，另一侧向温度为t∞

的环境散热，表面传热系数为h，平板导热系数λ为常数。试列出平板中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并求出平板内的温度分布函数。带第二类、第三类边界条件的一维导热问题0解：完整数学描写为：0带第二类、第三类边界条件的一维导热问题四、变面积或变导热系数的一维问题求解导热问题分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量。当＝(t),A=A(x)时，

对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。一维Fourier定律：2.3典型一维稳态导热问题的分析解分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关(稳态)，得:实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.4通过肋片的导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：为了增加传热量，可以采取哪些措施?（1）增加温差（tf1-tf2），但受工艺条件限制。（2）减小热阻：a)金属壁一般很薄、热导率很大，导热热阻可忽略。b)增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的。c)增大换热面积

A也能增加传热量。2.4通过肋片的导热换热设备中，换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面1通过等截面直肋的导热2.4通过肋片的导热严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边界条件的导热问题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。分析：1、通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0>t

肋片与环境的表面传热系数为

h

，h和Ac均保持不变求：温度场

t

和热流量

。2.4通过肋片的导热a宽度l>>

肋片长度方向温度均匀

l=1

b

大、

<<H，认为温度沿厚度方向均匀2.4通过肋片的导热简化：边界条件：肋根：第一类，t0肋端：绝热，四周：对流换热求解：这个问题可以从两个方面入手：

a导热微分方程

b能量守恒＋Fourierlaw2.4通过肋片的导热2.4通过肋片的导热能量守恒：Fourier定律：Newton冷却公式：关于温度的二阶非齐次常微分方程2.4通过肋片的导热导热微分方程：边界条件：引入过余温度

令则有：2.4通过肋片的导热方程的通解为：应用边界条件得：肋片内的温度分布：双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦函数2.4通过肋片的导热稳态条件下肋片表面的散热量肋端过余温度，即

x＝H

时：2.4通过肋片的导热通过肋基导入肋片的热量<==>几点说明：(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当Bi=h/

0.05时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面传热系数h不是均匀一致的——数值计算。(1)上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：Hc=H+/2

。2.4通过肋片的导热2肋效率

肋效率2.4通过肋片的导热肋片的纵截面积可见，

与参量

有关影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率

、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数

h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）散热量：

2.4通过肋片的导热3通过环肋及三角形截面直肋的导热

为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。

对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图2-19和2-20分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。2.4通过肋片的导热图2-19矩形及三角形直肋的效率曲线2.4通过肋片的导热图2-20矩形剖面环肋的效率曲线2.4通过肋片的导热4肋面总效率

肋面总效率:2.4通过肋片的导热2.4通过肋片的导热5肋片的选用与最小重量肋片

2.4通过肋片的导热若加肋总是有利的是否采用在基础上增加肋片，取决于，加肋后总的传热阻力，是增加还是减小。6.接触热阻实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触

——

给导热带来额外的热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出——

接触热阻当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大（1）当热流量不变时，接触热阻

rc较大时，必然

在界面上产生较大温差（2）即使接触热阻

rc不是很大，若热流量很大，

界面上的温差是不容忽视的6.接触热阻7.求解导热问题的方法（1）导热微分方程＋边界条件＋初始条件（2）热力学第一定律＋傅立叶定律（3）热阻分析法（4）傅立叶定律两侧直接积分一维、无内热源、稳态一维、无内热源、稳态适用面广适用面广2.5具有内热源的一维导热问题平壁具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为的流体发生对流换热，表面传热系数为，现在要确定平板中任一处的温度及通过该截面处的热流密度。数学描写:一、具有内热源的平板导热2.5具有内热源的一维导热问题2.5具有内热源的一维导热问题二、具有内热源的圆柱体导热一半径为的圆柱体,具有均匀的内热源,导热系数为常数,外表面维持在均匀而且恒定的温度。试确定圆柱体中的温度分布及最高温度。数学描写:2.5具有内热源的一维导热问题二、具有内热源的圆柱体导热温度分布:温度最高点应满足:则:本章小结1.傅里叶定律：2.导热微分方程：圆柱坐标：

