2021数学苏教版一轮考点测试45直线的方程含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学苏教版一轮考点测试45直线的方程含解析第七章平面解析几何考点测试45直线的方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分,中、低等难度考纲研读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3．掌握确定直线位置的几何要素4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系一、基础小题1．直线xsineq\f（π，7)＋ycoseq\f(π,7）＝0的倾斜角α是()A．－eq\f(π,7) B．eq\f(π,7)C．eq\f（5π，7) D．eq\f（6π,7)答案D解析∵tanα＝－eq\f(sin\f(π，7),cos\f(π，7）)＝－taneq\f（π,7）＝taneq\f(6π，7)，α∈［0，π)，∴α＝eq\f(6π，7）。2．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(）A．3 B．0C．－3 D．0或－3答案D解析∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或3．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（)A.eq\r(3)x－y＋1＝0 B．eq\r（3)x－y－eq\r（3）＝0C。eq\r（3）x＋y－eq\r（3）＝0 D．eq\r（3）x＋y＋eq\r（3)＝0答案D解析由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq\r（3）.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3）(x＋1),即eq\r（3)x＋y＋eq\r(3)＝0。4．若过点P（1－a,1＋a）和Q(3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数aA．(－2,1） B．（－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析∵过点P(1－a，1＋a)和Q（3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0,即eq\f（2a－a－1，3－1＋a）<0,即eq\f(a－1，2＋a)〈0，解得－2〈a<1，故选A.5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是（)答案B解析当a≠0，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同．故选B。6．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab〉0,bc〈0 B．ab〉0，bc>0C．ab〈0，bc>0 D．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将直线方程变形为y＝－eq\f(a,b）x－eq\f（c，b)。易知－eq\f(a，b）〈0且－eq\f（c,b)>0，故ab〉0，bc<0.7．设点P是曲线y＝x3－eq\r（3）x＋eq\f(2,3)上的任意一点，P点处切线的倾斜角α的取值范围是(）A.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)）)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π，6)，π）） B．eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2π,3），π）)C。eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)）)∪eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)，π)） D．eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，2），\f（5π，6）)）答案C解析因为y′＝3x2－eq\r(3）≥－eq\r(3）,即切线斜率k≥－eq\r（3),所以切线倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）））∪eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2π,3)，π）).8．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2] B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）C．[－2，0)∪(0，2］ D．(－∞，＋∞）答案C解析令x＝0,得y＝eq\f（b，2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为eq\f(1,2)|eq\f(b，2）|｜－b｜＝eq\f(1,4）b2，且b≠0，eq\f（1，4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是［－2,0)∪（0，2］．9．若直线ax＋by＝ab（a>0，b>0)过点(1,1），则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A．1 B．2C．4 D．8答案C解析因为直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0)过点（1，1)，所以a＋b＝ab，即eq\f（1,a)＋eq\f(1,b）＝1,所以a＋b＝(a＋b）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,a)＋\f(1，b）))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r（\f（b，a）·\f（a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.10．过点A(－1，－3），斜率是直线y＝3x的斜率的－eq\f（1，4）倍的直线方程为________．答案3x＋4y＋15＝0解析设所求直线的斜率为k，依题意k＝－eq\f(1，4）×3＝－eq\f（3，4）。又直线经过点A(－1，－3）,因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4）（x＋1），即3x＋4y＋15＝0.11．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是________．答案－2或1解析由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2。当y＝0时，x＝eq\f（a＋2,a）.所以eq\f（a＋2，a）＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4,l2:2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数答案eq\f（1,2）解析直线l1可写成a（x－2)＝2(y－2），直线l2可写成2(x－2)＝a2（2－y）,所以直线l1，l2恒过定点P（2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×（a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2))）2＋eq\f(15,4).当a＝eq\f(1，2)时，面积最小．二、高考小题13．(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y)，则｜PA|·｜PB｜的最大值是________．答案5解析易知A(0，0）,B（1，3），且PA⊥PB，∴｜PA｜2＋｜PB|2＝|AB｜2＝10，∴｜PA|·|PB｜≤eq\f(|PA｜2＋｜PB｜2,2）＝5（当且仅当｜PA｜＝|PB|＝eq\r（5)时取“＝”)．14．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2），B(1,5），C(3，6），D（7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案（2，4)解析由已知得kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，所以直线AC的方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0，①直线BD的方程为y－5＝－(x－1）,即x＋y－6＝0,②联立①②解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝4.）)所以直线AC与直线BD的交点为P（2，4)，此点即为所求点．