2021数学苏教版一轮考点测试7函数的奇偶性与周期性含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学苏教版一轮考点测试7函数的奇偶性与周期性含解析考点测试7函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1。结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．函数f（x)的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数,f(x－1)是奇函数，若f（0。5)＝9，则f（8.5)等于()A．－9 B．9C．－3 D．0答案B解析因为f（x－1）是奇函数，所以f（－x－1）＝－f(x－1),即f(－x）＝－f（x－2）．又因为f(x）是偶函数，所以f（x）＝－f(x－2)＝f（x－4），故f(x)的周期为4，所以f（8.5）＝f(0.5）＝9。故选B。2．设函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log21－xx〈0，,gx＋1x〉0，))若f(x）是奇函数，则g（3)的值是（)A．1 B．3C．－3 D．－1答案C解析因为函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log21－xx〈0，,gx＋1x>0，）)且f（x)是奇函数，所以f（－3）＝－f（3),所以log2(1＋3)＝－[g（3）＋1]，则g（3)＝－3。故选C。3．已知函数f（x)的定义域为R。当x〈0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x）；当x>eq\f（1，2)时，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2)))＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2)）），则f(6）＝（）A．－2 B．－1C．0 D．2答案D解析当x>0时，x＋eq\f（1，2)>eq\f（1，2），所以feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2）＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，2）－\f（1,2)）），即f（x＋1)＝f(x)，所以f(6）＝f(5)＝f（4)＝…＝f(1)＝－f(－1）＝2。4．已知定义在R上的函数f(x）满足f（x）＋f(－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x)的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝(）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由g(x)＝f(x)－2x2,得g（－x)＝f（－x)－2x2，两式相加,可得g(－x)＋g（x)＝2，故g(x)的图象关于(0,1）对称,其最高点、最低点也关于（0，1）对称，所以M＋m＝2，故选B。5．已知函数f(x）为奇函数，当x〉0时，f（x)＝x2－x，则当x<0时,函数f(x)的最大值为(）A．－eq\f(1，4） B．eq\f(1，4）C．eq\f(1，2) D．－eq\f（1,2）答案B解析解法一：设x<0,则－x>0，所以f(－x)＝x2＋x，又函数f（x)为奇函数，所以f（x)＝－f（－x）＝－x2－x＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)）)2＋eq\f(1，4),所以当x<0时,函数f(x）的最大值为eq\f（1，4）.故选B.解法二：当x〉0时,f(x）＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2)）)2－eq\f(1,4），最小值为－eq\f(1,4），因为函数f(x)为奇函数，所以当x〈0时，函数f(x）的最大值为eq\f（1,4)。故选B。6．已知f（x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x）＝x3－x，则函数f（x)的图象在区间［0，6]上与x轴的交点的个数为(）A．6 B．7C．8 D．9答案B解析当0≤x<2时，令f(x）＝x3－x＝x（x2－1)＝0，所以y＝f(x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0,x2＝1.当2≤x〈4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f（x），所以f（x）＝(x－2)3－(x－2)＝（x－2）（x－1)（x－3)，所以当2≤x<4时,f（x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2,x4＝3。同理可得，当4≤x<6时,f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4,x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．7．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x)满足f(x）＋g(x)＝ex，则g（x）＝（)A．ex－e－x B．eq\f（1，2）(ex＋e－x)C．ex＋e－x D．eq\f(1，2）（ex－e－x）答案D解析因为f(x）＋g(x）＝ex，所以f(－x）＋g（－x)＝f（x）－g（x)＝e－x，所以g(x)＝eq\f（1，2）(ex－e－x）．故选D.8．已知偶函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,2））),当x∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2），\f(π，2））)时，f（x)＝xeq\f（1,3)＋sinx，设a＝f(1),b＝f(2），c＝f(3),则()A．a<b<c B．b<c〈aC．c〈b<a D．c〈a<b答案D解析∵当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f（π，2)))时，y＝sinx为增函数，y＝xeq\f（1，3）也为增函数，∴函数f(x)＝xeq\f（1，3）＋sinx在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f(π，2）））上也为增函数．