球坐标：直角坐标：本章小结3.定解条件：第二类：第三类：初始条件：物体初始时刻的温度分布。

边界条件：第一类：4.工程中的几个典型例子：平壁

圆筒壁

球壳

肋片5.求解导热问题的方法：对于无限大平板内的一维稳态导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解。2+2除外的所有组合解：习题2-5习题2-12在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm，薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40W/(m2.K)。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板的另一面维持在温度t1＝30℃。生产工艺要求薄膜与基板结合面的温度t0应为60℃，试确定辐射热流密度q应为多大。薄膜的导热系数λf

=0.02W/(m.K)，基板的导热系数λs＝0.06W/(m.K)。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对60℃的热辐射是不透明的。解：习题2-12以结合面为研究对象，在稳态条件下根据热力学第一定律：一直径为d、长为l的圆杆，两端分别与温度为t1及t2的表面接触，杆的导热系数为常数。试对下列两种稳态情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求之：（1）杆的侧面是绝热的；（2）杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，平均表面传热系数为h，流体温度tf小于t1及t2。习题2-20解：（1）

解方程得温度分布函数为：（2）

引入过余温度则：解上述方程，得：习题2-20习题2-25内、外径各为0.5m及0.6m的球罐，其中装满了具有一定放射性的化学废料，其容积发热率为105W/m3。该罐被置于水流中冷却，表面传热系数h=1000W/(m2.K)，流体温度tf=25℃。试：（1）确定球罐的外表面温度；（2）确定球罐的内表面温度。习题2-32某种平板材料厚25mm，两侧面分别维持在40℃及85℃。测得通过该平板的热流量为1.82kW，导热面积为0.2m2。试：

(1)确定在此条件下平板的平均导热系数。

(2)设平板材料的导热系数按变化(其中t为局部温度)。为了确定上述温度范围内的及b值，还需要补充测定什么量？给出此时确定及b的计算式。（1）则：解：习题2-32（2）补充测量中心截面的温度，设测得的温度为则：根据导热系数随温度的变化关系，有上两式联立，即可解得及b。试建立具有内热源、变截面、变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程。

习题2-39对微元，有：代入整理，得：解：习题2-45一厚的大平板具有均匀的内热源,及处的表面分别与温度为的流体进行对流换热，表面传热系数分别为,试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此得出平板中温度最高点的位置。对于及的情形定性地画出平板中的温度分布曲线。解：完整数学描写为：通解：

代入边界条件，得：温度最高点满足则：（1）（2）习题2-45习题2-47核反应堆的辐射防护壁因受射线的照射而发热，这相当于防护壁内有的内热源，其中是的表面上的发射率，为已知常数。已知处,处,

导热系数为常数。试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度所在的位置。解：其完整数学描写为：即：最高温度应满足:通解:常数:温度分布函数:最高温度所在的位置为：习题2-55用一柱体模拟燃气轮机叶片的散热过程。柱长9cm，周界为7.6cm，截面积为1.95cm2，柱体的一端被冷却到305℃(见附图)。815℃的高温燃气吹过该柱体，假设表面上各处的对流换热的表面传热系数是均匀的，并为28W/(m2.K)。柱体导热系数λ＝55W/(m.K)，肋端绝热。试：

(1)计算该柱体中间截面上的平均温度及柱体中的最高温度；

(2)冷却介质所带走的热量。解：将代入，得中间截面的平均温度：即:而则℃最高温度出现在

处，即则:℃W对于矩形区域内的常物性、二维无内热源的导热问题，试分析在下列四种边界条件的组合下，导热物体为铜或钢时，物体中的温度分布是否一样：

(1)四边均为给定温度；（2)四边中有一个边绝热，其余二个边均为给定温度；

(3)四边中有—个边为给定热流(不等于零)，其余三个边中至