因为｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＋｜PD|＝｜AC｜＋|BD｜，取异于P点的任一点P′.则｜P′A｜＋｜P′B｜＋｜P′C|＋|P′D|＝（｜P′A|＋｜P′C|）＋（｜P′B|＋｜P′D|）>｜AC|＋|BD｜＝｜PA|＋｜PB|＋｜PC|＋｜PD|。故P点就是到点A，B，C，D的距离之和最小的点．故应填(2,4）．三、模拟小题15．(2019·大连模拟）已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直,则cos2θ的值为(）A。eq\f(3,5) B．－eq\f(3，5）C．eq\f(1，5) D．－eq\f（1，5)答案B解析由题意得－eq\f（1,2)·tanθ＝－1,所以tanθ＝2,cos2θ＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f（1－4，1＋4)＝－eq\f(3,5），故选B.16．(2019·重庆模拟)两直线eq\f(x,m)－eq\f（y，n)＝a与eq\f(x,n）－eq\f(y，m）＝a（其中a为不为零的常数）的图象可能是()答案B解析直线方程eq\f(x，m)－eq\f(y,n)＝a可化为y＝eq\f（n，m）x－na，直线eq\f(x，n）－eq\f（y,m)＝a可化为y＝eq\f（m,n)x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．17．（2019·温州模拟)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是（)A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0答案D解析直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点为M(2,0)．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝2,则tan（α＋45°）＝eq\f(tanα＋tan45°,1－tanαtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3，故得到的直线的方程是y－0＝－3(x－2）,可化为3x＋y－6＝0，故选D。18．(2019·广东惠州质检)直线l经过点A（1，2）,在x轴上的截距的取值范围是（－3，3)，则其斜率k的取值范围是（)A．－1＜k＜eq\f（1,5） B．－1＜k＜eq\f（1，2)C．k＞eq\f(1，5)或k＜－1 D．k＜－1或k＞eq\f(1,2)答案D解析设直线l的斜率为k,则直线方程为y－2＝k（x－1），直线l在x轴上的截距为1－eq\f（2,k）.令－3＜1－eq\f（2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq\f（1，2).19．(2019·黄冈模拟）从点（2,3)射出的光线沿斜率为eq\f(1,2)的直线方向射到y轴上，则反射光线所在直线的方程为()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0答案A解析由题意可得，入射光线所在直线的方程为y－3＝eq\f（1,2）（x－2）,即y＝eq\f（1,2）x＋2，所以与y轴的交点(0，2)也在反射光线上，又反射光线所在直线的斜率为－eq\f（1,2)，故反射光线所在直线的方程为y＝－eq\f（1，2）x＋2，即x＋2y－4＝0。20．(2020·广西南宁高三摸底考试）设点A（－1，0），B(1,0），直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．答案[－2,2]解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距,如图，当直线y＝－2x＋b过点A（－1,0）和点B（1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是［－2,2]．21．(2019·银川二模)直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半,若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．答案－eq\f（1，2）解析设直线l的倾斜角为θ.所以tan2θ＝－eq\f（4，3).eq\f（2tanθ,1－tan2θ)＝－eq\f(4,3)，所以tanθ＝2或tanθ＝－eq\f（1,2），由2θ∈［0°，180°)知,θ∈［0°,90°)．所以tanθ＝2.又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b。所以tanθ＝－eq\f（b，a）.即eq\f(a,b）＝－eq\f(1，tanθ）＝－eq\f（1，2）。一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·湖南六校模拟)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0）,B(2，1），C（－2,3)，求：（1）BC边所在直线的方程；（2)BC边的垂直平分线DE的方程．解（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(－2，3）两点，所以直线BC的方程为eq\f（y－1，3－1)＝eq\f（x－2,－2－2），即x＋2y－4＝0。(2)由(1）知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2），则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点（0，2），所以所求直线方程为y－2＝2(x－0），即2x－y＋2＝0.2．（2019·北京西城期中)已知直线l经过点P(－2，1）．(1）若点Q(－1，－2）到直线l的距离为1，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．解（1）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝－2,符合要求；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k（x＋2），整理得kx－y＋2k＋1＝0，Q(－1，－2)到直线l的距离d＝eq\f（｜－k＋2＋2k＋1|,\r（k2＋－12）)＝eq\f（｜k＋3｜,\r（k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f（4，3)，所以直线l的方程为4x＋3y＋5＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或4x＋3y＋5＝0。(2）由题知，直线l的斜率k一定存在且k≠0，故可设直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0,当x＝0时,y＝2k＋1，当y＝0时，x＝－eq\f（2k＋1,k),所以2k＋1＝－eq\f（2k＋1,k)，解得k＝－1或－eq\f(1，2），即直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0。3．（2019·河南鹤壁模拟)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（1，0)作直线AB分别交OA,OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f（1,2）x上时，求直线AB的方程．解由题意可得kOA＝tan45°＝1,kOB＝tan（180°－30°)＝－eq\f(\r（3)，3)，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f（\r（3）,3)x。设A(m，m)，B（－eq\r（3)n,n)，所以AB的中点为Ceq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（m－\r(3)n，2），\f（m＋n，2)）)，由点C在直线y＝eq\f(1，2)x上,且A，P，B三点共线，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1，2)·\f(m－\r（3)n,2），,\f(m－0，m－1）＝\f(n－0,－\r(3）n－1),,)）解得m＝eq\r(3),所以A(eq\r(3），eq\r（3)）．又P（1，0），所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3）,\r(3)－1）＝eq\f(3＋\r（3）,2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r（3）,2)(x－1），即直线AB的方程为（3＋eq\r（3）)x－2y－3－eq\r(3)＝0。4．（2019·四川绵阳模拟)已知直线l:kx－y＋1＋2k＝0（k∈R)．(1)证明:直线l过定点;（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点）,求S的最小值并求此时直线l的方程．解（1)证明:直线l的方程可化为k(x＋2）＋(1－