∵函数feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,2）））为偶函数，∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－x＋\f(π，2)）)＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，2））），f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π，2)对称,∴f（2)＝f（π－2)，f(3）＝f（π－3），∵0〈π－3<1<π－2〈eq\f(π，2)，∴f（π－3）〈f(1）<f（π－2），即c〈a<b，故选D.9．已知函数y＝f(x）是定义在R上的偶函数,且在（－∞，0］上是增函数，若不等式f(a）≥f（x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是(）A．（－∞，1] B．[－1，1]C．（－∞，2] D．[－2，2]答案B解析因为函数f（x）为偶函数，且在（－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在［0,＋∞)上是减函数，则不等式f（a)≥f(x）对任意x∈［1,2］恒成立等价于f(a）≥f(x)max＝f（1），所以|a|≤1，解得－1≤a≤1,即实数a的取值范围为[－1,1],故选B.10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f(x－4）＝－f(x)，且在区间[0，2］上是增函数，则(）A．f(－25）〈f(11）<f(80)B．f（80）<f（11）〈f(－25)C．f(11)〈f（80)〈f(－25）D．f(－25)〈f(80）<f(11)答案D解析因为奇函数f(x)在区间［0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x）满足f(x－4)＝－f(x），所以f(x－8）＝－f(x－4)＝f(x），所以函数f（x)为周期函数,且周期为8，因此f(－25)＝f（－1）<f（0）＝f(80）〈f（11)＝f（3）＝－f(－1）＝f（1）．故选D.11．若f(x）＝xln（x＋eq\r(a＋x2)）为偶函数,则实数a＝________.答案1解析因为f(x）为偶函数，所以f（－x）－f（x）＝0恒成立,所以－xln（－x＋eq\r(a＋x2））－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0,即实数a＝1.12．设定义在[－2，2]上的奇函数f（x)在区间[0，2］上单调递减，若f(1＋m)＋f(m)<0,则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2），1))解析∵f(x）的定义域是［－2，2］，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－2≤1＋m≤2,，－2≤m≤2,））即－2≤m≤1，①又f(x）是定义在[－2,2］上的奇函数,且在［0,2］上单调递减，∴f(x）在［－2，0]上也单调递减，∴f(x）在[－2，2］上单调递减，又f（1＋m）＋f（m)＜0，即f（1＋m）＜－f（m）＝f（－m)，∴1＋m＞－m，即m＞－eq\f（1，2），②由①②可知－eq\f（1，2）＜m≤1.二、高考小题13．（2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为（－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x）．若f(1)＝2，则f(1）＋f（2)＋f（3)＋…＋f（50)＝（）A．－50 B．0C．2 D．50答案C解析因为f(x）是定义域为（－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x）＝f（1＋x),所以f（1＋x）＝－f(x－1），所以f（3＋x)＝－f（x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f（2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f（1)＋f(2）＋f（3）＋f（4)]＋f（1)＋f(2），因为f（3)＝－f(1），f(4）＝－f(2),所以f(1)＋f(2）＋f（3)＋f(4）＝0，因为f（2）＝f（－2)＝－f（2）,所以f(2)＝0，从而f(1）＋f(2）＋f（3)＋…＋f（50)＝f(1)＝2，故选C。14．（2017·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f（1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．［－2，2] B．[－1,1]C．［0，4］ D．[1，3]答案D解析∵f（x）为奇函数，∴f(－x)＝－f（x）．∵f（1）＝－1,∴f(－1）＝－f（1)＝1。故由－1≤f(x－2)≤1,得f(1）≤f（x－2）≤f(－1）．又f（x)在（－∞，＋∞)单调递减,∴－1≤x－2≤1,∴1≤x≤3.故选D。15．（2017·天津高考）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g（x）＝xf(x)．若a＝g（－log25。1），b＝g(20。8）,c＝g(3），则a,b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案C解析依题意a＝g(－log25.1）＝(－log25。1)·f（－log25.1)＝log25.1·f（log25。1）＝g(log25.1)．因为奇函数f（x)在R上是增函数,可设0＜x1＜x2，则0＝f(0)<f（x1）＜f(x2）．从而x1f（x1）＜x2f(x2），即g（x1）＜g(x2)．所以g（x）在（0，＋∞)上也为增函数．又log25.1＞0,20。8＞0,3＞0，且log25。1＜log28＝3,20。8＜21＜3,而20.8＜21＝log24＜log25。1,所以0<20。8〈log25.1<3，所以b<a<16．（2019·全国卷Ⅱ）已知f(x）是奇函数，且当x〈0时，f(x)＝－eax，若f(ln2）＝8，则a＝________.答案－3解析设x>0,则－x<0.∵当x<0时,f(x）＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax。∵f（x)是奇函数，∴f（x）＝－f(－x)＝e－ax，∴f（ln2）＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a。又f（ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.17．(2019·江苏高考）设f(x），g（x)是定义在R上的两个周期函数,f(x）的周期为4，g(x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2］时,f（x）＝eq\r(1－x－12)，g（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(kx＋2，0<x≤1，,－\f（1,2)，1<x≤2，))其中k>0。