2021数学（理）统考版二轮复习学案：板块1 命题区间精讲 精讲12 与球有关的切、接、截问题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学（理）统考版二轮复习学案：板块1命题区间精讲精讲12与球有关的切、接、截问题含解析与球有关的切、接、截问题命题点1球与柱体的切、接问题1．处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．四个结论（1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2）＝2R.（2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即eq\r(3)a＝2R.(3）棱长为a的正方体的面对角线长等于与棱内切球的直径，即eq\r(2）a＝2R.（4)若直棱柱（或有一条棱垂直于一个面的棱锥）的高为h,底面外接圆半径为x,则该几何体外接球半径R满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（h,2))）eq\s\up7(2）＋x2。[高考题型全通关]1．[教材改编]正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2，则()A．S1＝2S2 B．S1＝3S2C．S1＝4S2 D．S1＝2eq\r(3）S2B［根据题意,设正方体的棱长为1，可得正方体的外接球直径为正方体的体对角线长,等于eq\r（3），而内切球直径等于正方体的棱长，等于1，∴S1，S2的比值为eq\f(S1,S2）＝eq\f(4π·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),2）)）\s\up7(2),4π·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))\s\up7（2）)＝3，可得S1＝3S2。故选B．]2．（2020·沈阳模拟）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等,其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为()A．eq\f(\r(3）,3）B．eq\f(2\r（3)，3)C．eq\f(2\r（2),3）D．eq\f（\r（2)，3)B[三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是4π，所以球的半径为1，所以正方体的体对角线的长为2，所以侧棱长为eq\f（2\r(3)，3）。故选B．］3．在三棱柱ABC.A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AA1＝2，BC＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(π，2），此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（)A．eq\f(32π,3）B．16πC．eq\f（25π，3）D．eq\f（31π,2）A［直三棱ABC.A1B1C1∵△ABC中，∠BAC＝eq\f（π，2）,∴下底面△ABC的外心P为BC的中点，同理,可得上底面△A1B1C1的外心Q为B1C连接PQ，取PQ中点O，易知O是三棱柱ABC.A1B1C1∵Rt△POB中，BP＝eq\f（1,2)BC＝eq\r（3），PO＝eq\f（1,2）AA1＝1，∴BO＝eq\r(BP2＋OP2)＝2，即外接球半径R＝2，因此,三棱柱ABC。A1B1C1外接球的球的体积为V＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f(4,3）π×23＝eq\f（32,3)π.故选A．]4．已知直三棱柱ABC。A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上,且∠BAC＝eq\f（3π,4）,AA1＝BC＝2，则球O的体积为(）A．4eq\r(3)πB．8πC．12πD．20πA[在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径r＝eq\f（BC，2sin∠BAC)＝eq\f(2，2sin\f(3π，4））＝eq\r(2)。所以直三棱柱ABC。A1B1C1R＝eq\r(r2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（AA1,2)））\s\up7(2)）＝eq\r（\r（2)2＋12)＝eq\r（3)。故直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的体积为eq\f(4,3)πR3＝4eq\r（3）π。故选A．］5．一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球,与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为(）A．24π B．20πC．(12＋8eq\r（2）)π D．16eq\r（2)πC[依题意，要想容积最小,小球、大球的位置如图，其中DE＝1＋2＝3，DC＝2－1＝1，AE＝BE＝1。EC＝eq\r(DE2－DC2）＝2eq\r(2)，故圆柱的高为AE＋EC＋R大球＝3＋2eq\r(2).该容器容积最小为22π×（3＋2eq\r（2））＝（12＋8eq\r(2））π。故选C．]6．（2020·武汉重点中学联考)如图所示，直三棱柱ABC.A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°,AB＝6，BC＝8，AA1A．eq\f（32π,3），4 B．eq\f(9π，2)，3C．6π,4 D．eq\f(32π，3)，3D［依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝eq\r（AB2＋BC2)＝10，设健身手球的半径为R,则eq\f(1,2)×（6＋8＋10）×R＝eq\f（1，2）×6×8，解得R＝2。则健身手球的最大直径为4。因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球．于是一个健身手球的最大体积V＝eq\f(4,3）πR3＝eq\f（4,3）π×23＝eq\f(32π,3).故选D．]7.如图,在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f（V1,V2)的值是________．