若在区间（0，9］上，关于x的方程f（x）＝g(x）有8个不同的实数根,则k的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3）,\f(\r（2），4）)）解析当x∈（0，2]时，y＝f(x）＝eq\r（1－x－12）⇔（x－1）2＋y2＝1（y≥0)，结合f（x)是周期为4的奇函数,可作出f（x)在（0,9]上的图象如图所示．∵当x∈(1,2］时，g（x）＝－eq\f(1，2）,又g(x)的周期为2，∴当x∈（3，4］∪(5，6]∪（7，8]时，g（x）＝－eq\f(1,2)。由图可知,当x∈（1,2]∪（3，4]∪（5，6]∪(7,8]时，f（x)与g(x)的图象有2个交点，∴当x∈（0，1]∪（2,3]∪（4，5］∪（6，7]∪(8,9］时，f(x）与g(x）的图象有6个交点．又当x∈（0，1]时，y＝g(x）＝k（x＋2）（k〉0）恒过定点A(－2,0)，由图可知，当x∈（2，3］∪(6，7]时，f(x）与g（x)的图象无交点，∴当x∈(0,1］∪（4,5]∪（8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．由f(x)与g（x)的周期性可知，当x∈(0,1]时，f(x）与g(x)的图象有2个交点．当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0＜x≤1）相切时，d＝eq\f(｜3k|，\r（k2＋1）)＝1⇒k2＝eq\f（1，8）（k〉0)⇒k＝eq\f（\r（2）,4）。当y＝k（x＋2）过点A（－2,0)与B（1，1)时，k＝eq\f（1,3).∴eq\f(1，3）≤k＜eq\f(\r（2）,4).三、模拟小题18．（2019·安徽省江淮十校第一次联考)已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,且在(0,＋∞）上单调递增，则（)A．f(－3)〈f(－log313)〈f（20.6)B．f（－3）<f（20。6）<f（－log313)C．f(20.6)<f(－log313)〈f(－3）D．f(20。6)<f（－3)<f(－log313)答案C解析根据题意，知函数f（x）是定义在R上的偶函数,则f（－3)＝f（3）,f（－log313)＝f（log313),因为20。6〈2〈log313<log327＝3,f（x)在（0，＋∞）上单调递增，所以f（20.6）<f（－log313)<f(－3)．故选C.19．（2019·四川达州模拟)定义在R上的偶函数f（x）满足f(x＋2）＝f（x)，且在［－1,0］上单调递减,设a＝f(－2。8），b＝f（－1。6)，c＝f（0。5）,则a，b，c的大小关系是(）A．a〉b>c B．c>a>bC．b〉c〉a D．a>c>b答案D解析因为偶函数f(x）满足f（x＋2)＝f（x),所以函数f(x）的周期为2。所以a＝f（－2.8)＝f（－0。8),b＝f（－1。6)＝f（0。4)＝f（－0.4）,c＝f（0.5)＝f（－0.5）．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x）在[－1，0］上单调递减，所以a>c〉b,故选D.20．(2019·广东韶关调研）已知f(x）是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间(－∞，0］上为减函数，若f（2m）〉f（2),则实数mA．(－∞,－1） B．（－1，1)C．(1，＋∞） D．(－∞,－1）∪(1，＋∞）答案D解析因为f(x)是R上的偶函数，又因为函数f（x）在区间（－∞，0]上为减函数且f（2m)〉f(2），所以2m〉2或2m<－2，即m21．(2019·四川省乐山市高三第一次调查)已知函数f（x）满足：f（－x)＋f（x）＝0，且当x≥0时,f（x)＝eq\f（2＋m，2x)－1，则f(－1)＝(）A.eq\f（3,2) B．－eq\f（3，2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1，2)答案C解析∵f(－x）＋f（x)＝0，∴f(x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝eq\f(2＋m，2x）－1，由f（0）＝eq\f(2＋m，1）－1＝0，得m＝－1，∴当x≥0时,f(x)＝eq\f(1，2x）－1，∴f(－1）＝－f（1）＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)－1））＝eq\f(1，2）。故选C.22．(2019·泉州市普通高中毕业班质检）定义在R上的奇函数f（x)满足f(x＋2）＝f(－x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝2x－cosx，则下列结论正确的是(）A．feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2020,3）)）〈feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2019,2））)<f(2018)B．f（2018）〈feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2020,3）））〈feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2019,2）））C．f（2018)<feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2019，2）))〈feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2020，3）））D．feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2019，2）))<feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2020,3)））<f(2018)答案C解析因为f（x）为奇函数，所以f(x＋2)＝f(－x）＝－f（x)，f(x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，从而得f(x）的周期为4。