eq\f(3,2）［设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R。∴eq\f(V1，V2）＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3）πR3)＝eq\f(3，2）.］8．若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为________．6π[设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则球的半径R＝eq\r（r2＋\f(h，2)2），∵球体积V＝eq\f(4π，3）R3，故当且仅当R最小时V最小．圆柱的侧面积为2πrh＝4π，∴rh＝2，∴eq\f(h，2)＝eq\f(1，r)，∴R＝eq\r(r2＋\f(1，r2））≥eq\r(2)，当且仅当r2＝eq\f(1，r2)时，即r＝1时取“＝"号，此时R取最小值．∴r＝1，h＝2，圆柱的表面积为2π＋2π×1×2＝6π.］命题点2球与锥体的切、接问题球与锥体切接问题的三种常用方法（1)补形法：球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补成正方体或长方体．(2）截面法：球与正四面体的内切问题常采用等体积分割法和截面法求解；球与正四面体外接问题可采用补形法（正方体）或构造直角三角形．(3）确定球心法:充分利用所给几何体的性质结合截面圆的特征，确定球心，从而借助直角三角形求解．[高考题型全通关］1．在三棱锥P.ABC中，∠ACB＝eq\f（π,2)，CA＝CB＝2，PA＝PB＝2eq\r（5),PC＝2eq\r（6），则三棱锥P­ABC的外接球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48πB［∵CA＝2，PA＝2eq\r(5)，PC＝2eq\r(6)，∴CA2＋PA2＝PC2，∴∠PAC＝90°，同理,∠PBC＝90°，∴PC中点O到各顶点距离相等，即O为外接球球心．∴外接球半径为eq\r（6),∴外接球表面积为24π，故选B．］2．已知圆锥的高为3,底面半径为eq\r(3），若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A．eq\f（8，3)πB．eq\f(32,3）πC．16πD．32πB[设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋（eq\r(3）)2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f（4，3)π×23＝eq\f(32，3)π，故选B．]3．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为(）A．6πB．8πC．eq\r（6)πD．11πA［将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为eq\r（2),正方体的体对角线长为eq\r(6)，∵正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，∴外接球的表面积为4π·eq\f(\r(6),2）2＝6π。故选A．]4．三棱锥P。ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P.ABC的外接球的体积为（)A．eq\f（27,2)π B．eq\f(27\r（3），2）πC．27eq\r（3)π D．27πB［∵三棱锥P­ABC中,△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示），则正方体的外接球同时也是三棱锥P。ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为eq\r（32＋32＋32)＝3eq\r（3）,∴其外接球半径R＝eq\f(3\r（3），2）。因此三棱锥P。ABC的外接球的体积V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3\r（3），2）））eq\s\up7（3）＝eq\f(27\r(3），2)π，故选B．］5．已知三棱锥S。ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2,SA＝SB＝SC＝2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()A．eq\f（\r(3)，3）B．1C．eq\r(3）D．eq\f(3\r（3），2）A［∵三棱锥S。ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA＝SB＝SC,∴S在平面ABC上的射影为AB的中点H，设三棱锥的外接球的球心为O，易知，球心O在线段SH上．∵SH＝eq\r（3)，CH＝1，设球的半径为R，则R2＝(eq\r(3）－R)2＋12，解得R＝eq\f（2\r(3），3），∴OH＝eq\f(\r（3），3）,即为O与平面ABC的距离．故选A．］6．已知点A，B，C,D均在球O上，AB＝BC＝eq\r(3)，AC＝3，若三棱锥D­ABC体积的最大值为eq\f(3\r（3),4），则球O的表面积为（)A．36πB．16πC．12πD．eq\f(16,3)πB［设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB＝BC＝eq\r(3),AC＝3，∴∠ABC＝120°，S△ABC＝eq\f(3\r(3），4），∴2r＝eq\f（3，sin120°）＝2eq\r(3),∵三棱锥D.ABC的体积的最大值为eq\f（3\r（3)，4)，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2＝3＋(3－R)2，∴R＝2,∴球O的表面积为4πR2＝16π。故选B．］7．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为()A．πB．2πC．3πD．4πC[过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2,且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2eq\r（3），∴圆锥的底面半径为eq\r（3），高为3,∴V＝eq\f(1，3）×π×3×3＝3π。故选C．]8．我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P。