所以f（2018)＝f(2）＝f(0），feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2019，2)）)＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，2）)）＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2))），feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2020,3））)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4,3）））＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，又因为f(x)在［0,1］上单调递增，所以f（0）<feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))<feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3）))，即f（2018)<feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2019，2））)〈feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2020,3）））。故选C。23．(2020·湖北黄冈高三摸底)定义在R上的函数f（x)满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,f（x＋2）＝－f（x)且f（x）在［－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f（x）的图象关于直线x＝1对称;③f(x)在［1,2］上是减函数；④f（2）＝f(0）．其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．答案①②③④解析因为f（x＋y）＝f（x)＋f(y）对任意x，y∈R恒成立，令x＝y＝0，所以f(0）＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0）＝f（x)＋f（－x）．所以f(－x）＝－f（x），所以f（x)为奇函数．因为f（x）在[－1,0]上为增函数,且f（x）为奇函数,所以f(x)在［0，1］上为增函数．f（x＋2）＝－f（x)⇒f(x＋4）＝－f(x＋2）⇒f(x＋4)＝f(x），所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f（x＋2）＝－f(x）⇒f(－x＋2)＝－f（－x)．又因为f(x)为奇函数,所以f（2－x）＝f（x），所以函数f（x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)在[0，1］上为增函数，又关于直线x＝1对称，所以f(x)在［1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f（x)，令x＝0得f（2)＝－f(0）＝f(0)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·北京东城区模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x）＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；（2)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2）;（3)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x〈0，，－x2＋x，x〉0。））解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，，x2－3≥0,))得x2＝3，解得x＝±eq\r（3)，即函数f（x)的定义域为{－eq\r（3)，eq\r（3）｝,从而f（x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3）＝0。因此f（－x)＝－f（x)且f(－x）＝f（x），∴f（x）既是奇函数又是偶函数．(2）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－x2>0，，｜x－2|≠2，）)得定义域为（－1,0)∪（0，1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2｜－2＝－x，∴f（x)＝eq\f（lg1－x2,－x）.又f(－x）＝eq\f(lg[1－－x2］,x）＝－eq\f(lg1－x2,－x）＝－f（x）,∴f（x）为奇函数．（3）显然函数f（x)的定义域为（－∞,0）∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时,－x〉0，则f（－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f（x)；当x〉0时,－x<0,则f（－x)＝（－x）2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知:对于定义域内的任意x,总有f（－x）＝－f（x）成立，∴f(x）为奇函数．2．（2019·安徽肥东中学调研)已知函数f（x）＝loga（x＋1），g(x)＝loga（1－x）（其中a>0,且a≠1)．（1）求函数f（x)＋g(x)的定义域；（2）判断函数f（x）－g(x）的奇偶性，并予以证明；（3)求使f（x)＋g（x）〈0成立的x的集合．解(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1〉0，,1－x〉0，））∴－1〈x<1，∴所求定义域为{x｜－1〈x<1}．(2）f(x）－g（x)为奇函数．证明如下：令H(x）＝f(x)－g（x）,则H（x)＝loga（x＋1）－loga（1－x)＝logaeq\f(x＋1，1－x），∵H(－x）＝logaeq\f(－x＋1,1＋x）＝－logaeq\f（x＋1，1－x)＝－H(x）,∴H(x）＝f（x)－g(x）为奇函数．(3）∵f(x)＋g（x)＝loga（x＋1）＋loga（1－x）＝loga（1－x2）〈0＝loga1，∴当a〉1时，0〈1－x2<1，∴0<x〈1或－1〈x〈0.当0<a<1时,1－x2〉1，不等式无解，综上，当a〉1时，使f（x)＋g(x）〈0成立的x的集合为{x｜0<x<1或－1〈x〈0｝．3．（2019·山东枣庄高三阶段考试）设f（x）是(－∞，＋∞)上的奇函数,f(x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时,f（x)＝x。(1)求f(π）的值；（2)当－4≤x≤4时,求f（x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解(1）由f(x＋2)＝－f（x），得f(x＋4)＝f［（x＋2)＋2]＝－f(x＋2）＝f(x）,所以f(x）是以4为周期的周期函数．所以f（π