ABC内有一个体积为V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA＝AB＝BC＝1，则V的最大值是()A．eq\f（5\r（2）＋3，6)π B．eq\f（5π,3)C．eq\f（5\r(2）－7,6）π D．eq\f（32π,3）C[球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，设此时球的半径为R,则V三棱锥P。ABC＝eq\f（1,3）·R·（S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋SPBC），即eq\f(1，3)×eq\f(1，2）×1×1×1＝eq\f(1，3)×R×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）×1×1＋\f(1，2)×1×1＋\f(1,2)×1×\r(2)＋\f（1，2)×1×\r（2）))，解得R＝eq\f（\r（2)－1,2)。所以球的体积V的最大值为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(2）－1，2）））eq\s\up12(3）＝eq\f(5\r(2）－7，6）π.故选C．］9．四棱锥P.ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为eq\f(9π，2)的同一球面上，则PA的长为（)A．3B．eq\f（3，2)C．1D．eq\f(1，2）C［连接AC，BD交于点E,取PC的中点O,连接OE，则OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD,则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，eq\f（1，2)PC＝eq\f(1,2)eq\r（PA2＋8)，所以由球的体积可得eq\f(4,3）π·eq\f（1，2）eq\r（PA2＋8）3＝eq\f（9π，2），解得PA＝1,故选C．］10．[高考改编］已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝eq\r(6)，∠ABC＝90°。若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为(）A．2πB．4πC．8πD．16πD[∵AB＝BC＝eq\r(6)，∠ABC＝90°，∴S△ABC＝eq\f（1,2）×eq\r(6)×eq\r（6)＝3，AC＝2eq\r(3)，△ABC所在球的小圆的圆心Q是斜边AC的中点，∴小圆的半径为eq\r(3）.∵四面体ABCD的体积取得最大值,且S△ABC不变，∴当底面ABC上的高最大时体积最大．∴当DQ与平面ABC垂直时体积最大，最大值为eq\f（1,3）·S△ABC·DQ＝3，即eq\f(1,3）×3×DQ＝3，解得DQ＝3，如图所示,设球心为O，半径为R，在Rt△AQO中，OA2＝OQ2＋AQ2,即R2＝(3－R）2＋（eq\r(3））2，解得R＝2。∴这个球的表面积S＝4πR2＝16π，故选D．]11．[一题两空］已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°,底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥的体积为________,外接球的表面积为________．eq\f(8\r（3）π，9)eq\f（64π,3）［依题意得，圆锥底面半径r＝eq\f（1，sin30°）＝2，高h＝eq\f(1,sin60°）＝eq\f（2\r（3）,3)，∴该圆锥的体积为V＝eq\f(1,3）πr2·h＝eq\f（8\r（3)π，9）.设圆锥外接球半径为R，则R2＝r2＋(R－h）2，即R2＝22＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(R－\f(2\r(3），3）)）eq\s\up7(2），解得R＝eq\f（4\r（3)，3），∴外接球的表面积为S＝4πR2＝eq\f（64π,3)。］［教师备选］1．已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切）的表面积为16π，则其底面边长为（)A．18B．12C．6eq\r（3）D．4eq\r（3)B［由题意知,球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r（OP2－OF2)＝2eq\r(3)。因为△OPF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r（3），AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f（2,\r（3)）AD＝12.故选B．］2．(2020·赤峰模拟)已知三棱锥P。ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r(3）,当三棱锥P。ABC体积最大时,三棱锥P。ABC的外接球的体积为（)A．eq\f（9,2)πB．36πC．eq\f（32，71）πD．eq\f（2，9）πA[PA＝PB＝PC＝eq\r(3），当PA，PB，PC两两相互垂直时，三棱锥P­ABC体积最大值，如图所示,可得棱长为eq\r（3）的正方体,由外接球的直径2R是正方体的体对角线可得，2R＝eq\r（3＋3＋3)＝3，解得R＝eq\f(3,2)，外接球的体积为V＝eq\f（4,3）π×eq\f（27，8）＝eq\f(9π,2)，故选A．]3.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O.剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B)C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为(）A．8eq\r（6)πB．24πC．eq\r(6π)D．48πA[翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2eq\r(2）的正三棱锥O。ACD，如图,取CD中点E，连接AE，作OF⊥平面ACD，交AE于F,则F是△ACD的重心，由题意知AE＝eq\r(16－4）＝2eq\r(3），AF＝eq\f（2AE,3)＝eq\f（4\r(3)，3)，OF＝eq\r（OA2－AF2)＝eq\r(2\r(2）2－\f（4\r（3）,3)2)＝eq\f（2\r(6)，3)，设G为四面体的外接球的球心,球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2＋GF2，得R2＝eq\f（4\r(3）,3）2＋eq\f（2\r(6）,3）－R2,解得R＝eq\r(6），∴以A（B），C,D，O为顶点的四面体的外接球的体积为V＝eq\f(4,3）πR3＝8eq\r(6)π.故选A．］4．［一题两空]四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC，AD两两垂直，且AB＝1,AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．114π[∵AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，∴四面体ABCD的体积VABCD＝eq\f(1，3）×eq\f(1，2)×1×2×3＝1，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．设球O的半径为r，则（2r)2＝12＋22＋32＝14。其表面积S球＝4πr2＝14π。］5．已知一个三棱锥的所有棱长均为eq\r(2)，则该三棱锥的内切球的体积为________．eq\f(\r(3）,54)π[由题意可知,该三棱锥为正四面体,如图所示．AE＝AB·sin60°＝eq\f(\r（6),2），AO＝eq\f(2,3)AE＝eq\f（\r（6），3)，DO＝eq\r（AD2－AO2）＝eq\f(2\r(3),3)，三棱锥的体积VD。ABC＝eq\f(1,3）S△ABC·DO＝eq\f(1，3)，设内切球的半径为r，则VD。ABC＝eq\f(1,3）r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD）＝eq\f(1，3),解得r＝eq\f(\r（3），6)，V内切球＝eq\f（4,3)πr3＝eq\f（\r（3）,54)π。］6．(2020·化州模拟）在四面体ABCD中,AB＝1，BC＝CD＝eq\r（3），AC＝eq\r（2)，当四面体ABCD的体积最大时,其外接球的表面积为________．6π［∵AB＝1,BC＝CD＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，∴由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，当CD⊥平面ABC时,四面体ABCD的体积取最大值，此时,四面体ABCD外接球的直径为2R＝BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(3＋3)＝eq\r(6），∴外接球的半径为r＝eq\f（\r（6）,2）,∴当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为S＝4πr2＝4π×eq\f（\r（6），2）2＝6π。］命题点3与球有关的截面问题巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1）确定球心O和截面圆的圆心O′；(2）探求球的半径R和截面圆的半径r；(3)利用｜OO′|2＋r2＝R2计算相关量．［高考题型全通关]1.（2020·西宁一模）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品,如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq\r（3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()A．2B．4C．2eq\r(6）D．4eq\r（6)B[设截面圆半径为r，球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2eq\r（3）,根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(2eq\r(3)）2，即R2＝22＋（2eq\r（3））2＝16，所以R＝4，故选B．］2．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为eq\f(9\r(3)，4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（)A．eq\r(3)B．eq\f（3,2）C．1D．eq\f(\r(3)，2)C[由等边三角形ABC的面积为eq\f(9\r（3),4)，得eq\f(\r（3），4）×AB2＝eq\f（9\r（3），4),得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝eq\f（2,3）×eq\f（\r（3),2)AB＝eq\f(\r（3），3)AB＝eq\r（3)。设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝eq\r（R2－r2）＝1,故选C．]3．(2020·南开中学模拟)正三棱锥P.ABC，Q为BC中点，PA＝eq\r(2)，AB＝2，过Q的平面截三棱锥P。ABC的外接球所得截面的面积范围为（）A．eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1，4)π，\f(3，5)π)） B．eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,2)π，\f（2，3)π)）C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（π，2π)) D．eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(π,\f(3，2）π)）D[因为正三棱锥P。ABC，PB＝PC＝PA＝eq\r(2），AC＝BC＝AB＝2,所以PB2＋PA2＝AB2，即PB⊥PA，同理PB⊥PC，PC⊥PA，因此正三棱锥P.ABC可看作正方体的一角,如图,记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，所以点O也是正三棱锥P.ABC外接球的球心，记外接球半径为R，则R＝eq\f(1，2）eq\r(2＋2＋2）＝eq\f（\r（6)，2）,因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q的平面截三棱锥P­ABC的外接球所得截面的面积最大为Smax＝πR2＝eq\f（3，2）π；又Q为BC中点,由正方体结构特征可得OQ＝eq\f（1，2)PA＝eq\f（\r(2),2)；由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小为r＝